1612135506-3e738a50a554a8e10a6cb1b5312d7269 (Месячные задачи (2016))

Исследование устойчивости путем прямого анализарешений уравнений и систем как функцийначальных данных2. Устойчивость линейных систем и уравнений.Устойчивость в терминах спектра матрицы системы.Исследование устойчивости с помощьютеоремы об устойчивости по первому приближению3. Исследование устойчивости и неустойчивостис помощью функций Ляпунова и ЧетаеваАвтономные системы1 семинар1 семинар1 семинар1.

Линеаризация положения равновесиянелинейных автономных систем. Локальный фазовыйпортрет в окрестности положения равновесия.Соединение в глобальный фазовый портретс помощью изоклин.2. Исследование предельных циклов2 семинара0,5 семинараПервые интегралы1. Нахождение первых интегралови их применение для решения автономных систем2. Решение линейного однородного уравненияв частных производных первого порядка1 семинар1,5 семинараЗаданияпо дифференциальнымуравнениям4-й семестрЗадание 4 (сдать до 1 апреля)1.

Найти экстремали функционала∫2I[y] =()2y + yy ′ + x2 (y ′ )2 dx,y(1) = 0,y(2) = 1 + ln 2.y(0) = 0,y(1) = −5.12. Найти экстремали функционала∫1I[y] =()y 2 (y ′ )2 + 9y 2 dx,03. Найти экстремали функционала∫2I[y, z] =()2y 2 + 2yz + (y ′ )2 − (z ′ )2 dx,1y(0) = z(0) = 0,y(1) = 2 sh e,21z(1) = −2 sh e.4. Найти экстремали функционалаI[y] =∫π/2()y 2 − 2(y ′ )2 + (y ′′ )2 dx,1y ′ (0) = 2,y(0) = 0,y(π)2= 1,y′(π)2π=− .25.

Найти экстремали функционала∫∞ ∫πI[z] =()(zx )2 + zzy − 2yz cos x dx dy,z(0, y) = z(π, y) = 0.−∞ 06. Найти общее решение системы mẍ1 + k(x1 − x2 ) = 0,M ẍ2 + k(2x2 − x1 − x3 ) = 0,mẍ3 + k(x3 − x2 ) = 0,описывающей продольные колебания молекулы CO2 .7. Найти общее решение уравненийб)ẍ + 9x = sin2 t.а)ẍ + 9x = cos3 t,Существуют ли периодические решения?8. Найти все периодические решения уравненияẍ − 4x = f (t),где f (t) = 1 − |t| при |t| ≤ 1, f (t + 2) ≡ f (t) длявсех t ∈ R.∂y 9.

Найти производную по параметруот решения задачи Коши∂µ µ=0)(t ẏ = −y 2 + µ ty + e ,tµ y =1+ .3t=1∂y 10. Найти производную по начальным даннымот решения задачи Коши∂y0 y0 =0 ẏ = 1 (ey − 1) + y 5 , t y = y0 .t=111. Разложить в ряд по степеням малого параметра µ (до µ1 включительно) 2π-периодическое решениеуравнения Дуффингаẍ + ω 2 x = A sin t + µx3 ,где ω — нецелое число.Задание 5 (сдать до 20 апреля)221. Дано уравнение{ẋ =et x3 sin(1/x), x ̸= 0,0, x = 0.Построив картину решений, выяснить, является ли решение x(t) ≡ 0 устойчивым по Ляпунову, асимптотически устойчивым.2. Решив систему{ẋ = x/t − t2 xy 2 ,ẏ = −y/t,исследовать на устойчивость ее нулевое решение.3.

С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевоерешение системы{ẋ = sin(x + 2y) + ln(1 − 2x + y 2 ),ẏ = e5x−y − arctg x − 1.4. Исследовать на устойчивость решение задачи Коши ẋ = −3y + 3z + 1,ẏ = −x − 4y + 6z + sin t,ż = −2y + 2z + t2 ,x(0) = 1,y(0) = 2,z(0) = 3.5. Найти все положения равновесия системы и исследовать их на устойчивость.{ẋ = ln(1√ − x + 3y),ẏ = 4 1 + xy − 8.6. Исследовать, устойчиво ли решение x(t) = t, y(t) = et системы√{ẋ = 1 + 1 + 2y − 2et − ex−t ,ẏ = −2tx − 2y + x2 + t2 + 3et .7.

С помощью функции Ляпунова исследовать на устойчивость нулевое решение системы{ẋ = y 5 − x5 − x7 ,ẏ = −x − y 3 .Исследовать также на устойчивость нулевое решение линеаризованной системы.Задание 6 (сдать до 27 мая)1. С помощью линеаризации выяснить типы положений равновесия нелинейной системы{ẋ = −2(x − y)y,ẏ = 2 + x − y 2 .Для каждого положения равновесия построить локальный фазовый портрет.

Найти прямолинейную траекторию исходной системы. Построить изоклины нуля и бесконечности. Используя накопленную информацию, построить глобальный фазовый портрет.2. Исследовать при всех значениях вещественного параметра a поведение фазовых траекторий длясистемы√√{x2 + y 2 )(2 − √x2 + y 2 ),ẋ = 2y + ax (1 − √22ẏ = −2x + ay (1 − x + y )(2 − x2 + y 2 ).Имеются ли предельные циклы? Устойчивы ли они? Каков тип положения равновесия в начале координат?Построить фазовый портрет.3.

Найдя первый интеграл, решить систему{x,ẋ = x−yyẏ = x−y23в области x > y > 0.4. Найдя два независимых первых интеграла, решить систему ẋ = xz,ẏ = x + yz,ż = −z 2в области {z > 0}.5. Решить задачу Коши6. Решить задачу Коши∂u∂u∂u+ x2 z 2+ y3 z= 0, xy 3∂x∂y∂zu = y 4 при xz 3 = 1.∂u∂u−x= x + y, y∂x∂y2u = e2y при x = y.Программу составила к.ф.-м.н. Е.Ю.

Балакина24.