tul8 (Лекции по теории управления)
Описание файла
Файл "tul8" внутри архива находится в папке "Лекции по теории управления". PDF-файл из архива "Лекции по теории управления", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория автоматического управления (тау)" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "теория автоматического управления (тау)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Лекция 8.3.3. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ. ПРИМЕНЕНИЕПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ3.3.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Для описания детерминированных сигналов используетсяпреобразование Фурье:G () F g (t ) g (t ) e i t dt ,где g (t ) – сигнал; G () – его изображение по Фурье.В качестве моделей случайных сигналов рассматриваются стационарные одномерные случайные процессы, например G (t ) , которые имеют постоянные математические ожидания mg (t ) const , а их ковариационные функции зависят от разности аргументов t1 t 2 и поэтому являются функциями одной переменной:R g t1 , t 2 R g t1 t 2 R g .Дисперсия стационарного случайного процесса получается при t1 t 2 , т. е.
при 0 :D g (t ) R g (0) const .Примером стационарных случайных процессов является стационарныйбелыйшум, имеющий нулевое математическое ожидание и ковариационную функциюR g ( ) S 0 ( ) , где S 0 – интенсивность белого шума.С помощью интегрального преобразования Фурье можно получить характеристикистационарных случайных процессов, эквивалентные моментным функциям.Спектральной плотностью называется преобразование Фурье ковариационнойфункции стационарного случайного процесса: R g () e i d .S g () F R g () Эта функция частоты в силу четности функции R g () является четной.
Переход отспектральной плотности к ковариационной функции выполняется с помощью обратногопреобразования Фурье:1R g () S g () e i d .2 При 0 в силу четности S g () получаем формулу для вычисления дисперсии:11D g R g (0) S g () d 2 S g () d .012. Описание систем.
Рассматриваются линейные одномерные стационарные системы управления, описываемые обыкновенным дифференциальным уравнениемan x (n) (t ) a0 x (t ) bm g (m) (t ) b0 g (t ) ,где g (t ) и x (t ) – входной и выходной сигналы; n и m – порядки старших производныхвыходного и входного сигналов соответственно; a0 , , an , b0 , , bm – постоянные коэффициенты. Если к системе приложен случайный входной сигнал, то на выходе такжеполучается случайный сигнал.
Для обозначения случайных сигналов будем использоватьпрописные буквы G (t ), X (t ) .Учтем, что для стационарных систем импульсная переходная функция k (t , ) является функцией разности t своих аргументов: k (t , ) k ( ) , причем k() 0при 0 .Частотной характеристикой W (i) стационарной линейной системы называется преобразование Фурье импульсной переходной функции:W (i) F k () k () e i d .0Существует связь между частотной характеристикой и передаточной функцией:W (i) W (s )s i .Частотная характеристика является комплекснозначной функцией вещественногоаргумента – частоты, изменяющейся в промежутке от 0 до , и может быть представлена в показательной, тригонометрической и алгебраической формах:W (i) A() e i () A() cos () i sin () U () i V () ,где A() , () – амплитудная и фазовая частотные характеристики; U () , V ()– вещественная и мнимая частотные характеристики; A() W (i) ,() arg W (i) , U () ReW (i) , V () Im W (i) :A() U 2 () V 2 () ,() arctgV (),U ()arctgV () , U () 0, V () 0,U ()arctgV () , U () 0, V () 0,U (),2,2U () 0, V () 0,U () 0, V () 0,U () 0, V () 0.Заметим, что в начале координат arg W (i) не определен.2Частотная характеристика W (i) изображается годографом в координатах U, Vили в полярных координатах A, , называемым амплитудно-фазовой частотной характеристикой (рис.
1).VW (i)V ()A()()U ()UРис. 1Методика нахождения частотных характеристик состоит в следующем:1. По дифференциальному уравнению системы найти передаточную функциюW (s ) .2. Найти частотную характеристику W (i) по формуле связи.3. Определить вещественную и мнимую, а также амплитудную и фазовую частотные характеристики по формулам.Установим физический смысл частотной характеристики.Из полученных соотношений следует, что если на вход стационарной линейнойсистемы продолжительное время (бесконечно долго) действует гармонический сигналчастоты , то наблюдаемый выходной сигнал будет тоже гармоническим с той же частотой.
Амплитуда его отличается в A() раз, а фаза – на величину () .Приведенный анализ служит основой для экспериментального нахождения частотной характеристики. При этом на вход динамической системы при помощи генератораподается гармонический входной сигнал g t A1 sin t . На выходе измеряются амплитуда и фаза гармонического сигнала x t A2 sin t , а затем вычисляется отношеAние амплитуд выходного и входного сигналов A() 2 . Повторяя описанную процеA1дуру при различных значениях частоты [ 0, ) , можно построить годограф частотной характеристики (рис. 2).Генератор гармоническихсигналовx (t ) A2 sin(t )g (t ) A1 sin tСистема3VA() A2A1()1A(1 )(1 )2A(2 )( 2 )2A(2 )1(2 )W (i)A(1 )(1 )0UРис. 23.3.2.
Анализ выходных процессов при случайных воздействияхПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной стационарный случайный сигнал G (t ) с известными математическиможиданием mg и ковариационной функцией R g ( ) ;б) линейная стационарная система, описываемая дифференциальным уравнением.Она должна быть устойчивой.Требуется найти математическое ожидание mx , ковариационную функцию Rx ()и дисперсию D x выходного сигнала X (t ) в стационарном режиме (при t ).СВЯЗИ ВХОД-ВЫХОДРассматривается линейная стационарная система, описываемая уравнениемan X (n ) (t ) a0 X (t ) bm G (m) (t ) b0 G (t ).Так как система устойчива, то в стационарном режиме при t сигналы практически не изменяются.
Применяя операцию нахождения математического ожидания клевой и правой частям уравнения с учетом m g const , получаем связь между математическими ожиданиями входного и выходного сигналов:a0 m x b0 m gилиmx b0a0 mg .Установим связь между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе.S x () W (i) W * (i) S g () | W (i) | 2 S g () .где W * (i) и W (i) связаны как комплексные сопряженные выражения.4АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.
Найти спектральную плотность входного сигнала S g () по формуле Rg () e i d .S g () F R g () Так как функция R g ( ) четная, т.е. R g ( ) R g () , то может быть использована эквивалентная формула косинус-преобразования Фурье:S g () 2 R g () cos () d .02. Определить частотную характеристику системы W (i) .3. Найти математическое ожидание выходного сигнала в стационарном режимеbmx 0 mg .a04. Вычислить спектральную плотность выходного сигнала по формулеS x () | W (i) | 2 S g () .5.
Найти ковариационную функцию Rx ( ) и дисперсию D x выходного сигнала поформулам1R g () S g () e i d ,2 11D g R g (0) S g () d 2 S g () d .0Здесь иногда полезным оказывается представление спектральной плотности в видеS x () Sˆx (i) Sˆx (i) .Тогда, заменяя i s и применяя обратное преобразование Лапласа, имеем L1 Sˆ (s ) , x R x () 1 ˆ L S x ( s ) , 0, 0.53.3.3. Анализ устойчивостиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть дана линейная одномерная стационарная система управления, описываемаяструктурной схемой, изображенной на рис. 3,а или 3,б, с известной передаточной функцией W (s ) .Требуется исследовать, является ли система устойчивой.ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИАнализ устойчивости линейных стационарных систем управления удобно проводить на основе двух частотных критериев. Критерий Михайлова применяется для систем(рис.
3,а) с известной частотной характеристикой W (i) , а критерий Найквиста Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой системы (рис. 3,б) по частотнойхарактеристике W (i) разомкнутой системы.gW(s)xW(s)gаxбРис. 3Методика применения частотных критериев использует следующее построение.Пусть задана функция z f (s ) комплексного переменного s , аналитическая на всейкомплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных полюсов. Еслидля каждого действительного значения из промежутка [ 0; ) определен аргументкомплексного числа f (i) , то можно вычислить приращение Arg f (i) функции0 Arg f (i) при изменении частоты от 0 до .
Если же при некоторых значениях из промежутка [ 0; ) функция Arg f (i) не определена, т.е. f (i) 0 или f (i) ,то промежуток [ 0; ) следует разбить на интервалы, исключив недопустимые значения , вычислить величину приращения Arg f (i) на каждом интервале, а затем полученные величины приращений сложить. Описанная процедура легко выполняется, еслипостроить годограф функции f (i) при изменении частоты от 0 до . Тогда приращение Arg f (i) находится как величина угла поворота радиус-вектора, конец которого перемещается по годографу функции f (i) при возрастании частоты от 0 до : Arg0 6f (i) .В этом случае говорят, что годограф f (i) охватывает точку z 0 на угол .При вычислении величины поворот радиус-вектора против часовой стрелки считаетсяположительным, а по часовой стрелке отрицательным.