1612135506-4f311b4a7ace61a83f2b3c6f2d9d7a7d (Задачи)
Описание файла
PDF-файл из архива "Задачи", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
1Çàäà÷à 1Íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè:½ 0y = Ay, t ∈ R1y(0) = y0 ,ãäå0 0 1A = 0 0 0 ,0 0 01. eAt =?eAt =y1y = y2 ,y3y10y0 = y20 .y301 0 tAj = Aj = 0, j = 2, . . . = I3 + At = 0 1 0 ,j!0 0 1∞ jXtj=0¡¢ãäå1 0 0I3 = 0 1 0 ,0 0 1ò.å.y10 + ty30.y20y(t) = eAt y0 = y302. Ìàòðèöà Y = eAt ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè:½ 0Y = AY, t ∈ R1Y (0) = I3 ,Çàäà÷à 2Íàéòè àãðåãàò¯∂y ¯¯,W (t) =∂µ ¯µ=0ãäå y(t, µ) ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè:½ 022y = eµ (y+µ t) cos2 (µy),y|t=µ = µ,2µ ïàðàìåòð.∂y(t, µ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè:1.
Àãðåãàò Z(t, µ) = ∂µ½ 022Z = eµ (y+µ t) [cos2 (µy){2µy + 4µ3 t + µ2 Z} − 2 cos(µy) sin(µy){y + µZ}] ,Z|t=µ =?(∗ )2. Íàéäåì Z|t=µ .Ïåðåïèøåì íà÷àëüíîå óñëîâèå y|t=µ = µ òàê:(∗∗)y(µ, µ) = µ.Èç (∗∗) ñëåäóåò:ò.å.Z|t=µ + eµ3 (1+µ2 )cos2 (µ2 ) = 1,3 (1+µ2 )Z|t=µ = 1 − eµcos2 (µ2 ).3. Ïîëàãàÿ â (∗) µ = 0, ïîëó÷èì äëÿ àãðåãàòà W (t) çàäà÷ó Êîøè:½ 0W = 0,W |t=0 = 0,ò.å. W (t) ≡ 0.Çàäà÷à 3Ìîãóò ëè êàñàòüñÿ ðàçëè÷íûå èíòåãðàëüíûå êðèâûå óðàâíåíèÿy 00 = f (t, y, y 0 )?y12y0tt0Çàäà÷à Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ y 00 = f (t, y, y 0 ): 00 y = f (t, y, y 0 ),y|t=t = y0 , 0 0y |t=t0 = y1 .3Çàäà÷à 4Íàéòè ïåðâûå èíòåãðàëû ñèñòåìû½ 0x = x2 + y 2 ,y 0 = 2xy, x = x(t), y = y(t).Ïóñòü W = x + y , Z = x − y .
Òîãäའ0W = W 2,Z 0 = Z 2,ò.å.t+1= C1 ,Wt+1= C2 ,Zãäå C1,2 ïîñòîÿííûå.Çàäà÷à 5Íàéòè åäèíñòâåííîå îãðàíè÷åííîå íà âñåé îñè ðåøåíèå óðàâíåíèÿy 0 = ay + e−a|t| ,a > 0, t ∈ R1 .Ôóíêöèÿ Ãðèíà G(t) íàõîäèòñÿ òàê:½−eat , t < 0,G(t) =0,t > 0.ÒîãäàZ∞Z∞−a|s|y(y) =G(t − s)e−∞Z∞a(t−s−|s|)ds = −eds = −etÅñëè t > 0, òîy(t) = −ate−a(s+|s|) ds.te−at;2aåñëè t < 0, òîeat.2aÇàìåòèì, ÷òî ïðè t = 0 ôóíêöèÿ y(t) íåïðåðûâíà.y(t) = eat t −4Çàäà÷à 6Íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè½ut + ux = x 2 ,u|x=t = 1.u = u(t, x),Ñîïóòñòâóþùàÿ ñèñòåìà èìååò âèä:½ 0x = 1,u0 = x 2 ,ïåðâûå èíòåãðàëû äëÿ êîòîðîé òàêîâû:½x − t = C1 ,3u − x3 = C2 ,ãäå C1,2 ïîñòîÿííûå.Îáùåå ðåøåíèå òàêîå:u=x3+ f (x − t),3f (·) − −ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ.Ïîñêîëüêót3+ f (0),3òî çàäà÷à Êîøè íå èìååò ðåøåíèÿ (ýòî è ïîíÿòíî, ïîñêîëüêó x = t õàðàêòåðèñòèêà).u|x=t = 1 6=.