tul11 (Лекции по теории управления)

Лекция 11.5. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХСИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ5.1. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ5.1.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Сигналы в дискретных динамических системах описываются последовательностями:  g k  , k  k 0 , k 0  1,  ,  x k  , k  k 0 , k 0  1,  , где k 0 –начальный момент дискретного времени k .2. Описание систем.

Дискретная система преобразует входной сигнал в выходнойпри заданных начальных условиях (рис. 1). Математические модели таких систем описываются разностными уравнениями.Начальные условияgkВходнойсигналxДискретнаядинамическаясистемаkВыходнойсигналРис. 1В общем случае одномерная линейная дискретная нестационарная системаописывается линейным разностным уравнениемan k  x k  n   an 1 k  x k  n  1    a0 k  x k   bm k  g k  m   bm 1 k  g k  m  1    b0 k  g k  ,k  k 0 , k 0  1,  ,(1)с начальными условиямиx k 0   x 0 , x k 0  1  x1 ,..., x k 0  n  1  x n 1 ,(2)где g (k ) – входной сигнал; x (k ) – выходной сигнал; k – дискретное время;an k  , , a0 k  ; bm k  ,  , b0 k  – коэффициенты левой и правой частей, зависящие отвремени k ; n и m – заданные числа, n  m .1З а м е ч а н и я.1.

Если an k   0, a0 k   0, уравнение (1) называется уравнением n -го порядка.Его решение определяется n начальными условиями (рис. 2).xx0k0x n 1x1k0  1x (k 0  n)k0  n  1 k0  nkРис. 22. Одномерная линейная дискретная стационарная система описывается разностным уравнениемan x k  n   an 1 x k  n  1    a0 x k   bm g k  m   bm 1 g k  m  1    b0 g k  ,(3)k  0, 1, 2 ,  ,с начальными условиямиx 0   x 0 , x 1  x1 ,..., x n  1  x n 1 ,(4)где an ,  , a0 ; bm ,  , b0 – постоянные коэффициенты.5.1.2.

Связь вход-выходДля линейных дискретных систем, как и для непрерывных, справедлив принципсуперпозиции. Выходной сигнал системы представляется в виде суммы свободного и вынужденного движений:x k   x с k   x вын k  .Свободное движение x с k  происходит при отсутствии внешнего воздействияg k   0  вследствие ненулевых начальных условий. Оно определяется решением однородного уравнения, соответствующего исходному уравнению (1):an k  x k  n     a0 k  x k   0 ,с начальными условиями2x k 0   x 0 , x k 0  1  x1 ,..., x k 0  n  1  x n 1 .В случае, когда начальные условия нулевые, свободное движение отсутствует( x c (k )  0 ).Вынужденное движение x вын k  – это реакция системы на внешнее воздействиепри нулевых начальных условиях.

Оно определяется решением неоднородного уравнения(1) при нулевых начальных условиях.З а м е ч а н и я.1. Общее решение однородного уравнения записывается в форме:x 0 k  n Cii 1i k  ,где C1 ,  , C n – произвольные постоянные; 1 k ,  ,  n k  – элементы фундаментальной системы решений, образуемой n линейно независимыми решениями однородногоуравнения, удовлетворяющими условию1 k 0  1 k 0  1  1 k 0  n  1 2 k 0   2 k 0  1   2 k 0  n  1 0. n k 0   n k 0  1   n k 0  n  12. Процедура нахождения свободного движения для стационарных систем (3),(4)сводится к решению соответствующего однородного уравнения ( g k   0 )an x k  n     a1 x k  1  a0 x k   0с начальными условиямиx 0   x 0 , x 1  x1 ,..., x n  1  x n 1и содержит три этапа.Первый этап.

Составить характеристическое уравнениеan n  an 1 n 1    a0  0и найти его корни: 1 ,  ,  n .Второй этап. В зависимости от типа корней выписать общее решение однородного уравнения (четыре случая).а) Если корни действительные разные, общее решение записывается в формеx k   C11k  C 2  2 k    C n  n k ,(5)где C1 ,  , C n – произвольные постоянные.б) Паре   i  комплексных сопряженных корней соответствует компонентаx k   r k  C1 cos k  C 2 sin k ,(6)3где r – модуль числа     i  , а  – аргумент, определяемые по формулам arctg  ,   0,   0 ,   arctg  ,   0,   0 ,,   0,   0 .2r   2  2 ,в) Действительному корню  j кратности m соответствует следующая составляющая общего решения:x k   C1  C 2 k    C m k m 1   j k ,(7)г) паре комплексных сопряженных корней кратности m :x k   r k C1 C 2 k    C m k m 1 cos k  B1  B 2 k    Bm k m 1 sin k ,(8)где C1 ,  ,C m ; B1 ,  , Bm – произвольные постоянные.Третий этап.

Найти произвольные постоянные с помощью начальных условий.3. Методика нахождения вынужденного движения содержит четыре этапа.Первый этап. Найти общее решение однородного уравнения.Второй этап. Найти частное решение неоднородного уравнения. В общем случаеприменяется метод вариации произвольных постоянных, а в частном случае, когда система описывается уравнениемan x k  n     a1 x k  1  a0 x k   g (k ) ,g k   r k Rq k  cos k  Pl k  sin k ,где Rq k  , Pl k  – многочлены степени q и l соответственно, r и  – заданные действительные числа, – метод подбора. Тогда частное решение ищется в формеx н k   r k Q p k  cos k  T p k  sin k  k s ,в которой p  max q ; l  ; Q p k  ,T p k  – многочлены переменной k степени pопределенными коэффициентами; число s находится следующим образом:(9)с не- 0 , если число r cos   i sin  не совпадаетsни с одним из корней характеристического уравнения , m , если число r cos   i sin  совпадает с корнем кратности m .Коэффициенты многочленов Q p k  ,T p k  находятся из тождества, которое получаетсяпри подстановке (9) в (1).Третий этап.

Найти общее решение неоднородного уравнения как сумму общегорешения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.Четвертый этап. Определить произвольные постоянные из нулевых начальныхусловий.45.1.3. Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал  g k  ,k  k 0 , k 0  1, ;б) дискретная динамическая система, описываемая разностным уравнениемan k  x k  n   an 1 k  x k  n  1    a0 k  x k   bm k  g k  m   bm 1 k  g k  m  1    b0 k  g k  ,k  k 0 , k 0  1,  ,в) начальные условия x k 0   x 0 , x k 0  1  x1 ,..., x k 0  n  1  x n 1 .Требуется найти выходной сигнал x k  ,k  k 0 , k 0  1, .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти свободное движение x с k  .2. Найти вынужденное движение x вын k  .3. Определить выходной сигнал как сумму свободного и вынужденного движений:x (k )  x c (k )  x вын k  .5.2. МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ5.2.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Сигналы представляются последовательностями векторов,зависящих от дискретного времени: g1 k  g k      , g k  r x1 k  x k      , x k  n  y1 k  y k      . y k  s 2.

Описание систем. Многомерная линейная нестационарная система описывается уравнением состоянияx k  1  A k  x k   B k  g k  ,k  k 0 , k 0  1, (10)с начальными условиями5 x10  x 20 x k 0   x 0   x  n0 (11)y (k )  C (k ) x (k ) ,(12)и уравнением выходагде x – n -мерный вектор состояния; g – r -мерный вектор входных воздействий (управлений); y – s -мерный вектор выхода; A(k ), B (k ),C (k ) – матрицы размера(n  n), (n  r ), (s  n) соответственно; k 0 – начальный момент времени (момент подачивходного воздействия).З а м е ч а н и я.1.

Многомерная система описывается набором из трех матриц: A k  , B k  , C k  .2. Если матрицы A k  , B k  , C k  не зависят от дискретного времени, система называется стационарной. Тогда уравнения (10)–(12) принимают вид:x k  1  A x k   B g k  , k  0, 1,  ;x 0   x 0 ;(13)y k   C x k  .5.2.2. Связи вход-состояние и вход-выходДля многомерных линейных дискретных систем, как и для непрерывных, справедлив принцип суперпозиции:x (k )  x c (k )  x вын k  ,y (k )  yc (k )  y вын k  ,где свободное движение x c (k ), yc (k ) является решением однородной системы при отсутствии внешнего воздействия, а вынужденное движение x вын k  , y вын k  – решениемнеоднородной системы с нулевыми начальными условиями. Рассмотрим процедуры нахождения свободного и вынужденного движений дискретной системы, описываемойуравнением состояния:x k  1  A k  x k   B k  g k  ,x k 0   x 0 .(14)Нахождение свободного движения ( при g k   0 ) связано с решением однороднойсистемы уравнений:x k  1  A k  x k  ,k  k 0 , k 0  1,  .Выписывая эту зависимость последовательно при k  k 0 , k  k 0  1, k  k 0  2 ит.д., имеем6x k 0  1  A k 0  x k 0   A k 0   x 0 ,x k 0  2   A k 0  1 x k 0  1  A k 0  1 A k 0  x 0 ,x k   A k  1 A k  2 A k 0  x 0 k 1 A i  x 0 .(15)i  k0Соотношение (15) определяет свободное движение в текущий момент времени kпо начальному состоянию x 0 .Получим общую формулу для нахождения решения неоднородной системы (14) сучетом (15).

Для этого запишем уравнение (14) последовательно при k  k 0 , k  k 0  1,k  k 0  2 и т.д.В результате имеемx k 0  1  A k 0  x k 0   B k 0  g k 0  ,x0x k 0  2   A k 0  1 x k 0  1  B k 0  1 g k 0  1  A k 0  1 A k 0  x 0  A k 0  1 B k 0  g k 0   B k 0  1 g k 0  1 ,x k  k 1 A i  x 0i  k0 k 1   A l  B  j  g  j   B k  1 g k  1 j  k0 l  j 1k 2свободное движениеk 1 k , k 0  x 0свободное движение(16) k, j  1 B  j  g  j ,j  k0вынужденное движениегде  k , k 0  – переходная матрица, определяемая соотношением A k  1 A k  2 A k 0  , k , k 0   E,k  k 0  1,k  k0 .Переходная матрица удовлетворяет уравнению k  1, k 0   A k   k , k 0  ,k  k0 ,(17) k 0 , k 0   E .7З а м е ч а н и я.1.