1612043261-26466bcacfe4dc1a2d9d9320e55b46b8 (Курс в коротких заметках)

Справедлива формула:|z|2 = zzyarctg( x ); z ∈ I, IVarg(z) = arg(x + iy) = arctg( xy ) + π; z ∈ IIarctg( xy ) − π; z ∈ IIIarg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) с точностью до 2πУравнение сферы Римана: ξ 2 + η 2 + ς 2 − ς = 0|z|2yxФормулы стереографической проекции: ξ = 1+|z|2 ; ς = 1+|z|2 ; η = 1+|z|2Окрестностью бесконечно удалённой точки z = ∞ называется множество:{z : |z| > R}, R > 0Точка z0 называется:Изолированной точкой множества E ⊂ C, если ∃δ > 0 : B(z0 , δ) ∩ E ={z0 }/Предельной точкой множества E, если ∀δ > 0, B(z0 , δ)˚∩ E 6= OВнутренней точкой множества E, если ∃δ > 0 : B(z0 , δ) ⊂ E/Внешней точкой множества E, если ∃δ > 0 : B(z0 , δ) ∩ E 6= OГраничной точкй множества E, если ∀δ > 0в B(z0 , δ)есть точки, принадлежащиеи непринадлежащие EГраница множества - совокупность всех граничных точек.Множество E называется закмнкутым, если оно содержит все свои предельныеточкиМножество E называется ограниченным, если ∃R > 0 : E ⊂ B(0, R)diam(E) := sup|z1 − z2 |z1 ,z2 ∈Eρ(E1 E2 ) := inf |z1 − z2 |z1 ∈E1 ,z2 ∈E2Множество E называется открытым, если каждая его точка являетсявнутреннейМножествоE называется связным, если его нельзя представить в видеобъединения двух непустых непересекающихся множеств, каждое из которыхне содержит предельных точек другого.Множество E называется областью, если оно - непустое, открытое, связное.Множество E называетсязамкнутой областью (континуумом), если оно- непустое, замкнутое, связное.Множество E называется компактным, если из любого его открытогопокрытия можно выбрать конечное подпокрытие.C - компактно, C - нет.Компонента связности множества E - его максимальное связное подмножество.Область называется n-связной, если его граница состоит ровно из nкомпонент связности.Утв.Последовательность {zn }, zn = x+iyn сходящаяся к числу α = a+ib ⇐⇒сходятся одновременно последовательности {xn }и {yn }, и lim(xn ) = a, lim(yn ) = bn→∞Критерий Коши сходимости ряда:∞PP kРядzn сходится ⇐⇒ ∀ε > 0∃N = N (ε)∀n > N ∀k ≥ 0|zn+m | < εn=0m=01График функции - Γf = {(z, w) : z ∈ E, w = f (z)} ⊂ C " C = R4Функция f : E → C называется однолистной, если ∀z1 , z2 ∈ E(z1 6=z2 )f (z1 ) 6= f (z2 )Если функция f : E → C - однолистная, то определена обратная функция:f −1 : f (E) → E(z = f −1 (W ))Пусть z0 ∈ E - предельная точка множества E;f : E → C.

Говорим, чтоf (z) имеет предел функции в точке z0 ;lim(f (z)) = w0 , если ∀ε > 0∃δ = δ(ε) > 0, т.ч. как только z0 ∈ B̊(z0 , δ) ∩z→z0E ⇒ |f (z) − w0 | < εЕсли z0 - изолированная точка множества E, то f (z) считается непрерывнойв этой точке по определению.Функция f (z) называется равномерно непрерывной на множестве E,если ∀ε > 0∃δ = δ(ε) > 0|z1 − z2 | < δ(z1 , z2 ∈ E) ⇒ |f (z1 ) − f (z2 )| < εThПусть функция f : E → C - непрерывная, заданная на компактноммножестве E ⊂ C, тогда:1)f (z) ограниченная на множестве E2)f (z) достигает на E своих наибольшего и наименьшего значений помодулю (T h Вейерштрасса)3)f (z) равномерно непрервыная на множестве E (T h Кантора)Пусть x(t), y(t) (- непрерывные функции на отрезке [α, β] ⊂ R, тогдаx = x(t)система уравнений, t ∈ [α, β] определяет на плоскости непрерывнуюy = y(t)кривую γ = {z = z(t) = x(t) + iy(t)}Непрерывная кривая называется кривой Жордана, если ∀t1 , t2 ∈ [α, β] :t1 6= t2 , z(t1 ) 6= z(t2 ), за исключением, возможно, случая t1 = α, t2 = βЕсли z(α) = z(β), кривая Жордана называется замкнутой, иначе - незамкнутой(Жордановой дугой).Кривая Жордана называется спрямляемой, если она имеет конечнуюдлину.T h ЖорданаЗамкнутая кривая Жордана разбивает плоскость на две области - содержащуюточку z = ∞ (внешнюю) и не содержащую точку z = ∞ (внутреннюю),являясь их общей границей.Кривая Жордана называется гладкой, если функции x(t), y(t) являетсянепрерывно дифференцируемыми на интервале (α, β); z 0 (t) = x0 (t)+iy 0 (t) 6=0 ∀t ∈ (α, β); ∃lim(z 0 (t)) 6= 0и ∃ lim(z 0 (t)) 6= 0 и эти пределы равны в случаеt→α+0t→β−0замкнутой кривой.Утв.Кусочно-гладкая кривая является спрямляемой.β́ p´(x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dtl(y) = dS =γαЛемма о стандартном радиусе2Если γ - главдкая жорданова замкнутая кривая, то ∃ δ0 = δ0 (γ) > 0,т.ч.

любая окружность с центром в произвольной точке z0 ∈ γ радиусаδ ≤ δ0 пересекает γ ровно в двух точках. Число δ0 из этой леммы будемназывать стандартным радиусом гладкой кривой γ.∞Pfk (z) - функциональный ряд (1), где E ⊂ C, fk : E → C, k −k=1натуральное числоЕсли ряд (1) сходится ∀z ∈ E(к функциии S(z)), то ряд называетсяпоточечно сходящимся.

Т.е. ∀z ∈ E ∀ε > 0 ∃N = N (ε) : ∀n ≥ N |S(z) −nPSn (z)| < ε, где Sn (z) =fk (z)k=1Функциональлный ряд (1) называется равномерно сходящимся на множествеE, если ∀ε > 0 ∃N = N (ε), |S(z) − Sn (z)| < ε ∀z ∈ EПризнак Вейерштрасса равномерной сходимости∞PЕсли n0 ∈ N : ∀k ≥ n0 , ∀z ∈ E, |fk (z)| ≤ αk иαk сходится, то ряд∞Pk=n0fk (z) сходится равномерно и абсолютно на множестве Ek=1Th∞PЕсли fk : E → C - непрерывные на E функции иfk (z) = S(z) k=1равномерно сходящаяся на E, то S(z) - непрерывная на E функцияT h Коши-АдамараpПусть l = lim n |cn |, тогда:n→∞∞P(1) При l = 0 рядcn (z − z0 )n сходится ∀z ∈ C (абсолютно).n=0∞Pcn (z − z0 )n сходится только при z = z0 .(2) При l = ∞ рядn=0(3) При 0 < l < ∞ ряд∞Pcn (z−z0 )n сходится абсолютно при |z−zn | <n=01lи расходится при |z − z0 | > 1lR = 1l - формула Коши-Адамара. R - радиус сходимости степенного∞Pрядаcn (z − z0 )n , а круг {z : |z − z0 | < R} - круг сходимости степенногоn=0ряда.Замечание.(1) В круге сходимости ряд не обязан сходиться равномерно.∞P(2) Рядcn (z − z0 )n сходится равномерно в круге {z : |z − z0 | ≤ r},n=0где 0 < r < R - любое число.(3) На границе круга сходимости характер сходимости может быть любым.∞Pznez =n!n=0cos(z) =∞Pn=0(−1)n z 2n(2n)!3sin(z) =∞Pn=0(−1)n z 2n+1(2n+1)!Пусть D ∈ C - область; определена функция fk : D → C; z0 ∈ D.Функция f (z) называется дифференцируемой (моногенной) в точке z0 , если(z0 )∃ lim f (z0 +∆z)−f:= f 0 (z0 )∆z∆z→0(∂u∂v∂x = ∂y0Если ∃f (z0 ), то в точке выплняется условие Коши-Римана: ∂u∂v∂y = − ∂x- необходимое условие дифференцируемостиT h Достаточное условие дифференцируемостиЕсли для функцияя f (z) = u(x, y) + iv(x, y) в точке z0 выполняетсяусловие Коши-Римана и функции u, v дифференцируемы в точке z0 , тогдаf (z) дифференцируема в точке z0∂∂∂∂= 12 ( ∂x− i ∂y); ∂z=Операции формальных производных по z, z : ∂z∂1 ∂2 ( ∂x + i ∂y )Функция f (z) - дифференцируема ⇐⇒ Выполнены условия КошиРимана, а также u, v - дифференцируемы0∆f = ∂f∂z ∆z + o(|z|) = f (z)∆z + η(∆z)∆z, где lim η(∆z) = 0.

Линейная∆z→0часть f 0 (z)∆z - дифференциал.Пусть D ⊂ C - область, z0 ∈ D. Функция f : D → C называетсяаналитической в точке z0 , если ∃ окрестность B = B(z0 , δ) ⊂ D, т.ч.∃f 0 (z) ∀z ∈ BАналитичность в точке даёт дифференцируемость в точке.Аналитичность в обласи равносильна дифференцируемости в области.Th∞PСумма степенного ряда S(z) =ck z k является аналитической функциейk=0в круге сходимости этого ряда; S 0 (z) = S0 (z) =∞Pkck z k−1 и радиусыk=1сходимости этих двух рядов совпадают.Модуль производной в точке равен коэффициенту искажения длиныкривой в этой точке.Отображение области D ⊂ C называется конформным, если оно осуществляетсяоднолистной и аналитической функцией (в данной области) для которойf 0 (z) 6= 0 ∀z ∈ D. Для такого отображения определено обратное z = f −1 (w),∆z11причём (f −1 )0 (w0 ) = lim ∆w= lim ∆w= f 0 (z. Отображение, обратное0)∆w→0∆z→0∆zк конформному - конформно.ThКонформное отображение сохраняет ориентацию и в каждой точке обладаетсвойствами постоянства искажения масштаба и концентрации углов.Отображение, осуществляемое функцией w = f (z) = az+bcz+d (a, b, c, d ∈C),называется дробно-линейным (ДЛО).Условие однолистности ДЛО: ad − bc 6= 0w = az + b - линейное отображение; тогда:4Линейное отображение - композиция растяжения в |a| раз, поворота наугол α против часовой стрелки вокруг начала координат и парарллельногопереноса на вектор b.Групповые свойства ДЛО:(1) Композиция- ДЛО, причём ДЛОA Ba 1 b1a2 b2=C Dc1 d1c2 d 2(2) Обратное к ДЛО - ДЛО, причём −1A Ba b=C Dc dЛемма о представлении ДЛОПусть w - ДЛО.

Тогда либо w - линейное отображение, либо w = l1 ◦j ◦l2 ,где l1 , l2 - линейные, а j(z) = z1Обобщённой окружностью называется окружность одного из следующихвидов:(1) Прямая с присоединённой к ней точкой z = ∞(2) Обычная евклидова окружность {z : |z − z0 | = R}, z0 ∈ C, R > 0Уравнение общей окружности: A|z|2 + Bz + Bz + C = 0, A, C ∈ RT h круговое свойство ДЛОПусть S - обобщённая окружность; w - ДЛО, тогда w(S) - обобщённаяокружность.ЗамечаниеЕсли S - обобщённая окружность и w - ДЛО, то(1) w(S) - прямая ∪∞ ⇐⇒ − dc ∈ S(2) w(s)- евклидова окружность ⇐⇒ − dc ∈/SПусть S - обобщённая окружность, тогда точки z, z∗ называются симметричнымиотносительно S, если:(1)S - прямая∪∞(2)S - евклидова окружность {z : |z − z0 = R|}И выполняется условие: точки z, z∗ лежат на одном луче, выпущенномиз центра окружности z0 ,при этом |z − z0 ||z ∗ −z0 | = R2 , если z ∈ S, тоz = z∗T h Принцип симметрии ДЛОПусть точки z, z∗ симметричны относительно обобщённой окружностиS, w - ДЛО.