Лекция по теплопередаче №11 (Полный курс лекций по теплопередаче)

ТУРБУЛЕНТНЫЙ КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН1. Ламинарный и турбулентный режимы течения2. Осредненное и пульсационное движение3.Использование теории вероятностейФункция плотности вероятностей f X ( x ) . Например, нормальное распределение имеетвид:⎛ ( x − μ )2 ⎞1f X ( x) =exp ⎜ −⎟2σ 2 ⎠σ 2π⎝(4)Вероятность того, что случайная величина x находится в пределах x1 < x < x2 равна(5)x2∫fX( x )dxx1Осреднение по времени:1U=Δtt +Δt∫ U (t )dt(6)tгде Δt - достаточно большой промежуток времени по сравнению с характерным временемтурбулентных пульсаций, но много меньше характерного времени решения задачи.Математическое ожидание случайной величины (Среднее по ансамблю)(7)+∞M (U ) =∫U⋅ fU(U )dU−∞Существует так называемая эргодическая теорема (или в более мягкой форме гипотеза ),гласящая, что среднее по ансамблю частиц и среднее по времени для одной частицыравны.M (U ) ≈ UМы не будем в дальнейшем различать эти величины(8)ПульсацияU = U + U ′ , U ′ - пульсационная составляющая(9)Дисперсия случайной величины2D (U ) = M ⎡( M (U ) − U ) ⎤ = M (U ′2 ) = U ′2⎣⎦(10)Две случайные величины независимы, еслиM (uv ) = M (u ) M ( v ) , т.е.

uv = u ⋅ v(11)Ковариация двух случайных величинcov(u, v ) = M ⎡⎣( u − M (u ) )( v − M ( v ) ) ⎤⎦ = M (uv ) − M (u ) M ( v ) = u′v′(12)Очевидно, что для независимых случайных величин ковариация равна 0Из (12) следует:M (uv ) = cov(u, v ) + M (u ) M ( v ) или uv = u′v′ + uv(13)4. Пример несжимаемого течения в пограничном слое∂ ( ρ u 2 ) ∂ ( ρ uv )∂p ∂ ⎛ ∂u ⎞+= − + ⎜μ ⎟ ,∂x∂y∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠Осредним с учетом (13)(14)2∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ u′2 ) ∂ ( ρ uv ) ∂ ( ρ u′v′)∂ p ∂ ⎛ ∂u ⎞+++=−+ ⎜μ ⎟,∂x∂x∂y∂y∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠(15)Величиной u′2 в пограничном слое можно пренебречь, а u′v′ имеет физический смыслдополнительного трения, возникающего в турбулентном пограничном слое.Одна из основных гипотез, используемых в теории турбулентных течений, предполагает,что турбулентное трение по своей сути аналогично молекулярному. Отсюда:∂u(16)ρ u′v′ = − μT,∂xгде μT - коэффициент дополнительной турбулентной вязкости.Окончательно:2∂( ρ u ) ∂( ρ uv )∂p ∂ ⎛∂u ⎞+=−+ ⎜ ( μ + μT ) ⎟ ,∂x∂y∂x ∂y ⎝∂x ⎠(17)илиρu∂u∂u∂p ∂ ⎛∂u ⎞+ ρv=−+ ⎜ ( μ + μT ) ⎟ ,∂x∂y∂x ∂y ⎝∂x ⎠(18)5.

Турбулентная вязкостьИспользование турбулентной вязкости⎛ ∂U ∂U j 2 ∂U i ⎞− δρU i′′U ′′j = − μT ⎜ i +,⎜ ∂x j ∂xi 3 ij ∂xi ⎟⎟⎝⎠Аналогия с молекулярнойμ ∼ ρ vl ,μT ∼ ρ k L ,(19)(20)(21)k - кинетическая энергия турбулентностиСкорость диссипацииДостаточно мелкомасштабная структура турбулентных потоков обладает рядомуниверсальных закономерностей, установленных в 1941 г. А.Н. Колмогоровым и А.М.Обуховым.Если ср. скорость потока U существенно меняется на масштабе L, то для масштабовr L , согласно первой гипотезе подобия Колмогорова, статистич.

характеристикиразностей полей в двух точках, разделенных расстоянием r, будут однородны иизотропны, а структура потока определяется лишь кинематич. вязкостью и скоростьюдиссипации кинетич. энергии ε на ед. массы (величину можно оценить как k 3/ 2 / L )μT = C D ρk2ε,(22)⎡ ∂U ⎤ ⎡ ∂U ⎤ε =ν ⎢ j ⎥ ⎢ i ⎥⎣ ∂xi ⎦ ⎣⎢ ∂x j ⎦⎥(23)(24)6. Расчет теплообмена в турбулентном пограничном слое7. Порядок расчета теплообмена.Подведем итог.Как правило, заданы: температура стенки Tw , параметры внешнего потока – скорость u1(или число Маха M 1 ), температура T1 , давление p1 .

Если задана высота полета, давлениеи температура внешнего потока определяются по стандартной атмосфере (см. , например,http://k204.net/exams/test/calculator.htm )Для расчета плотности теплового потока при течении вдоль плоской поверхности в точкес продольной координатой x необходима следующая последовательность шагов.1) Определяем, какой режим течения в данной точке, ламинарный или турбулентный.Для этого рассчитываем значение критерия ReRe x =ρ1u1 x,μ1(25)При этом плотность ρ1 и вязкость μ1 определяются по температуре и давлению внешнегопотока. Для воздуха можно использовать онлайновый расчет свойств воздуха:http://k204.net/exams/test/air_prop3.htm2) Если значение Re x меньше критического, то режим течения принимаетсяламинарным, больше критического – турбулентным.Значение Re кр , как правило, принимается равнымRe кр = 5 ⋅ 105 ,3) Определяем Te температуру теплоизолированной стенки или эффективнуютемпературуu12k −1 2 ⎞⎛Te = T1 + r= T1 ⎜ 1 + rM 1 ⎟ = T1 (1 + rω ) ,2C p2⎝⎠(25)(26)(k − 1) 2u2M1 = 1 ;22C pT1r - коэффициент восстановления температуры, для ламинарного пограничного слояr = Pr , для турбулентного - r = Pr1/ 3 ;uM 1 = 1 число, a z - скорость звукаazгде ω =4)Критериальное уравнение для расчета теплообмена на пластине имеет вид:при ламинарном режиме теченияNuw = 0.332 Re w Prw1/ 3 K(26)при турбулентном режиме течения0.43Nuw = 0.0296 Re0.8KTw Prw(27)где K , KT - факторы, учитывающие сжимаемость;в качестве определяющей температуры используется Tw , определяющего размера координата x ,т.е.ρ uxRe w = w 1(28)μwПриближенные формулы для K , KT могут быть получены разными способами.Например,1/15⋅T / T1/ 3⎛ μ * ρ * ⎞ ⎛ μ1 ρ1 ⎞ w eK =⎜,⎟ ⎜ * *⎟⎝ μw ρ w ⎠ ⎝ μ ρ ⎠где индекс «*» означает, что данная температура относится к T * - максимальнойтемпературе в пограничном слое.Если Tw > Te , T * = Tw ;если Tw < Te11 − Tw / T1 ⎞+ 1⎟(T01 − Twe ) ⎛⎜4ω⎝⎠Для турбулентной поправки можно использовать формулу:0.40.11KT = (Tw / Te ) (1 + rω )T * = Tw +5) После определения Nuw вычисляем коэффициент теплоотдачиNu λα= w wx(28)(29)(30)(31)6) Окончателтная формула для определения местного значения плотности иепловогопотока имеет видqw = α (Te − Tw )(32)Для тел произвольной формы можно использовать такую же методику расчета, тольковместо реальной продольной координаты x использовать эффективную длину xэф ,которая приблизительно может быть подсчитана по следующим формулам.Для ламинарного пограничного слоя:xxэф =∫ρ0u R 2dxw 1ρ wu1R2(33),где R - текущий радиус осесимметричного тела; для плоских тел R = 1 .Для турбулентного пограничного слоя:xxэф =∫ρ0u R 5/ 4 dxw 1ρ wu1R5/ 4,(34).