tul2 (Лекции по теории управления), страница 2

, cn – произвольные постоянные; 1 (t ),... , n (t ) – фундаментальная системарешений уравнения (15).Если система (12) стационарная, т.е. описывается уравнением7an x (n) (t )    a0 x (t )  bm g (m) (t )    b0 g (t )с постоянными коэффициентами, то сначала определяются корни  1,... ,  nристического уравнения :характе-an n  an 1 n 1  ...  a0  0 .(18)Если корни действительные разные, то (1.28) имеет видx 0 (t )  c1 e  1 t  c 2 e  2 t  ...  c n e nt.(19)Если среди корней есть кратный действительный корень  j кратности k , то емусоответствует следующая составляющая общего решения:x 0 j (t )  (c1  c 2 t  ...

 ck t k 1 ) ej t,(20)где c1 ,... , ck – произвольные постоянные.Паре комплексных сопряженных корней  j   j i соответствует решениеx 0 j (t )  ej t(c1 cos  j t  c 2 sin  j t ) ,(21)а паре комплексных сопряженных корней кратности k –x 0 j (t )  ej t[ (c1  c 2t  ... ck t k 1 ) cos  j t  (d1  d 2t   d k t k 1 ) sin  j t ] ,(22)где c1 ,... , ck ; d1 ,..., d k – произвольные постоянные.2. Частное решение неоднородного уравнения (22) находится методом вариациипроизвольных постоянных или методом подбора. В частном случае, когда система описывается уравнениемan x (n ) (t )    a0 x (t )  g (t ) ,g (t )  Rq (t ) cos  t  Pl (t ) sin  t  e t ,где Rq (t ), Pl (t ) – многочлены степеней q и l соответственно, ,  – заданные числа, частное решение ищется в формеx н (t )  e t   Qm (t ) cos t  Tm (t ) sin t   t s ,(23)в которой m  max (q, l ) , Qm (t ),Tm (t ) – многочлены степени m с неопределенными коэффициентами; показатель степени s определяется следующим образом: 0 , если число (  i) не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения,s k , если число (  i) совпадает с корнем характеристического уравнения кратности k .3.

По реакции системы на входное воздействие в виде единичной ступенчатойфункции можно определить основные показатели качества переходных процессов (рис.9):а) статическое отклонение x   lim x (t ) ;tб) максимальное отклонение x max ;8в) время переходного процесса T p – наименьшее время, после которого выполняется условие x (t )  x    , где  – заданная величина;г) перерегулирование  x max  x  100% , если x   0 ;xд) число колебаний выходного сигнала за время переходного процесса.xx (t )xx max0TptРис.

9Система управления удовлетворяет требуемому качеству, если все показатели качества не превышают заранее заданных значений.1.1.3. Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g(t);б) система, описываемая дифференциальным уравнениемan (t ) x (n) (t )    a0 (t ) x (t )  bm (t ) g (m) (t )    b0 (t ) g (t ) ;в) начальные условия:x (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 ,..., x (n 1) (t 0 )  x 0(n 1) .Требуется найти выходной сигнал x (t ) .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1. Найти свободное движение, решив однородное дифференциальное уравнение(15) с заданными начальными условиями (13).2. Найти вынужденное движение, решив неоднородное дифференциальное уравнение (12) с нулевыми начальными условиями.3. Определить выходной сигнал как сумму свободного и вынужденного движений.9.