1612134388-d20d03383b01c1a9fbfd71213fc2b6e2 (Г.Л.Коткин, В.Г.Сербо, А.И.Черных - Лекции по аналитической механике (2010))

Г. Л. Коткин, В. Г. Сербо, А. И. ЧерныхЛЕКЦИИ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙМЕХАНИКЕУчебное пособиеМосква Ижевск2010УДК 531(075.8)ББК 22.211я73К 733Интернет-магазинhttp://shop.rcd.ru••••физикаматематикабиологиянефтегазовыетехнологииКоткин Г. Л., Сербо В. Г., Черных А. И.Лекции по аналитической механике. Учебное пособие. — М.–Ижевск: НИЦ«Регулярная и хаотическая динамика», 2010. — 236 с.Аналитическая механика излагается как часть курса теоретической физики,призванная познакомить студентов с набором методов и понятий, которые окажутся чрезвычайно полезными в теории поля, квантовой механике и статистическойфизике. Рассматривается движение частиц в центральном поле и рассеяние частицна основе уравнений Ньютона, вводятся и подробно изучаются уравнения Лагранжадля различных систем, линейные и нелинейные колебания, гамильтонов формализм,движение твердого тела.

К каждой теме приведены задачи, решавшиеся на семинарах.Предназначено для студентов физических факультетов. Содержание соответствует курсу «Аналитическая механика».ISBN 978-5-93972-???-?c Г. Л. Коткин, В. Г. Сербо, А. И. Черных, 2010c НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010http://shop.rcd.ruhttp://ics.org.ruББК 22.211я73ОглавлениеПредисловие .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ГЛАВА I. НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА. ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕ.РАССЕЯНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1. Одномерное движение в потенциальном поле. Период колебаний . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Движение в центральном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Задача Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Изотропный осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .§ 5. Задача двух тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 6. Сечение рассеяния. Формула Резерфорда . . . . . . . . . . . .§ 7. Теорема о вириале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ГЛАВА II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА . . . . . . . . . . . . . .§ 8. Уравнения Лагранжа . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 9. Принцип наименьшего действия . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 10. Функция Лагранжа для частицы в электромагнитном поле.Неоднозначность выбора функции Лагранжа . . . . . . . . . .§ 11. Функция Лагранжа в релятивистском случае . . . .

. . . . . .§ 12. Функция Лагранжа для систем с идеальными голономнымисвязями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 13. Циклические координаты. Энергия в лагранжевом подходе . .§ 14. Симметрия и интегралы движения. Теорема Нётер . . . . . .§ 15. Фундаментальные законы сохранения для замкнутой системы частиц . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 16. Преобразования Галилея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 17. Неинерциальные системы отсчета . . . . . . . . . . . . . . . .§ 18. Эффективная функция Лагранжа для электромеханическихсистем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .6881114232526343838414547495458626567714ОглавлениеГЛАВА III. КОЛЕБАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 19. Линейные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 20. Ортогональность нормальных колебаний. Случай вырождения частот . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .§ 21. Вынужденные колебания. Резонансы . . . . . . . . . . . . . .§ 22. Колебания при наличии силы трения . . . . . . . . . . . . . .§ 23. Колебания при наличии гироскопических сил . . . . . . . . .§ 24. Колебания симметричных систем . . . . . . . . . . . .

. . . .§ 25. Колебания молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 26. Колебания линейных цепочек . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 27. Акустические и оптические колебания линейных цепочек . .§ 28. Вынужденные колебания линейных цепочек под действиемгармонической силы . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .§ 29. Нелинейные колебания. Ангармонические поправки . . . . .§ 30. Нелинейные резонансы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 31. Параметрический резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 32. Движение в быстро осциллирующем поле . . . . . . . . . . .757581879094100103106113115118123128132ГЛАВА IV.

ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА . . . . . . . . . . . .§ 33. Уравнения Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 34. Вариационный принцип для уравнений Гамильтона . . . . . .§ 35. Скобки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 36. Канонические преобразования .

. . . . . . . . . . . . . . . . .§ 37. Канонические преобразования и скобки Пуассона . . . . . . .§ 38. Примеры канонических преобразований . . . . . . . . . . . .§ 39. Действие вдоль истинной траектории как функция начальных и конечных координат и времени . . .

. . . . . . . . . . .§ 40. Теорема Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 41. Уравнение Гамильтона–Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 42. Переменные действие–угол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 43. Адиабатические инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 44. Движение системы со многими степенями свободы. Динамический хаос . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134134141142146152155ГЛАВА V. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА . . . . . . . . . . . . .§ 45. Кинематика твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 46. Импульс, момент импульса и кинетическая энергия твердоготела . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 47. Уравнения движения твердого тела. Примеры . . . . . . . . .§ 48. Углы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188188158162165171177183191197205ОглавлениеДОПОЛНЕНИЯ . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A. Элементы вариационного исчисления . . . . . . . . . . . . . .B. Системы со связями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .C. Уравнение Хилла, уравнение Матьё и параметрический резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .D. Обобщение канонических преобразований . . . . . . . . . . .E.Дифференциальные формы и канонические преобразования .5209209212219227229Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235ПредисловиеПредисловиеПонятно, что аналитическая механика так или иначе нужна физику, область деятельности которого связана с механикой (гидродинамика, газоваядинамика и т. д.). Но нужна ли она студенту, который собирается работатьв области физики плазмы, ядерной физики, квантовой оптики, радиофизики и т.

д.? Нужна! Дело в том, что аналитическая механика является первойглавой теоретической физики; развиваемые в этой главе методы и идеиоказываются важными буквально для всех остальных разделов теоретической физики. Лагранжев и гамильтонов формализмы, нормальные колебания, адиабатические инварианты, теорема Лиувилля, канонические преобразования — эти понятия являются той азбукой, без знания которой невозможно глубокое изучение теории поля, статистической физики, квантовоймеханики. Почти наверняка в любой серьезной книге по физике встречается стандартная фраза «Гамильтониан в этом случае имеет вид.

. . » (см.,например, книгу «Физики продолжают шутить». С. 154).Данное пособие написано на основе нашего многолетнего опыта чтения лекций и проведения семинаров на физическом факультете Новосибирского государственного университета. Лекции читались раз в неделю в течение весеннего семестра 2-го курса параллельно со второй частью электродинамики и перед курсом квантовой механики. Отметим особенностиэтого курса.(i) Основной особенностью является постепенное вхождение в сложные разделы аналитической механики, с тем чтобы не потерять связь сослушателями. В начале курса повторяются частично известные еще с первого семестра уравнения Ньютона, движение в центральном поле и рассеяние. Уравнения Лагранжа выводятся из принципа Гамильтона, а ихсправедливость проверяется сведением их к уравнениям Ньютона.

Мынадеемся, что такой подход позволяет проще и быстрее освоить новые понятия лагранжевой механики. Далее читались уже устоявшиеся традиционные разделы аналитической механики как части курса теоретической физики: линейные и нелинейные колебания, гамильтонов формализм, движениетвердого тела. Возникшие в последнее время такие важные разделы, какобщее исследование уравнений динамики, улучшенная теория возмущений7для нелинейных колебаний, динамический хаос, должны, по нашему мнению, быть предметами отдельных дополнительных курсов.(ii) Если была возможность достаточно просто провести аналогии илисопоставления с электродинамикой, квантовой механикой, статистическоймеханикой, мы не могли устоять перед такими искушениями.(iii) В пособие включено большинство задач, которые решались на семинарах.