Методические рекомендации по выполнению типового задания, страница 3

Это возможно, когда точка1 a.пересечения годографа W (i ) с осью U лежит левее 2 b31 3T1T2T3   T1  T2  T3 0Im W (i )  0 T12 2  1T22 2  1T32 2  1   2T1T2T3  T1  T2  T3    0 2T1T2T3  T1  T2  T3T1  T2  T3T1T2T3Re W (i )T1  T2 T3T1T2T3T1  T2  T3T1T2  T1T3  T2T3   1T1T2T3 k  2 T1  T2  T3   2 T1  T2  T3   2 T1  T2  T3  1  T2 1  T3 1 T1T1T2T3T1T2T3T1T2T3T1T2T3 kT1  T2  T1T2  T1T3  T2T3  T32kT1  T2  T1T2T31 a22 bT1T2  T1T3  T2T3  T321  a T1  T2  T1T2  T1T3  T2T3  T3k2bT1T2T3k12221  a 12221n200 b2000Задание № 1732Решить задачу оптимального управления, следуя примеру 9.2.Найти управление u(t) и траекторию x(t) системыnx (t )   x(t )  u (t )10исходящую из точки x(0)  n  15.5 , доставляющие минимум функционалуT1I    x 2 (t )  u 2 (t ) dt ,n0nT  1   ,10 где [.] – целая часть числа.Решение1)Выпишем гамильтониан:1 nH  t ,  , x, u      x  u   x 2  u 2 10n2)Найдём структуру оптимального управления из условия максимума гамильтониана поуправлению:H2  uun2 *n  u  0  u*  n22 H2   0  удовлетворяются достаточные условия экстремума.2un3)Запишем канонические уравнения принципа максимума:nnn* x   10 x  u   10 x  2 Hn   2x  x 10 x(0)  n  15.54)Рассмотрим условие трансверсальности: F  H (t1 ) t1   (t1 ) x  t1 T  0 F  0,  t1  0   (T ) x  0В силу произвольности  x получаем  (T )  0 .5)В итоге получаем систему:33nn x   10 x  2   n   2 x10 x(0)  n  15.5 (T )  0 n n 10 2 Матрица системы A   .

Составим характеристическое уравнение и решим его.n 210 n102n2n10 0  2 1,2  n2n 0100n2n100 n2nnn10  .СЗ 1  n соответствует СВ h1   100100212 nn2n2n100 n соответствует СВ h2    10СЗ  2  .10021 x    en2nt100 n2nn10  C  e  t 100121n2n100 nn2n100  10 C221n2nnn2n n10 C   10100 x(0)  100C2  n  15.5122n2n2TnTn1001000TCeCe()12Решим эту систему методом Крамера.Tn2nСделаем замену переменных: a  n, b  , c  e1001034n2n100ab2aba  b  a  b  c a (1  c 2 )  b(c 2  1)212c22cccabn  15.5 n  15.521 1c0cabn  15.52  2 c(n  15.5)c0n  15.52c2n  31C1  1 22ca(1  c )  b(c  1) a(1  c 2 )  b(c 2  1)22c 2 (n  15.5) a (1  c 2 )  b(c 2  1)Сделаем обратную замену переменных:2n  31C1 2nn2n2Tn2n 2T 100  n100(1  e) n  (e 1)10010C2 eC2 (1  en2n2T1002Tn2n100(2n  31)n2n 2T) n  (e10010n2n100 1)6)n2nn 10010 C  e  t122x* (t )  etnn100 (t )  e*tn tu (t )   e2 *n2n100C1  en2n100tC1  et2nn100n2n100nn2n10100C22C2n2n100C2 Задание № 18Решить задачу оптимального управления, следуя примеру 9.9.Найти оптимальное по быстродействию управление u(t), соответствующую емутраекторию x(t) системы x1 (t )  x2 (t )  n  10.5 x2 (t )  u (t )u (t )  1и время, затрачиваемое на переход из начального состояния35 x1 (0)  n x2 (0)  1в начало координат.Решение1)Сформулируем проблему в форме задачи минимизации функционалаTI   dt  min ,0где момент окончания процесса управления T не задан и подлежит определению.Составим гамильтониан H  t ,  , x, u    1  x2  n  10.5   2u  12)Найдём структуру оптимального управления из условия максимума гамильтониана поуправлению.

Так как гамильтониан линеен по u на заданном отрезке измененияуправления, то u * (t )  sign  2 (t ) .3)Выпишем канонические уравнения принципа максимума: x1 (t )  x2 (t )  n  10.5 x (t )  u (t ) 2H 1 (t )   x  01 (t )   H  1 2x2 x1 (0)  n x2 (0)  1 x1 (T )  0 x2 (T )  04)Проверим условия трансверсальности: F  H  t1   1 (t1 ) x1   2 (t1 ) x2  t1 T  0t1  T   t1 - произвольна.x1 (T )  0   x1  0x2 (T )  0   x2  0 H  t1  0  H (T )  0 1  0   1  C1 2 (t )  C1t  C2u * (t )  sign  C1t  C2 5)Для u=1: x1  x2  n  10.5 x2  136dx1 x2  n  10.5dx21x1  x2 2   n  10.5 x2  C12Для u=-1: x1  x2  n  10.5 x2  1dx1  x2   n  10.5dx21x1   x2 2   n  10.5 x2  C12Построим фазовый портрет.1 2xn10.5xC 2 1   x2   n  10.5 2 2x2   n  10.5  0  x2   n  10.5Для AB: x1  x2  n  10.5 x  1 2 x1 (0)  n x2 (0)  1x2  t  C1x2 (0)  С1  1  x2  1  tx1  1  t  n  10.5  t  n  9.5t2x1     n  9.5 t  C2237x1 (0)  C2  n  x1  t2  n  9.5 t  n2Для BO: x1  x2  n  10.5 x  1 2 x1 (T )  0 x2 (T )  0x2  t  C1x2 (T )  T  С1  0  C1  T  x2  t  Tx1  t  T  n  10.51x1  t 2   n  T  10.5 t  C221 2T2x1 (T )  T   n  T  10.5 T  C2  0  C2  T  n  10.522t2T2 T  n  10.5 x1    n  T  10.5 t 22 x  t  T 26) Используя условие неразрывности траектории в точке t1 , получим: x1 (t1 )  x1 (t1 ) x2 (t1 )  x2 (t1 )2 t2t1  t2 t121  t1  t2   n  10.5    n  9.5 t1  n    n   t1  t2   10.5 t1 22 21  t  t   t  t 12 1 1t2  t1  1 2t  1  2t  1 n  10.5t2t2 1   n  9.5 t1  n  1   n   2t1  1  10.5 t1  1 1 222t12   2n  19 t1  10  02t1,2 2n  19 4n 2  76n  4012Из неотрицательности времени получаемt1 2n  19  4n 2  76n  401,2t2 2n  17  4n 2  76n  401.2В итоге получаем T  t1  t2  2n  18  4n 2  76n  401 .ЛитератураПантелеев А.В., Бортаковский А.С.

Теория управления в примерах и задачах.- М.:Высшая школа, 2003.38.