Лекция по теплопередаче №9 (Полный курс лекций по теплопередаче)

ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ1. Определяющий размер и определяющая температура. КритериальноеуравнениеДля стационарного теплообмена и при изменении коэффициента теплоотдачи тольковдоль продольной координаты x (например, для течения жидкости в круглой трубе, дляпродольно омываемой пластины и при продольном обтекании осесимметричного тела)зависимость между определяемым критерием Nu и определяющими кретериями можнопредставить в виде:Nu = f (Re f , Pr f , M , Grf , Tw / T f , nc , nλ , nμ , X )(1)При больших значениях числа Re влиянием свободной конвекции можно пренебречь, иуравнение (1) упрощается:Nu = f (Re f , Pr f , M , Tw / T f , nc , nλ , nμ , X )(2)2. Уравнения пограничного слояРассмотрим уравнения, описывающие стационарное течение в двухмерном пограничномслое.

Для простоты предположим вначале, что плотность постоянная.Основные уравнения:ρ⎡ ⎛ ∂V ∂V j ⎞ 2⎤⎢ μ ⎜⎜ i +⎟⎟ − μ ⋅ δ ij divV ⎥⎢⎣ ⎝ ∂x j ∂xi ⎠ 3⎥⎦⎤⎛ ∂ ∂Vi∂ ⎡ ⎛ ∂Vi ∂V j ⎞ 2∂ ∂V j ⎞++⎢ μ ⎜⎜⎟⎟ − μ ⋅ δ ij divV ⎥ = μ ⎜⎜⎟⎟ =∂x j ⎢⎣ ⎝ ∂x j ∂xi ⎠ 3∂x∂x∂x∂xjjji⎝⎠⎦⎥∂Vi∂V∂p∂+ ρV j i = −+ ρ Fi +∂t∂x j∂xi∂x j(3)(4)⎛ ∂ ∂Vi∂ ∂V j ⎞∂ 2V+= μ 2i⎟⎜ ∂x ∂x ∂x ∂x ⎟∂x jij ⎠⎝ j jμ⎜ρu⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞∂u∂u∂p+ ρv= − +μ⎜ 2 + 2 ⎟∂x∂y∂x∂y ⎠⎝ ∂x(5)⎛ ∂ 2v ∂ 2v ⎞∂v∂v∂pρu + ρv = − + μ ⎜ 2 + 2 ⎟∂x∂y∂y∂y ⎠⎝ ∂x(6)∂u ∂v+=0∂x ∂y(7)u = u / uf ;v = v / uf ;x = x / l;p = p /( ρ f u 2f ); δ = δ / l ;Re =y = y / l;ρu f lμ(8)∂u∂u∂ p 1 ⎛ ∂2 u ∂2 u ⎞+v=−++⎜⎟∂x∂y∂ x Re ⎜⎝ ∂ x 2 ∂ y 2 ⎟⎠∂v∂v∂ p 1 ⎛ ∂2 v ∂2 v ⎞u+v=−++⎜⎟∂x∂y∂ y Re ⎜⎝ ∂ x 2 ∂ y 2 ⎟⎠∂u ∂v+= 0; v / u ∼ δ / l∂x ∂ yu∂2 u∂y2∼1δ;2∂2 u∂x2∼ 1;1Re δ22∼1⇒δ ∼(9)(10)(11)1δ,∼Rel1Re(12)∂p δ∼∂y l(13)Основные выводы:1) Вертикальная составляющая скорости мала по сравнению с продольнойсоставляющей2) Давление поперек пограничного слоя можно считать постоянным p = p( x )В общем случае, когда плотность переменная, система уравнений пограничного слоимеет вид:ρudp ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ v )∂u∂u+ ρv= − + ⎜μ ⎟ ,+=0∂x∂y∂x∂ydx ∂y ⎝ ∂y ⎠dp ∂ ⎛ ∂T∂T∂T+ ρ vC p=u+ρ uC pλ∂x∂ydx ∂y ⎜⎝ ∂yτ ij⎞⎛ ∂u ⎞⎟ + μ ⎜ ∂y ⎟⎠⎝ ⎠(13)2(14)⎡ ∂V ∂V ∂V ∂V 2∂Vi ⎡ ⎛ ∂Vi ∂V j ⎞ 2∂Vk ⎤ ∂Vi∂V ∂V ⎤= ⎢μ ⎜+−⋅= μ ⎢ i i + j i − ⋅ δ ij k i ⎥ =μδ⎥⎟ij∂x j ⎢⎣ ⎝⎜ ∂x j ∂xi ⎠⎟ 3∂xk ⎥⎦ ∂x j∂xk ∂x j ⎦⎥⎣⎢ ∂x j ∂x j ∂xi ∂x j 3⎡⎛ ∂V ⎞ 2 ∂V ∂V 2 ⎛ ∂V ⎞ 2 ⎤μ ⎢⎜ i ⎟ + j i − ⎜ k ⎟ ⎥∂xi ∂x j 3 ⎝ ∂xk ⎠ ⎥⎢⎜⎝ ∂x j ⎟⎠⎣⎦∂T∂T∂Tdp ∂ ⎛ μ+ ρ vC p=u+ ⎜ Cpρ uC p∂x∂y∂ydx ∂y ⎝ Pr(15)2⎞⎛ ∂u ⎞⎟ + μ ⎜ ∂y ⎟ ,⎠⎝ ⎠Pr =μC pλ(16)(17)⎛ ∂T ⎞λ ⎛ ∂T ′ ⎞q = α (T f − TW ) = λ ⎜, α= ⎜⎟l ⎝ ∂y ′ ⎟⎠W⎝ ∂y ⎠W⎛ ∂T ′ ⎞αl1⎜ ∂y ′ ⎟ ∼ δ / l ∼ Re, λ ∼ Re, т.е.

Nu ∼ Re⎝⎠WNu = 0.332 Re Pr1/ 3(15)(16)3. Связь между трением и теплообменом при малых скоростях (плоская пластина)Для такого течения справедливо:2⎛ ∂u ⎞dp= 0, μ ⎜ ⎟ = 0dx⎝ ∂y ⎠u = u / uf ; T =(18)y = 0 : u = 0; T = 0T − TW, гр.условия:T f − TWy = δ : u = 1; T = 1∂u∂u ∂ ⎛ ∂u ⎞+ ρv= ⎜μ ⎟∂x∂y ∂y ⎝ ∂y ⎠∂T∂T∂ ⎛ μ ∂T+ ρv= ⎜ρu∂x∂y ∂y ⎝ Pr ∂yρu,⎞⎟⎠(19)(20)(21)Трение на стенке определяется по формуле:⎛ ∂u ⎞⎟⎝ ∂y ⎠Wτ W = μW ⎜(22)Введем критерий подобия2 μW ⎛ ∂u ⎞2 μW ⎛ ∂ u ⎞2 ⎛ ∂u ⎞(23)=⎜⎟ =⎜⎟⎟2 ⎜ρ u / 2 ρ1u1 ⎝ ∂y ⎠W ρ1u1 l ⎝ ∂ y ⎠W Re ⎝ ∂ y ⎠WИсходя из оценок, только что полученных для пограничного слоя (формула (12)),⎛ ∂u ⎞величина ⎜⎟ имеет порядок:⎝∂y ⎠Cf =τW21 1=∂u 1l∼= ∼ Reδ∂y δПодставляя эту оценку в (23), получаем:(24)1ReЧисленное решение уравнений пограничного слоя дает точную формулу для C f :Cf ~Cf =0.664Re(25)(26)Рассмотрим теперь решение уравнений (20) и (21) для случая Pr = 1 .

Очевидно, что сучетом совпадения граничных условий (см. (19)), получается совпадение решений:∂ u ∂T=∂y ∂y(27)⎛ ∂u ⎞⎛ ∂T ⎞α l ⎛ ∂T ⎞, Nu =q = α (T f − TW ) = λ ⎜=⎜⎟ =⎜⎟⎟λ ⎝ ∂ y ⎠W ⎝ ∂ y ⎠W⎝ ∂y ⎠W(28)Из (23) следует:Nu =C f Re(29)2Это и есть связь трения и теплообмена при Pr = 1В общем случае эта связь имеет вид:Pr ≠ 1:Nu 1= Re Pr1/ 3Cf 2(30)С учетом (26), получаем важную формулу:Nu = 0.332 Re Pr1/ 3(31).