tul3 (Лекции по теории управления)

Лекция 3.1.2. МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ1.2.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Входные, выходные и промежуточные детерминированные сигналы в многомерных системах представляются вектор-функциями времени, например: g1 (t )  . g (t )   .  , .

 g r (t )  y1 (t )  . y (t )   .  , .  y k (t ) где g (t ) – r-мерный входной, а y(t) – k-мерный выходной сигналы. В качестве компонентвходного сигнала g (t ) могут использоваться единичные ступенчатые функции (1.2) идельта-функции (1.1).2. Описание систем. Многомерные линейные нестационарные системы в отличие от одномерных имеют r входов и k выходов (рис. 1). Они описываются уравнениямисостояния видаx (t )  A(t ) x (t )  B (t ) g (t )(1)с начальными условиямии уравнениями выходаx (t 0 )  x 0(2)y (t )  C (t ) x (t ) ,(3)где x – n-мерный вектор состояния; g – r-мерный вектор входных воздействий (управлений); y – k-мерный вектор выхода (вектор измерений); x 0 – начальное состояние; t –время; t 0 – начальный момент времени (момент подачи входного воздействия); A (t ) ,B (t ) , C (t ) – матрицы размера ( n  n ), ( n  r ), ( k  n ) соответственно.g1x1y1gixiyigrxnВходСостояниеykВыходРис.

11Многомерную систему можно рассматривать как совокупность r  k одномерныхсистем, каждая из которых связывает один из r входов с одним изk выходов. Еслиr  1 и k  1 , система является одномерной. Если матрицы A (t ) , B (t ) , C (t ) не зависятот времени t , система называется многомерной стационарной.Пример. Записать уравнения состояния и выхода многомерной системы:x1  x 2  g1 ,y1  x 2x 2   x1  2 x 2  3 g1 ,в матричной форме. Определяем размерности сигналов: n  2 , r  1 , k  1 и записываем соответствующие уравнения:ddt x1   0 1   x1   1          g1, x2    1 2   x2    3 A(t )B (t )x y1  0 1  1 .

 x2 C (t )1.2.2. Связи вход-состояние и вход-выходРассмотрим многомерную линейную систему, описываемую уравнениями состояния и выхода:x (t )  A(t ) x (t )  B (t ) g (t ) , x (t 0 )  x 0 ,y(t )  C (t ) x (t ) .Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: эффект, вызываемыйсуммой нескольких воздействий, равен сумме эффектов от каждого из воздействий в отдельности. Закон изменения вектора состояния линейной системы представляется в видесуммы свободного и вынужденного движений: x (t )  x“ (t )  x"/… (t ) . Аналогичное соотношение справедливо и для вектора выхода: y (t )  y “ (t )  y "/… (t ) .Свободное движение x“ (t ) ( y “ (t ) ) происходит при отсутствии внешнего воздействия ( g (t )  0 ) вследствие ненулевых начальных условий (2). Оно определяется решением однородной системы уравнений, соответствующей исходному уравнению состояния (1):x (t )  A(t ) x (t )с начальными условиями x (t 0 )  x 0 .

Если начальные условия нулевые, свободное движение в системе отсутствует, т.е. x“ (t )  0 .Вынужденное движение x"/… (t ) ( y "/… (t ) ) – это реакция системы на внешнее воздействие g (t ) при нулевых начальных условиях. Оно определяется решением неоднородного уравнения (1) при нулевых начальных условиях.2Для многомерных нестационарных систем, описываемых соотношениями (1)–(3),законы изменения векторов состояния и выхода определяются по формуламtx (t )  (t , t 0 ) x 0 (t , ) B () g () d ,t0ty (t )  C (t ) x (t )  C (t ) (t , t 0 )x 0  C (t )  (t , ) B () g () d ,t0где (t , ) – переходная матрица, или матрица Коши, являющаяся решением уравнения (t , ) A(t ) (t , )tс начальным условием(, )  E ,где E – единичная матрица порядка n .Первые слагаемые описывают свободное движение, а вторые – вынужденное.Формулы следуют из общего алгоритма решения линейных систем обыкновенныхдифференциальных уравнений, включающего три этапа.Первый этап.

Решается однородная система дифференциальных уравненийx (t )  A(t ) x (t ),соответствующая исходной неоднородной системеx (t )  A(t ) x (t )  B (t ) g (t ).Ее общее решение записывается в формеx 0 (t )  (t ) c n ci i (t ),i 1где c  (c1 ,..., c n )T – вектор произвольных постоянных, (t )  (1 ,...,  n ) – фундаментальная матрица, 1 (t ),...,  n (t ) – линейно независимые решения однородной системы.Каждый столбец i (t ) фундаментальной матрицы удовлетворяет однородной системе,т.е. справедливы равенства  i (t )  A(t ) i (t ), i  1,..., n , или  (t )  A(t ) (t ).Второй этап.

Ищется общее решение неоднородной системы методом вариациипроизвольных постоянных:x (t )  (t ) c(t ),где вектор-функция c(t )  (c1 (t ),..., c n (t ))T подлежит определению.Подставляя x (t ) в неоднородную систему, получаем (t ) c(t )  (t ) c(t )  A(t ) (t ) c(t )  B (t ) g (t ).С учетом  (t )  A(t ) (t ) имеем3(t ) c(t )  B (t ) g (t ) или c(t )   1 (t ) B (t ) g (t ).Обратная матрица  1 (t ) существует, поскольку det (t )  0 как определитель Вронского.

Интегрируя последнее соотношение, находимtc(t )  1 () B () g () d  c0 ,t0где c0 – вектор произвольных постоянных. В результате искомое общее решение имеетвидtx (t ) (t )  1 () B () g () d  (t ) c0 .t0Третий этап. Ищется частное решение неоднородной системы, удовлетворяющееначальным условиям x (t 0 )  x 0 :x (t 0 )  (t 0 ) c0  x 0 .Отсюда c0   1 (t 0 ) x 0 иtx (t )  (t )  1 (t 0 ) x 0 (t )  1 () B () g () d .t0Обозначая (t , )  (t )  1 (), получаем искомую формулу. При t   получаемначальное условие (, )  E .

Умножая уравнение  (t )  A(t ) (t ) справа на матрицу (t , ) 1 (), имеем  (t ) 1 ()  A(t )  (t ) 1 (), т.е. уравнение A(t ) (t , ) .t (t , )t(t , )З а м е ч а н и е. Для многомерных стационарных систем, описываемых уравнениямиx (t )  A x (t )  B g (t ) ,x(0)  x 0 ,y(t )  C x (t ) ,законы изменения вектора состояния и вектора выхода находятся по формуламtx (t )  (t ) x 0   (t  ) B g () d  ,0ty (t )  C x (t )  C (t ) x 0  C04(t  ) B g () d ,где ()  (t  ) – переходная матрица стационарной системы, зависящая от разности (t , )t     . В данном случае решение уравнения A(t ) (t , ) имеет видt(t , )  e A (t  )  (t  )  () .1.2.3. Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g (t ) ;б) система, описываемая уравнениями состояния и выходаx (t )  A(t ) x (t )  B (t ) g (t ) , x (t 0 )  x 0 ,y (t )  C (t ) x (t ) ;в) вектор начальных состояний x 0 .Требуется найти законы изменения вектора состояния x (t ) и векторавыходаy (t ) .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти переходную матрицу (одним из трех способов, рассмотренных далее).2. Используя соотношенияtx (t )  (t , t 0 ) x 0 (t , ) B () g () d ,t0ty (t )  C (t ) x (t )  C (t ) (t , t 0 )x 0  C (t )  (t , ) B () g () d ,t0илиtx (t )  (t ) x 0   (t  ) B g () d  ,0ty (t )  C x (t )  C (t ) x 0  C(t  ) B g () d ,0в зависимости от типа системы, определить законы изменения векторов состояния и выхода.Рассмотрим различные способы нахождения переходной матрицы.5Первый способ. Если фундаментальная матрица(t )  1 (t ),... ,  n (t ) , столб-цы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы дифференциальных уравнений, известна, то переходная матрица находится по формуле(t , )  (t )  1 () .З а м е ч а н и е.

Общее решение однородной системы можно записать в видеx 0 (t )  c1 1 (t )  ...  c n  n (t ) ,где c1 ,... , cn – произвольные постоянные.Для стационарных систем следует выполнить действия:1. Найти корни характеристического уравненияA  E  0 ,где E – единичная матрица.2. Выписать выражение общего решения для каждой компоненты вектора х, следуяизвестным правилам в зависимости от типа корней. При этом коэффициенты при различных компонентах общего решения различны.3. Полученные выражения подставить в однородную систему. Во многих случаяхдостаточно подставить в первые n  1 уравнений системы, что облегчает решение задачи.4.

Приравнять коэффициенты при одинаковых функциях аргумента t и решить полученную систему уравнений.5. Выписать общее решение, зависящее от n произвольных постоянных в формеx 0 (t )  c1 1 (t )  ...  c n  n (t ) .В результате находится фундаментальная матрица, а по формуле (t , )  (t )  1 () –переходная.Второй способ. Применение теоремы разложения Сильвестра. Переходная матрицастационарной системы определяется по формуле()  eAni 1n A  Ej e i  j 1  i   jji ,где  i – собственные значения матрицы А (здесь предполагается, что они различны), а Е– единичная матрица.Третий способ. Использование теоремы Кели-Гамильтона.Рассмотрим два случая ее применения.1.

В случае различных собственных значений матрицы А :()  r0E  r1 A ... rn 1 A n 1  R ( A ) ,(*)где n – число строк матрицы А; A n 1 – (n  1) -я степень матрицы А; коэффициенты r0 ,r1 ,... , rn 1 многочлена R () находятся из системы уравнений6e i   R ( i )  r0  r1  i  ...  rn 1  i n 1 ,i  1,..., n .(**)2. В случае кратных собственных значений матрицы А формула (*) также справедлива. Корню  i кратности  в системе n уравнений (**) соответствуют соотношенияd k e d kd k R ()d k,k  0,1,...,   1 .  i7.