tul16 (Лекции по теории управления), страница 2

Записать уравнение Беллмана (11) с граничным условием.2. Найти структуру оптимального управления с полной обратной связью в результате поиска максимума в (11) по управлению. Искомое управление u  (t , x ) обычно выражается через производные функции (t , x ) .3. Подставить полученное выражение для управления в уравнение (11). Проблемасводится к решению нелинейного дифференциального уравнения с частными производными первого порядка.4. Найти решение полученного уравнения и явный вид искомого управления.З а м е ч а н и я.1. Уравнение Беллмана применяется и при негладких функциях (t , x ) .

Обоснование этого получено в работах В.Г.Болтянского, M.M.Xрусталева, У.Флеминга, А.И. Субботина и др.72. Величина функции (t , x ) определяется так называемыми оставшимися потерями на управление:(t , x )   mind D (t , x )(t , x )  Q .I (d ) Б (t , x )   (t , x ) ,равенство:3.Еслиположитьто,используяmax f ( x )   min [ f ( x )] , можно переписать уравнение Беллмана и граничное условие(9.15) в эквивалентной форме:   Б (t , x ) n   Б (t , x )min f i (t , x, u )  f 0 (t , x, u )u U t xii 1a  0 ,  (t1 , x )  F (x ) .(13)При этом минимальное значение функционала (9)mind D (t 0 , x 0 )I (d )   a (t 0 , x 0 )x 0  R n .(14)4.

Рассмотрим более общий случай. Предположим, что поведение модели объектауправления описывается обыкновенным дифференциальным уравнением (1). Момент начала процесса задан, а момент t1 окончания процесса определяется первым моментомдостижения точкой (t , x (t )) некоторой поверхности  , заданной соотношениями (2).

Намножестве допустимых процессов D (t 0 , x 0 ) задан функционал (3). Обозначим Q  R n 1– множество точек (t , x ) , из которых можно достигнуть терминального множества  понекоторой траектории, соответствующей допустимому управлению; Q (t 0 ) - сечениемножества Q при фиксированном t  t 0 . Начальное состояние x 0 заранее не задано иможет быть произвольным в множестве Q (t 0 ) .Множество U n допустимых управлений с полной обратной связью (позиционных управлений) образуют функции u (t , x ) : T  R n  U , которые для любых начальx 0  Q (t 0 )тройкиныхсостоянийпорождаютсоответствующиеd  (t1 , x (), u())  D (t 0 , x 0 ) ,гдепрограммныеуправленияu()  U 0 ,аt  T u(t )  u (t , x (t )) .Требуется найти такую функцию u  (t , x )  U n , чтоI (d  ) mind  D (t0 , x0 )I (d )x 0  Q (t 0 ) ,(15)где d   (t1 , x  (), u  ()  u  (, x ())) .обФункция u  (t , x )  U n называется оптимальным управлением с полнойратной связью.

Для любого начального состояния x 0 из множества Q (t 0 ) она порождает соответствующую оптимальную тройку, т.е. оптимальную траекторию x  () , оптимальное программное управление u  () , оптимальный момент окончания процесса t1 .Введем в рассмотрение множество  функций (t , x ) : Q  R , непрерывнодифференцируемых всюду, за исключением конечного числа сечений Q при фиксированных t .8Утверждение (достаточные условия оптимальности в задаче (15)).

Еслисуществует функция (t , x )   , удовлетворяющая уравнению Беллмана с граничнымиусловиями  (t , x ) n  (t , x )max f i (t , x, u)  f 0 (t , x, u )  0u U i 1  x i t(t1 , x )   F (t1 , x )(t , x )  Q ,(16)(t1 , x )  ,и управление u  (t , x )  U n , удовлетворяющее условию n  (t , x )u (t , x )  arg max  f i (t , x , u)  f 0 (t , x , u ) , i 1  x iu U(17)то u  (t , x ) является оптимальным управлением с полной обратной связью в задаче (15).При этом минимальное значение функционалаmind  D (t0 , x0 )I (d )   (t 0 , x 0 )(t 0 , x 0 )  Q .9.