1612134383-1315115260138a097874a4e0f5a6deab (В.И.Арнольд - Математические методы классической механики)

В.И.АрнольдМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИКнига отличается от имеющихся учебников механики большей, чем этообычно принято, связью с современной математикой. Особенное вниманиеобращено на взаимно обогащающее взаимодействие идей механики и геометриимногообразии.В соответствии с таким подходом центральное место в книге занимают невычисления, а геометрические понятия (фазовые пространства и потоки,векторные поля, группы Ли) и их приложения в конкретных механическихситуациях (теория колебаний, механика твердого тела, гамильтоновформализм).

Много внимания уделено качественным методам изучениядвижения в целом, в том числе асимптотическим (теория возмущений, методыосреднения, адиабатические инварианты).Для студентов университетов и вузов с расширенной программой поматематике, а также преподавателей и научных работников.ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие к третьему изданию6Из предисловия к первому изданию9ЧАСТЬ I. НЬЮТОНОВА МЕХАНИКАГлава 1. Экспериментальные факты11§ 1. Принципы относительности и детерминированности11§ 2. Галилеева группа и уравнения Ньютона12§ 3. Примеры механических систем18Глава 2. Исследование уравнений движения21§ 4. Системы с одной степенью свободы21§ 5.

Системы с двумя степенями свободы26§ 6. Потенциальное силовое поле30§ 7. Кинетический момент32§ 8. Исследование движения в центральном поле34§ 9. Движение точки в трехмерном пространстве42§ 10. Движение системы га точек44§ 11. Соображения подобия50ЧАСТЬ II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКАГлава 3. Вариационный принцип52§ 12. Вариационное исчисление53§ 13. Уравнения Лагранжа56§ 14. Преобразование Лежандра59§ 15. Уравнения Гамильтона61§ 16.

Теорема Лиувилля64Глава 4. Лагранжева механика на многообразиях70§ 17. Голономные связи70§ 18. Дифференцируемые многообразия72§ 19. Лагранжева динамическая система77§ 20. Теорема Нётер81§ 21. Принцип Даламбера84Глава 5. Колебания90§ 22. Линеаризация90§ 23. Малые колебания94§ 24. О поведении собственных частот99§ 25. Параметрический резонансГлава 6. Твердое тело§ 26. Движение в подвижной системе координат§ 27. Силы инерции. Сила Кориолиса§ 28. Твердое тело§ 29. Уравнения Эйлера.

Описание движения по Пуансо§ 30. Волчок Лагранжа§ 31. Спящий волчок и быстрый волчокЧАСТЬ III. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКАГлава 7. Дифференциальные формы§ 32. Внешние формы§ 33. Внешнее умножение§ 34. Дифференциальные формы§ 35. Интегрирование дифференциальных форм§ 36. Внешнее дифференцированиеГлава 8. Симплектические многообразия§ 37. Симплектическая структура на многообразии§ 38. Гамильтоновы фазовые потоки и их интегральные инварианты§ 39.

Алгебра Ли векторных полей§ 40. Алгебра Ли функций Гамильтона§ 41. Симплектичеекая геометрия§ 42. Параметрический резонанс в системах со многими степенями свободы§ 43. Симплектический атласГлава 9. Канонический формализм§ 44. Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана§ 45. Следствия из теоремы об интегральном инварианте Пуанкаре —Картана§ 46. Принцип Гюйгенса§ 47. Метод Якоби — Гамильтона интегрирования канонических уравненийГамильтона§ 48.

Производящие функцииГлава 10. Введение в теорию возмущений§ 49. Интегрируемые системы§ 50. Переменные действие — угол§ 51. Усреднение§ 52. Усреднение возмущенийДОБАВЛЕНИЯДобавление 1. Риманова кривизнаДобавление 2. Геодезические левоинвариантных метрик на группах Ли игидродинамика идеальной жидкостиДобавление 3. Симплектическая структура на алгебраическихмногообразияхДобавление 4. Контактные структурыДобавление 5. Динамические системы с симметриейДобавление 6.

Нормальные формы квадратичных гамильтониановДобавление 7. Нормальные формы гамильтоновых систем вблизинеподвижных точек и замкнутых траекторийДобавление 8. Теория возмущений условно-периодических движений итеорема Колмогорова102111111115119127131136142143148.152158164175175177181187191197201205205211218226234238238245250256266283308314337347351365Добавление 9. Геометрическая теорема Пуанкаре, ее обобщения и384приложенияДобавление 10. Кратности собственных частот и эллипсоиды, зависящие от 393параметровДобавление 11. Коротковолновые асимптотики406Добавление 12.

Лагранжевы особенности415Добавление 13. Пуассоновы структуры422Добавление 14. Об эллиптических координатах435Добавление 15. Особенности систем лучей445Добавление 16. Уравнение Кортевега—де Фриза465Предметный указатель469ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬАлгебра Ли 181, 284, 285— —, собственные числа 348— — векторных полей 184Гиперплоскость контактная 320— — группы Ли 186Гомологии 174— — первых интегралов 190Граница цепи 162— — функций Гамильтона 187,График отображения 15Группа галилеева 13190— диффеоморфизмовАпоцентр 36Атлас 72однопараметрическая 25, 182— Ли 186, 284— симплектический 201— ортогональная 197Атласы эквивалентные 72— параллельных переносов 12Базис симплектический 192— эрмитово-ортонормировавный— симплектическая 193— стационарная 241309— унитарная 197Биения 97, 98Движение в RN 14Вариация 53Вектор касательный к— в галилеевой системе координатмногообразию 74, 7515— кокасательный к многообразию— в лагранжевой системе 77176— в подвижной системе координат— Лапласа 381111— Пуассона 345— в центральном поле 32, 58— формы нулевой 206— поступательное 112— характеристический 335— условно-периодическое 251, 381Векторы косоортогональные 192Действие 57Вихрь двумерного поля скоростейДействие группы Ли пуассововское300339Волчок быстро запущенный 140Дивергенция 165— быстрый 137Диффеоморфизм 25— Лагранжа 132—, гомологичный тождественному— симметричный 132387— спящий 136— контактный 325Вращение 112Дифференциал функционала 53— переносное 113Длина пути оптическая 220— равномерное 113Дополнение косоортогональное 192— стационарное 129, 293Жесткость системы 99Время 13Задача двух тел 49Гамильтониан квадратичный 347— Кеплера 39— трех тел 20— — — ограниченная 383Закон Кеплера второй 33, 34, 40— — первый 40— — третий 40— сохранения импульса 45— — кинетического момента 33, 34,42, 46, 47— — циркуляции 298— — энергии 21, 26, 42, 47—49, 181Изотропность пространства 17Импульс 45— обобщенный 57Инвариант адиабатический 262, 263,380, 381— интегральный 179— — относительный 180— — — Пуанкаре 209— — Пуанкаре—Картана 208Инволютивность 60Инволюция Лежандра 332Индекс Маслова 411—413— Морса 410, 411, 413Индикатриса 218Интеграл формы по цепи 163Интегрирование дифференциальныхформ 158Карта 72Карты совместные 72Каустика 407, 408, 417, 449Квадрики конфокальные 436Класс когомологий алгебры Ли 339Клетки жордавовы 348— — неустранимые 349Когомологий 173, 339Колебания малые 88— собственные 95— фазовые 364Количество движения 45Коммутатор 181, 184— Ли 186Контактизациясимплектическогомногообразия 335Координаты обобщенные 57— циклические 58, 64— эллиптические 437Коразмерность многообразия 395Коцикл алгебры Ли двумерный 339Кривая 15— фазовая 22Кривизна риманова 266, 269— — по двумерному направлению272Кривые эквивалентные 75Лагранжиан 57Лемма Пуанкаре 172— Стокса 205— — многомерная 207Линеаризация 91, 92Линии вихревые 205— ротора 205, 207Линия мировая 15Луч 220Масса 20Маятник Фуко 118Медлительность фронта нормальная220, 223Метрика келерова 313— риманова 76— — левоинвариантная 287— — правоинвариантная 295Мир 13Многообразие вложенное 74— дифференцируемое 72, 73— келерово 313— лагранжево 409, 448— —, порожденное триадой 461— лежандрово 331— параллелизуемое 121— пуассоново 422— риманово 76— связное 73— симплектическое 175, 427Многочлен гиперболический 442— Чебышева 29Множество эллипсоидов вращения394Момент 340— вектора относительно оси 43— — — точки 33— инерции относительно оси 123— кинетический 32, 46, 289— количества движения 32Направление сопряженное 221Невесомость 116Неравенство Юнга 60Нутация 135, 139Обмотка тора 251Образ контактной формы 326Однородность пространства 17Одночлены внешние 146Окрестность точки многообразия 73Оператор дифференциальный 183— инерции 122, 289Орбита 27Особенности лагранжевы 415— лежандровы 333, 421Ось инерции 123Отображение дифференцируемое 76— за период 103— каноническое 180, 210— лагранжево 420, 449— лежандрово 452— периодов 432— пуассоново 424— Хопфа 28Перегрузка 116Перекачка энергии 97Переменные действие — угол 246—248— действия 245— Клебша 424Перемещение винтовое 115— виртуальное 85Перенесение вектора параллельное267, 270Перицентр 36Плоскость контактная 322— Лобачевского 268— симплектического пространстваизотропная 194— — — лагранжева 194— — — нулевая 194— фазовая 22Плотность гомеоидная 442—444Подалгебра 190Подгруппа дискретная 242Подмногообразие лежандрово 331,450Поле векторное вариациигеодезической 275— — гамильтоново 177, 422— — контактное 326— — локально гамильтоново 191— — фазовой скорости 22— гиперплоскостей 315— — невырожденное 319— — неинтегрируемое 316— осесимметричное 43— правоинвариантное 187— приведенное 345— силовое потенциальное 31, 42— центральное 32, 42Полином возвратный 198Полиэдр сингулярный ft-мерный 161Положение равновесия 22, 87, 90Поля изозавихренные 298Поток геодезический 278— — ориентированных контактныхэлементов 326— поля через поверхность 164— фазовый 25, 65— — гамильтонов 178— — локально гамильтонов 191Представление группыкоприсоединенное 286— — присоединенное 285Преобразование галилеево 14— каноническое 210— — бесконечно малое 236— — свободное 227, 234— Лежандра 59, 332, 452— симплектическое линейное 193— — сильно устойчивое 199— — устойчивое 199— унитарное 413— эллиптическое 354Прецессия 131, 136, 139Принцип Гюйгенса 219, 326— Даламбера—Лагранжа 84, 87— детерминированности Ньютона12— наименьшего действияГамильтона 52, 56, 57— — — Мопертюи 216— относительности Галилея 12, 16— усреднения 253— Ферма 218Проекция естественная 75Произведение внешнее 145, 148— внутреннее 173— кососкалярное 187, 188, 191, 342— прямое 14— скалярное 13— — эрмитово 309Производная ковариантная 273, 275— Ли 173Производная отображения 76— по направлению 182— рыбака 173— формы внешняя 166Промежуток времени 13Пространство аффинное 12— галилеево 13— — координатное 14— евклидово 13— касательное 74, 75— кокасательное 176, 285, 320— комплексное проективное 309— конфигурационное 15, 52— — системы со связями 71— — твердого тела 119— одновременных событий 13— симплектическое линейное 191— сопряженное 143— фазовое 27, 65— — приведенное 337, 342Прямая Максвелла 226Путь характерный 277Пучок квадрик евклидов 436Работа поля 30— силы 30Равновесие 22, 87, 90— относительное 346Размерность многообразия 73Расслоение касательное 75— кокасательное 176, 320— лагранжево 448— лежандрово 333, 452Расстояние между одновременнымисобытиями 13— — точками аффинногопространства 13— — — комплексногопроективного пространства 309Расстройка частоты 357Расщепление сепаратрис 360Резонанс параметрический 107, 192Ротор 169— двумерного поля скоростей 300Связь 70, 72— голономная 71, 72, 85, 88— идеальная 85Сдвиг правый 186Семейство квадрик конфокальное436Сила 20, 44— внешняя 45— внутренняя 44— инерции 87, 115— — вращения 116— Кориолиса 116— обобщенная 57— реакции связи 84— центробежная 116Силы взаимодействия 44Симплекс 168Симплектизацияконтактноговекторного поля 327— — многообразия 322Система голономная 70—72, 85— замкнутая 16, 44— интегрируемая невырожденная255— — — изоэнергетически 370— координат галилеева 14— — инерциальная 12— — неподвижная 112— — подвижная 112— — симплектическая 193—— консервативная 47— лагранжева 77— — натуральная 78— — неавтономная 80Система механическая 15, 16— натуральная 78— потенциальная 20, 26, 47— с двумя степенями свободы 26— с одной степенью свободы 21Скобка Пуассона 184, 187Скорость 14— вторая космическая 19— обобщенная 57— первая космическая 41— секториальная 34— угловая 113След цепи при гомотопии 178Сложение скоростей 112—115Слой расслоения над точкой 75Событие 13События одновременные 13Солитон 466Соотношения между частотами 254Среднее временное 251— пространственное 251Структура галилеева 13— евклидова 12, 287— комплексная 197— комплексного проективногопространства симплектическая311— — — — эрмитова 309— контактная 314, 315, 319, 450— проективного алгебраическогомногообразия симплектическая312— пуассонова 422— — трансверсальная 425— симплектическая 175— — линейная 191— — стандартная 191Тело твердое 119Тензор инерции 122, 289— кривизны 272Теорема Айвори 442— Вильямсона 349— Галина 350— Гарднера 467— Гюйгенса 219— Дарбу 201, 328— — для контактных структур 328— Клеро 79— Колмогорова 372— Лакса 466— Лапласа 258— Лиувилля 65, 178— — об интегрируемых системах238, 239— Нётер 81, 188, 190— Ньютона 42— об усреднении 251— Пуанкаре геометрическая 384— — о возвращении 67— Пуансо 129— Пуассона 189, 190— Рэлея 302— Штейнера 125— Якоби 228Теоремы Варченко 431Теория эргодическая 67, 256, 281Течения стационарные 297Тождество Якоби 181, 184, 189Top инвариантный 369— — нерезонансный 369— — резонансный 369Точка контакта 320, 322— мировая 13— омблическая 397— пространства моментоврегулярная л*— фазовая 22— фокальная к многообразию 411Траектория 15Трансверсальность подпространств196Триада симплектическая 461Трубка ротора 205Углы Эйлера 132, 133Умножение внешнее 145, 148Уравнение Гамильтона—Якоби224— Кортевега—де Фриза 465— Матье 106— Ньютона 16— Шредингера 408— Эйлера 127, 128— — для угловой скорости 293— Эйлера — Лагранжа 55— Хилла 103— Якоби 275УравненияГамильтонаканонические 62, 207, 212— Лагранжа 57— Ньютона 44— с частными производнымипервого порядка нелинейные335— Эйлера 127— — для обобщенного твердоготела 290, 291Ускорение 15, 16—— силы тяжести 19Условие интегрируемости поляплоскостей 318— — Фробениуса 318Устойчивость 91— асимптотическая 104— по Ляпунову 91, 104— сильная 105Факторизация конфигурационногопространства 345— фазового потока 291Фигуры Лиссажу 29Форма базисная 146, 147— Биркгофа нормальная длягамильтониана 353— — — для преобразования 354— внешняя 143, 144— дифференциальная 153, 154— замкнутая 171— контактная 322— кривизны 268— неособая 206 Формула гомотопии173— Лейбница 182— Стокса 167, 249Фронт волновой 219— —, скорость движения 220— лежандрова отображения 452Функции, двойственные по Юнгу 60— Казимира 424— находящиеся в инволюции 238Функция Гамильтона 62, 177, 237,347— — контактная 329— —, собственные числа 348— действия 222— квазиоднородная 429— Лагранжа 52, 57— производящая 227, 234— —, инвариантность 392— тока 299Функционал 53— дифференцируемый 53Характеристика 207, 225, 336, 447Хвост ласточкин 226, 334, 419, 433,460, 461Центр инерции 45Цепь 161Цикл 172Циркуляция 163Частота собственная 95— условно-периодическогодвижения 251Частоты независимые 251Число Бетти 173— степеней свободы 74Члены резонансные 358Эволюция 258Эквивалентностьотображенийлагранжева 420— — лежандрова 333Экстремаль 54— условная 85Элемент контактный 314, 320— — ориентированный 325— — —, геодезический поток 325Эллипсоид инерции 124, 394Энергия кинетическая 21, 47, 78— немеханическая 49— полная 21, 26, 63— потенциальная 18, 20, 21, 31, 78— — эффективная 35.