1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (Лекции)

Ãëàâà. Äèíàìèêà ñèñòåìû òî÷åê.Ìåõàíè÷åñêàÿ òåîðèÿ - äèíàìèêà ñèñòåìû òî÷åê çàíèìàåò â ìåõàíèêå öåíòðàëüíîåìåñòî. Âñå äðóãèå òåîðèè ïîëó÷àþòñÿ èç íåå ïðè äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îìàòåðèàëüíûõ òåëàõ è ñèëàõ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó íèìè.Ãëàâíîé çàäà÷åé ýòîé òåîðèè ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå ìåòîäîâ ñîñòàâëåíèÿ è èññëåäîâàíèÿóðàâíåíèé äâèæåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, à òàêæå îáùèõ ñâîéñòâ äâèæåíèÿ.331◦Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû.Ñèñòåìà òî÷åê. Âíóòðåííèå è âíåøíèå ñèëû.Ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìîé íàçûâàþò ñîâîêóïíîñòü âçàèìîäåéñòâóþùèõ òî÷åê.  òàêîéñîâîêóïíîñòè ïîëîæåíèå è äâèæåíèå êàæäîé òî÷êè çàâèñèò îò ïîëîæåíèå è äâèæåíèÿîñòàëüíûõ òî÷åê.Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ Ñîëíå÷íàÿ ñèñòåìà, â êîòîðîé Ñîëíöå è ïëàíåòû ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ìàòåðèàëüíûå òî÷êè, äåéñòâóþùèå äðóãíà äðóãà ñèëàìè òÿãîòåíèÿ.Ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó íàçûâàþò íåèçìåíÿåìîé, åñëè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìèñîõðàíÿþòñÿ ïðè äâèæåíèè.

Òàêîé ñèñòåìîé áóäóò, íàïðèìåð, äâå òî÷êè, ñîåäèíåííûåíåðàñòÿæèìûì ñòåðæíåì ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ìàññû.Ñèëû, äåéñòâóþùå íà ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó, ïîäðàçäåëÿþò íà âíóòðåííèå è âíåøíèå. Âíóòðåííèìè íàçûâàþò ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó òî÷êàìè äàííîé ñèñòåìû; îáîçíà÷åíèÿ ýòèõ ñèë ñíàáæàþò èíäåêñîì "i". Òàê âíóòðåííÿÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òî÷êói, à ðàâíîäåéñòâóþùàÿ âíóòðåííèõ ñèë,Pr ñî ñòîðîíû òî÷êè Ps , îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç PF̄rsii.F̄rsäåéñòâóþùèõ íà òî÷êó Pr áóäåò ðàâíà F̄r =sÂíåøíèìè íàçûâàþò ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ òî÷åê ñèñòåìû ñ âíåøíèìè, íå âêëþ÷åííûìè â ñèñòåìó òåëàìè; ýòè ñèëû ñíàáæàþòñÿ èíäåêñîì "e".

Òàê âíåøíÿÿ ñèëà, äåéñòâóeþùàÿ íà òî÷êó Pr ñî ñòîðîíû âíåøíåé òî÷êè Pt , îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç F̄rt , à ðàâíîäåéñòâóP eeF̄rt . Ðàâíîäåéñòâóþùóþþùàÿ âíåøíèõ ñèë, ïðèëîæåííûõ ê òî÷êå Pr - ÷åðåç F̄r =tâñåõ ïðèëîæåííûõ ê òî÷êå Pr ñèë êàê âíåøíèõ, òàê è âíóòðåííèõ îáîçíà÷àþò ÷åðåçF̄r = F̄re + F̄ri .Ðàçáèåíèå ñèë íà âíóòðåííèå è âíåøíèå ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âûáîðà ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû: îäíà è òàêæå ñèëà, áóäó÷è âíóòðåííåé äëÿ îäíîé ñèñòåìû, ìîæåò áûòüâíåøíåé äëÿ äðóãîé.2◦Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Íà÷àëüíàÿ çàäà÷àÐàññìîòðèì ñèñòåìó{Pk },ñîñòîÿùóþ èç N ìàòåðèàëü-íûõ òî÷åê, äâèæóùèõñÿ îòíîñèòåëüíî èíåðöèàëüíîé ñèñòå-Ox1 x2 x3 . Äëÿ òèïè÷íîé òî÷êè ñèñòåìû Pk îáîmk - ìàññó, x̄k - âåêòîð-ðàäèóñ, v̄k - ñêîðîñòü,āk - óñêîðåíèå è F̄k - ðàâíîäåéñòâóþùóþ ñèëó (Ðèñ.

78). Ýòàñèëà ñëàãàåòñÿ èç äåéñòâóþùèõ íà òî÷êó Pk âíóòðåííèõ èâíåøíèõ ñèë F̄kr ñî ñòîðîíû òî÷åê Pr êàê âõîäÿùèõ, òàêPè íå âõîäÿùèõ â ñèñòåìó. barFk =F̄kr . Ñëàãàåìûå ñèëûìû îòñ÷åòàçíà÷èì ÷åðåçÐèñ. 78rçàâèñÿò îò âðåìåíè t, îò îòíîñèòåëüíûõ ïîëîæåíèéè îòíîñèòåëüíûõ ñêîðîñòåé1x̄˙ k − x̄˙ r .x̄k − x̄rPrÄëÿ âíåøíèõ òî÷åêäâèæåíèå è ñêîðîñòü ïîëàãàþòñÿ èçâåñòíûìèx̄r (t), x̄˙ r (t).Òåì ñàìûì ñèëàF̄kîïðåäåëÿ-åòñÿ ñîñòîÿíèåì äâèæåíèÿ âñåé ñèñòåìû:F̄k =XF̄kr (t, x̄k − x̄r , x̄˙ k − x̄˙ r ) = F̄k (t, x̄1 , ..., x̄N , x̄˙ 1 , ...x̄˙ 1 ).(33.1)rÒîãäà äëÿ êàæäîé òî÷êåPkâ ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Íüþòîíà ñïðàâåäëèâû óðàâíåíèÿäâèæåíèÿmk x̄¨k = F̄k (t, x̄1 , .., x̄N , x̄˙ 1 , .., x̄˙ N )(k = 1, .., N ),(33.2)ñîâîêóïíîñòü êîòîðûõ îïðåäåëÿåò âåêòîðíóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéäâèæåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû.

Ýòè âåêòîðíûå óðàâíåíèÿ â êîìïîíåíòíîé ôîðìå äàkþò ñèñòåìó 3N ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé äëÿ èñêîìûõ ôóíêöèé xn (t):mk ẍkn = Fnk (t, x1 , .., xN , ẋ1 , .., ẋN )xk = (xk1 , xk2 , xk3 ), ẋk = (ẋk1 , ẋk2 , ẋk3 ),ãäå(k = 1, .., N ; n = 1, 2, 3),(33.3)êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü "ñè-ñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê".

Îò óðàâíåíèé äâèæåíèÿ îäíîé òî÷êè ýòó ñèñòåìó îòëè÷àþòáîëüøåå ÷èñëî óðàâíåíèé è áîëåå ñëîæíûé âèä èõ ïðàâûõ ÷àñòåé.Çàïèøåì ñèñòåìó (33.3) â íîðìàëüíîé ôîðìåkdxkn1 kk dvn= vn ,=Fn (t, x1 , .., xN , ẋ1 , .., ẋN ) (k = 1, .., N ; n = 1, 2, 3)dtdtmk(33.4)è ïðèñîåäèíèì ê íèì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, îïðåäåëÿþùèå íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå äâèæåíèÿñèñòåìûkk0t = 0, xkn (0) = xk0(k = 1, .., N ; n = 1, 2, 3).n , ẋn = vn(33.5)Ñîîòíîøåíèÿ (33.4), (33.5) ñîñòàâëÿþò íà÷àëüíóþ çàäà÷ó äëÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû.kÁóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äåéñòâóþùèå ñèëû Fn èçâåñòíû è ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè è ïðèíàäëåæàò êëàññó Ëèïøèöà êîîðäèíàòàì è ñêîðîñòÿì.  ýòèõ óñëîâèÿõ íà÷àëüíàÿ çàäà÷à èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.34Çàäà÷à äâóõ òåë.Çàäà÷à î äâèæåíèè äâóõ òÿãîòåþùèõ äðóã ê äðóãó òåë ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç èíòåðåñíåéøèõ çàäà÷ íåáåñíîé ìåõàíèêè, ðåøåíèå êîòîðîé ìîæíî óñòàíîâèòü â àíàëèòè÷åñêîìâèäå.1◦Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è íà÷àëüíàÿ çàäà÷à.Ðàññìîòðèì â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòàOx1 x2 x3äâèæåíèå äâóõ òî÷å÷íûõ òåë S è P (Ñîëíöà è ïëàíåòû)ìàññû M è m ïîä äåéñòâèåì ñèëF̄è−F̄òÿãîòåíèÿ äðóãê äðóãó èç çàäàííîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ (Ðèñ.

79). Ýòóçàäà÷ó íàçûâàþò çàäà÷åé äâóõ òåë.Ðèñ. 79Íàðÿäó ñ íåïîäâèæíîé ñèñòåìîé îòñ÷åòà Ox1 x2 x3 ðàñ0 0 0ñìîòðèì ïîäâèæíóþ ñèñòåìó Sx1 x2 x3 , äâèæóùóþñÿ ïîñòóïàòåëüíî âìåñòå ñ òåëîì ñ S. Îáîçíà÷èì ÷åðåç x̄s è x̄pâåêòîð-ðàäèóñû òî÷åê S è P â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå è ÷å-ðåçx̄0- âåêòîð-ðàäèóñ òåëà P â ïîäâèæíîé ñèñòåìå (Ðèñ. 79). Òîãäà ñèëà òÿãîòåíèÿF̄îïðåäåëÿåòñÿ â âèäåF̄ = F F̄ 0 = f2M m x̄0.x02 x0(34.1)Ïðèìåíåíèå îñíîâíîãî çàêîíà ìåõàíèêè ê òåëàì äàåò äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿäâèæåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèéMd2 x̄sM m x̄0=f,dt2x02 x0x̄s (f ) x̄p (t)md2 x̄pM m x̄0=−f,dt2x02 x0(x̄0 = x̄p − x̄s ) .(34.2)Ïðèñîåäèíèâ ê ýòèì óðàâíåíèÿì íà÷àëüíûå óñëîâèÿt = 0, x̄s (0) = x̄0s , x̄p (0) = x̄0p ; x̄˙ s (0) = v̄s0 , x̄˙ p (0) = v̄p0 ,(34.3)ïîëó÷àåì íà÷àëüíóþ çàäà÷ó äëÿ ñèñòåìó äâóõ òåë.

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êîìïîíåíòû ñèë0(èñêëþ÷àÿ x = 0) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è.2◦Óðàâíåíèÿ äëÿ îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ è äâèæåíèÿ öåíòðàìàññÄëÿ ðåøåíèÿ íà÷àëüíîé çàäà÷è (34.2), (34.3) ïåðåéäåì îò àáñîëþòíûõ âåêòîð-ðàäèóñîâ0ê îòíîñèòåëüíîìó âåêòîð-ðàäèóñó x̄ è âåêòîð-ðàäèóñó x̄c öåíòðà ìàññ Ñ (Ðèñ. 79)x̄s , x̄pïî ôîðìóëàìx̄0 = x̄p − x̄s , (M + m)x̄c = M x̄s + mx̄p ,(x̄p = x̄c +Mmx̄0 , x̄s = x̄c −x̄0 )M +mM +m(34.4)(34.5)è ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (34.2) ê íîâûì âåëè÷èíàì.Ïî÷ëåííîå ñëîæåíèå ðàâåíñòâ (34.2) ñ ó÷åòîì (34.4) ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó0=d2d2 x̄c(Mx̄+mx̄)=(M+m),spdt2dt2êîòîðîå âìåñòå ñ (34.3), (34.4) äàåò íà÷àëüíóþ çàäà÷ó öåíòðà ìàññd2 x̄c= 0, x̄c (0) = x̄0c , x̄˙ c (0) = v̄c0 .2dt(34.6)Óìíîæåíèå â (34.2) ïåðâîãî ðàâåíñòâà íà m, âòîðîãî - íà M è âû÷èòàíèå èç âòîðîãîðåçóëüòàò ïåðâîãî äàåò ñîîòíîøåíèåmMM m x̄0d2 (x̄p − x̄s )=−f(M + m),dt2x02 x0êîòîðîå ñ ó÷åòîì (34.4), (34.3) äàåò íà÷àëüíóþ çàäà÷ó äëÿ îòíîñèòåëüíîãî âåêòîð-ðàäèóñàmd2 x̄0mµ x̄0=−,dt2x02 x0µ0 = f (M + m) ,(34.7)x̄0 (0) = x̄00 , x̄˙ 0 (0) = v̄00 .Çàìåòèì, ÷òî â óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå (34.2) ôèãóðèðóþòàáñîëþòíûå ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè.

Àáñîëþòíûå ïðîèçâîäíûå ïðåäñòàâëåíû è â (34.7),0 0 0äëÿ äâèæåíèÿ â ïîäâèæíîé ñèñòåìå Sx1 x2 x3 . Îäíàêî, ïðè ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèèïîäâèæíûõ îñåé ëîêàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ñîâïàäàåò ñ àáñîëþòíîé. Òåì ñàìûì óðàâíåíèå(34.7) îïèñûâàåò äâèæåíèå ïëàíåòû îòíîñèòåëüíî Ñîëíöà.33◦Ðåøåíèå íà÷àëüíûõ çàäà÷Óðàâíåíèå (34.6) äëÿ öåíòðà ìàññ èíòåãðèðóåòñÿ è ñ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé îïðå-äåëÿåò åãî äâèæåíèåx̄c = Āt + B̄ = x̄0c t + x̄0cx̄0c(34.8)M v̄s0 + mv̄p0M x̄0s + mx̄0p0=, v̄c =/.M +mM +mÒàêèì îáðàçîì, öåíòð ìàññ ñèñòåìû äâóõ òåë ñîâåðøàåò ðàâíîìåðíîå ïðÿìîëèíåíéíîå äâèæåíèå èç ñâîåãî íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ.Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê çàäà÷å îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ.

Cðàâíèâàÿ óðàâíåíèå (34.7)ýòîãî äâèæåíèÿ ñ óðàâíåíèåì àáñîëþòíîãî äâèæåíèÿ ïëàíåòû âîêðóã íåïîäâèæíîãîÑîëíöàmd2 x̄mµ x̄, µ = f M,=−dt2x2 x(34.9)óáåæäàåìñÿ â èõ èäåíòè÷íîñòè ñ òîé íåñóùåñòâåííîé ðàçíèöåé, ÷òî â íåì ôèãóðèðóåò0ïàðàìåòð µ âìåñòî ãàóññîâîé ïîñòîÿííîé Ñîëíöà µ â (34.9). Àáñîëþòíîå æå äâèæåíèåïëàíåòûx̄(t)- ðåøåíèå íà÷àëüíîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (34.9), óæå èçâåñòíî.

Ïîýòîìóx̄0 (t) çàäà÷è äëÿ îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ, ïîëó÷àåìîå èç0ïðåäûäóùåãî ðåøåíèÿ x̄(t) ïóòåì çàìåíû ïàðàìåòðà µ íà µ .áóäåò èçâåñòíî è ðåøåíèåÏî èçâåñòíûì äâèæåíèÿì öåíòðà ìàññ è îòíîñèòåëüíîìó äâèæåíèþ ïëàíåòû - ôóíê0öèÿì x̄c (t), x̄ (t) äâèæåíèå ïëàíåòû è Ñîëíöà â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå áóäåò òàêæå èçâåñòíî: îíî äàåòñÿ ôîðìóëàìè (34.5).4◦Óòî÷íåíèå òðåòüåãî çàêîíà ÊåïëåðàÐåøåíèå çàäà÷è äâóõ òåë, äàþùåå äâèæåíèå êàê ïëàíåòû, òàê è Ñîëíöà, ïîçâîëÿåòóòî÷íèòü òðåòèé çàêîí Êåïëåðà. àáñîëþòíîì äâèæåíèè ïëàíåòû âîêðóã íåïîäâèæíîãî Ñîëíöà áûë óñòàíîâëåí òðåòèé çàêîí Êåïëåðà, ñîãëàñíî êîòîðîìó äëÿ ëþáîé ïëàíåòû êâàäðàò çâåçäíîãî âðåìåíèT îáðàùåíèÿ ïðîïîðöèîíàëåí êóáó áîëüøîé ïîëóîñè "à"åå îðáèòû:4π 2T2== const, µ = f M.a3µ(34.10)Êàê îòëè÷àëîñü âûøå ðåçóëüòàòû îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ïëàíåòû âîêðóã ïîäâèæíîãî Ñîëíöà ñëåäóåò èç ðåçóëüòàòîâ åå àáñîëþòíîãî äâèæåíèÿ âîêðóã íåïîäâèæíîãî0Ñîëíöà ïðîñòîé çàìåíîé ïîñòîÿííîé µ íà ïîñòîÿííóþ µ ïî ôîðìóëåµ0 = f (M + m) = µ(1 + ñèëó ÷åãî îòíîøåíèåm).MT2, çàâèñÿùåå îò ìàññû ïëàíåòû, óæå íå áóäåò ïîñòîÿííûìa3äëÿ âñåõ ïëàíåò:T24π 24π 2==m .a3µ0µ(1 + M) ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïîñòîÿííîé áóäåò äðóãàÿ âåëè÷èíàm4π 2T2(1+)== const.a3Mµ4(34.11)Ýòî ñîîòíîøåíèå è âûðàæàåò óòî÷íåííûé òðåòèé çàêîí Êåïëåðà.

Òàê êàê äëÿ ïëàíåòm<< 1 (ìàññà íàèáîëüøåé ïëàíåòû - Þïèòåðà íå ïðåâûøàåò îäíîé òûñÿ÷íîé ìàññûMÑîëíöà), òî ïðåíåáðåãàÿ ýòèì îòíîøåíèåì ñðàâíèòåëüíî ñ åäèíèöåé èç (34.11) ïîëó÷èìçàêîí Êåïëåðà â îáû÷íîé ôîðìå (34.10). Ñëåäîâàòåëüíî ýòîò çàêîí â ôîðìå (34.10) èìååòïðèáëèæåííûé õàðàêòåð.5◦Çàäà÷à ìíîãèõ òåë áîëåå îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå n òÿãîòåþùèõ äðóã ê äðóãóòåë (Ñîëíöà è íåñêîëüêèõ ïëàíåò). Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè ýòîé ñîâîêóïíîñòè òåë òðåáóåò ó÷åòà íå òîëüêî ñèë òÿãîòåíèÿ ìåæäó ïëàíåòàìè è Ñîëíöåì, íî è ñèëâçàèìíîãî òÿãîòåíèÿ ïëàíåò. Âîçíèêàþùóþ ïðè ýòîì çàäà÷ó íàçûâàþò çàäà÷åé n òåë.Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è â îáùåì ñëó÷àå äî ñèõ ïîð íå íàéäåíî, äàæå äëÿñëó÷àÿ òðåõ òåë.

Ýòî ðåøåíèå, îäíàêî, ñ ïîìîùüþ ÝÂÌ ìîæíî íàéòè ïðèáëèæåííî ñòðåáóåìîé òî÷íîñòüþ.Ãëàâà. Îáùèå òåîðåìû äèíàìèêè ñèñòåìû òî÷åê.Ïîäîáíî îäíîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êå äëÿ ñèñòåìû òî÷åê ââåäåì ìåðû äâèæåíèÿ èìåðû ñèëîâîãî âîçäåéñòâîâàòü è óñòàíîâèì ñâÿçè ìåæäó íèìè. Ýòè ñâÿçè è áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ îáùèìè òåîðåìàìè äèíàìèêè ñèñòåìû.35Äèíàìè÷åñêèå âåëè÷èíû ñèñòåìû.Âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå èíåðöèàëüíûå ñâîéñòâà, çàïàñ äâèæåíèÿ è âîçäåéñòâèåíà ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó, íàçûâàþò äèíàìè÷åñêèìè.

Ýòè âåëè÷èíû ìîæíî ââåñòè ïóòåìîáîáùåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí äëÿ îäíîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.1◦Ìåðû èíåðöèè ñèñòåìû.Èíåðöèàëüíûå ñâîéñòâà ñèñòåìû îïðåäåëÿþòñÿ ìàññîéJl0 îòíîñèòåëüíî îñè l, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî îòñ÷åòà O (Ðèñ. 80). Ìàññîé m ñèñòåìûm è îñåâûì ìîìåíòîì èíåðöèèíàçûâàþò ñóììó ìàññ åå òî÷åêm=Xmk .(35.1)kÌàññà îïðåäåëÿåò ìåðó èíåðöèè ñèñòåìû ïðè åå òðàíñëÿöèè êàê åäèíîãî öåëîãî.