tus1 (Практические занятия по теории управления), страница 2

Линеаризация нелинейных системПредположим, что задана опорная траектория x  (t ) , являющаяся решением уравненияx (t )  f (t , x (t ), g (t ))(1)при некотором входном сигнале g (t )  g  (t ) и начальном условии x (t 0 )  x 0 , т.е.x  (t )  f (t , x  (t ), g  (t )) , x  (t 0 )  x 0 .(2)Поведение x (t ) нелинейной системы в окрестности опорной траектории можетбыть представлено с помощью отклонений (вариаций) x (t ) от опорной траектории:x (t )  x  (t )  x (t ) .(3)x  (t )  x (t )  f (t , x  (t )  x (t ), g  (t )  g (t )) ,(4)Подставляя (3) в (1), имеемгде g (t ) – вариация внешних воздействий, g (t )  g (t )  g  (t ) .

Раскладывая функциюf в ряд Тейлора в окрестности опорной траектории, ограничиваясь членами только первого порядка (линейными членами) и вычитая (2) из (4), получаем, что вариации x (t )описываются уже системой линейных уравнений:x (t )  f x (t , x  (t ), g  (t )) x (t )  f g (t , x  (t ), g  (t )) g (t ),x (t 0 )  x (t 0 )  x 0 ,(5)где f x , f g – матрицы частных производных вектор-функции f (t , x , g ) по соответствующим аргументам, f x  fixj, fg  fi gk, i  1,  , n ; j  1,  , n ; k  1, , m .Поэтому дальнейший анализ нелинейной системы (1) в окрестности опорного режима проводится методами анализа линейных систем, применяемыми к уравнениям в вариациях (5). Такой прием приближенной замены нелинейной системы линейной называется линеаризацией уравнений движения (1) относительно опорной траектории.30З а м е ч а н и е. Аналогичная процедура линеаризации применима и для систем,описываемых уравнениями n -го порядка.

Рассмотрим ее на примере системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка:F x, x, x, g, g   0,(6)где F – нелинейная функция своих аргументов.Предполагается, что задана опорная траектория x * t  , которая получается в результате решения уравнения (6) с начальными условиями x * t 0   x 0* , x t 0   x 0* и известным входным сигналом g * t  , т.е. F x* t , x * t , x * t , g * t , g * t   0 .Обозначим x t   x t   x * t , g t   g t   g * t  – отклонения от опорного режима, где x t  – решение уравнения (6) с начальными условиями x t 0   x 0 , x t 0   x 0 ивходным сигналом g t  (рис. 1).Для проведения линеаризации разложим функцию F в ряд Тейлора в окрестностиопорной траектории, ограничиваясь членами только первого порядка (линейными членами): F  F  F    F    F  g   g  0 .F x* t , x * t , x * t , g * t , g * t    x   x   x   x * x * x * g * g *Знак*отражает факт, что все производные подсчитываются на опорной траекто-рии.

Первый член обращается в нуль, так как опорная траектория x * t  удовлетворяетуравнению (6).Введем обозначения: F  F  F  F  F  ; b0 t     .a2 t    ; a1 t    ; a0 t    ; b1 t     x  * x  * x  * g  * g  *Тогда последнее соотношение можно переписать в формеa2 t  x  a1 t  x  a0 t  x  b1 t  g  b0 t  gс начальными условиямиx t 0   x 0  x 0* ,x t 0   x 0  x 0* .Его решение определяет отклонение x t  от опорной траектории (см.

рис. 1).31xx  (t ) x (t )  x (t )  x  (t )x (t )x0x 0t0tРис. 1Пример 6. Линеаризовать систему, описываемую дифференциальным уравнениемF  x  x2  sin x  e x  1  g 2  g  0с начальными условиями x 0   x 0 , x 0   x 0 , x0   x0 относительно опорной траектории x * t   0, g * t   0. Найдем коэффициенты разложения функции F в ряд Тейлора: F  F a3    1, a2    2 x*  0, x  * x  *  F  F a1    cos x *  1, a0    exxx** F F    2 g *  0, b0   b1    g g  ** 1,  1.*Отсюда получим дифференциальное уравнение линеаризованной системы:xt   x t   x t   g t  ,x 0   x 0  x * 0   x 0 ,x 0   x 0  x * 0   x 0 , x(0)  x0  x* 0   x0 .32.