1612134387-a2fccbf390d18c9a09d2258f69cea51b (Г. Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2010))

Г. Л. КОТКИН , В. Г. С ЕРБОСБОРНИК ЗАДАЧПО КЛАССИЧЕСКОЙМЕХАНИКЕИздание четвертое, исправленное и дополненноеМосква Ижевск2010УДК 531(075)ББК 22.21я73К 733физикаматематикабиологиянефтегазовыетехнологииПредисловие к четвертому изданию . . . . . . . . . . .

. . . . . .4Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Из предисловия к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . .5§ 1.Коткин Г. Л., Сербо В. Г.Сборник задач по классической механике. Изд. 4-е, испр. и доп. — Ижевск:НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010, 360 стр.В настоящее издание включены новые задачи из числа использованных в преподавании на физическом факультете Новосибирского государственного университета, а также задачи, добавленные в изданиях на испанском и французском языках.По охватываемому материалу сборник соответствует книгам «Механика»Л. Д. Ландау, Е.

М. Лифшица и «Классическая механика» Г. Голдстейна.Для студентов, аспирантов и преподавателей, — физиков и математиков.ISBN 5-93972-058-7c Г. Л. Коткин, В. Г. Сербо, 2001, 2010c НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 2010http://shop.rcd.ruhttp://ics.org.ruББК 22.21я73§ 2.§ 3.§ 4.§ 5.§ 6.§ 7.§ 8.§ 9.§ 10.§ 11.§ 12.§ 13.Интегрирование уравнений движения систем с однойстепенью свободы .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .Движение частиц в полях . . . . . . . . . . . . . . . .Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Уравнения движения. Законы сохранения . . . . . .

.Малые колебания систем с одной степенью свободы .Малые колебания систем с несколькими степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Колебания линейных цепочек . . . . . . . . . . . . .Нелинейные колебания . . . . . . . . . . .

. . . . . .Движение твёрдого тела. Неинерциальные системы отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона . . . . . . .Канонические преобразования . . . . . . . . . . . . .Уравнение Гамильтона–Якоби . . . . . . . . . . . . .Адиабатические инварианты . . . . . . . .

. . . . . .Ответыи решенияhttp://shop.rcd.ru••••ЗадачиИнтернет-магазинОглавление6872831417241301451622840441782332534653576467267293304324340Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359Предисловие к четвертому изданиюПредисловие ко второму изданиюВ настоящее издание включены новые задачи из числа использованныхв преподавании на физическом факультете Новосибирского государственного университета, а также задачи, добавленные в изданиях на испанскоми французском языках. Мы также постарались избавиться от наследия телеграфного стиля прежних изданий. С этой целью внесено значительноечисло исправлений и дополнений, уточняющих или проясняющих условияи решения задач.В этом году вышла книга Коткина, Сербо и Черных «Лекции по аналитической механике» [33], написанная на основе нашего многолетнего опытачтения лекций и проведения семинаров на физическом факультете Новосибирского государственного университета.

В ряде случаев мы нашли уместным сделать дополнительные ссылки на тот или иной раздел этой книги,прямо связанный с рассматриваемой задачей.Кроме того, мы согласовали обозначения этого сборника и «Лекций».В этом издании основные обозначения таковы:r, p и M — радиус-вектор, импульс и момент импульса частицы;L, H и E — функция Лагранжа, функция Гамильтона и энергия системы;E и B — электрическое и магнитное поля;ϕ и A — скалярный и векторный потенциалы;dΩ — элемент телесного угла.Настоящее издание существенно дополнено и переработано. Наибольшей переработке подверглись §§ 6 и 9. В § 6 для исследования колебанийсложных систем более широко используются свойства симметрии и методытеории возмущений.

Значительно расширен § 9 (о движении твердого тела).Мы рады случаю выразить глубокую благодарность редактору английского перевода задачника профессору Д. тер Хаару, многочисленные замечания которого способствовали устранению ряда неточностей и опечаток.Мы признательны А. В. Михайлову за полезные обсуждения некоторыхновых задач.Из предисловия к первому изданиюПредлагаемый сборник задач предназначен для студентов-физиков. Поохватываемому материалу он примерно соответствует книгам «Механика»Л.

Д. Ландау и Е. М. Лифшица и «Классическая механика» Г. Голдстейна.Мы надеемся, что чтение сборника будет интересным не только длястудентов, изучающих механику, но и для лиц, знающих её. Порядок расположения задач в основном такой же, как и в курсе Ландау и Лифшица, затем исключением, что систематическое использование уравнений Лагранжаначинается здесь с § 4. Задачи же первых трех параграфов можно решать,используя лишь уравнения Ньютона и законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. За редкими исключениями обозначения в сборникесовпадают с обозначениями «Механики» Л.

Д. Ландау и Е. М. Лифшица ичасто даже специально не оговариваются. В задачах об электрических цепях используется Международная система единиц СИ, а в задачах о движении частиц в электромагнитных полях — гауссова система.Мы глубоко благодарны Ю. И. Кулакову за постоянную помощь. Намособо хотелось бы подчеркнуть его роль в составлении и обсуждении большого числа задач. Мы считаем приятным долгом поблагодарить И. Ф. Гинзбурга за целый ряд полезных советов и указаний, которые были нами приняты к сведению.

Мы весьма благодарны В. Д. Кривченкову, живое участиеи советы которого укрепили нас в решимости довести до конца эту работу,1.9]§ 1. Интегрирование уравнений движения систем7Задачи§ 1. Интегрирование уравнений движения систем с однойстепенью свободы1.1. Определить закон движения частицы в поле U (x):a) U (x) = A(e−2αx − 2e−αx ) (потенциал Морза, рис. 1, а);б) U (x) = −U0(рис.

1, б);ch2 αxв) U (x) = U0 tg2 αx (рис. 1, в).Рис. 3Рис. 41.5. а) Оценить период движения частицы в поле U (x) (рис. 4), еслиеё энергия близка к Um (т. е. E − Um Um − Umin ).б) Определить, в течение какой части периода частица находится научастке от x до x + dx.в) Определить, в течение какой части периода частица имеет импульс mẋ в интервале от p до p + dp.г) На плоскости x, p = mẋ изобразить качественно линии E(x, p) == const для случаев E < Um , E = Um , E > Um .1.6.Частица массы m может двигаться по окружности радиуса lв вертикальной плоскости в поле тяжести (математический маятник). Найти закон её движения, если кинетическая энергия в нижней точке E равна 2mgl.Оценить период обращения маятника в случае, когда E − 2mgl 2mgl.Рис. 11.2.Найти закон движения частицыв поле U (x) = −Ax4 , если энергия её равнанулю.1.3.Определить приближенно закондвижения частицы в поле U (x) вблизи точкиостановки x = a (рис.

2).У КАЗАНИЕ . Воспользоваться разложениемU (x) в ряд Тейлора вблизи точки x = a. РассмотРис. 2реть случаи U (a) = 0 и U (a) = 0, U (a) = 0.1.4. Определить, по какому закону обращается в бесконечность период движения частицы в поле, изображенном на рис. 3, при приближенииэнергии E к Um .1.7. Определить закон движения математического маятника при произвольном значении энергии.У КАЗАНИЕ . Зависимость угла отклонения маятника от времени выражаетсячерез эллиптические функции (см., например, [1], стр. 150).1.8. Определить изменение закона движения частицы на участке, несодержащем точек остановки, вызванное добавлением к полю U (x) малойдобавки δU (x).Исследовать применимость полученных результатов вблизи точкиостановки.1.9.

Найти изменение закона движения частицы, вызванное добавлением к полю U (x) малой добавки δU (x):2 23а) U (x) = mω x , δU (x) = mαx ;232 2mβx4mωxб) U (x) =, δU (x) =.248Задачи[1.101.10. Определить изменение периода финитного движения частицы,вызванное добавлением к полю U (x) малой добавки δU (x).1.11. Найти изменение периода движения частицы, вызванное добавлением к полю U (x) малой добавки δU (x).2 2mβx4;а) U (x) = mω x (гармонический осциллятор), δU (x) =22 2mωx , δU (x) = mαx3 ;б) U (x) =23в) U (x) = A(e1.12.−2αx− 2e−αx4αxU0с энергией E > U0 .ch2 αxНайти время задержки частицы при движении от x = −∞ до x = +∞ посравнению со временем свободного движения с той же энергией.§ 2. Движение частиц в полях2.1.Описать качественно характер движения частицы в поле U (r) =γ= −αr − r 3 при различных значениях момента импульса и энергии.2.2. Найти траектории и законы движения частицы в поле−Vпри r < R,U=0при r > R(рис.

5, «сферическая прямоугольная потенциальнаяяма») при различных значениях момента и энергии.Рис. 52.3.Определить траекторию частицы в полеβU (r) = αr + r 2 . Выразить изменение направления еёскорости при рассеянии через энергию и момент.βОпределить траекторию частицы в поле U (r) = αr − r 2 . Найтивремя падения частицы в центр поля с расстояния r.

Сколько оборотоввокруг центра сделает при этом частица?2.4.2.5.βОпределить траекторию частицы в поле U (r) = − αr − r 2 . Полетакого вида возникает в задаче о движении релятивистской частицы в кулоновском поле в специальной теории относительности — подробнее см. [33],§ 42.1.2.6.2.7. При каких значениях момента импульса M возможно финитноедвижение частицы в поле U (r)?а) U (r) = − αer(V A).Определить траекторию частицы в поле U (r) = − αr +β. Найтиr2угловое расстояние Δϕ между двумя последовательными прохождениямиперигелия (точки r = rmin ), период радиальных колебаний Tr и периодобращения Tϕ . При каком условии траектория окажется замкнутой?9§ 2. Движение частиц в полях−κ r), δU (x) = −V eЧастица движется в поле U (x) =2.15];б) U (r) = −V e−κ2 2r.2.8.

Частица падает в центр поля U (r) = −αr−n с конечного расстояния. Будет ли число оборотов вокруг центра, сделанных при этом частицей,конечным? Будет ли конечным время падения? Найти уравнение траектории для малых r.2.9. Частица в поле U (r) уходит на бесконечность с расстояния r = 0.Будет ли число оборотов, сделанных ею вокруг центра, конечным?а) U = αr−n ; б) U (r) = −αr−n .2.10. Определить время падения частицы с расстояния R в центрполя U (r) = −α/r, рассматривая траекторию как вырожденный эллипс.Начальная скорость частицы равна нулю.2.11.Определить наименьшее расстояние между частицами, еслипервая из них налетает из бесконечности со скоростью v и прицельнымпараметром ρ на вторую, первоначально покоившуюся.