1612043352-03848292b4014c515f1fab63cedbee02 (Билут - Лекции)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИНациональный исследовательский университетНовосибирский государственный университетМеханико-математический факультетУТВЕРЖДАЮ2012 г.Курс лекцийКурс теории функций комплексного переменногоНаправление подготовкиМеханика и математическое моделированиеКвалификация (степень) выпускникаБакалаврФорма обученияОчнаяНовосибирск 2012АннотацияНастоящая разработка представляет собой материал курса лекций дисциплины "Теория функций комплексного переменного читаемых студентам 2–3 курсов механико-математического факультета Новосибирского государственного университета по специальности "механика и математическое моделирование" и призвана способствовать решению задачи развития образовательного процессав рамках Мероприятий по реализации Программы развития НИУНГУ (ПНР-1, III, п.Б.3.9).Материал разработки находится в полном соотвтствии с содержанием лекций, читаемых по инновационной программе третьегопоколения ФГОС ВПО и отличается от имеющихся учебных пособий по теории функций комплексного переменного как по усовершенствованной методике изложения, так и по содержанию, ибов них не всегда имеется необходимый материал или имеется не втом виде, в котором он читается.

Например, материал разделово свойствах интеграла типа Коши в замкнутых областях, краевыхзадачах теории функций и сингулярных интегральных уравненияхможно найти в основном в монографиях.Изложение материала учитывает уровень подготовки студентов в начале четвертого семестра, когда начинается чтение курсаТеории функций крмплексного переменного.Методы теории функций комплексного переменного широко применяются во многих областях, например, в теории дифференциальных упавнений, теории чисел, теории врочтностей, а также примоделировании и анализе результатов фундаментальных физических экспериментов в области аэродинимики, гидродинамики, электродинамики и др.3ОГЛАВЛЕНИЕ0.1.0.2.0.3.0.4.0.5.0.6.Предисловие .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .Множества на расширенной комплексной плоскости. . . . . . . .Предел. Ряды комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Кривая Жордана. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .566912151722Глава I. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1. Дифференцирование функции комплексного переменного.Аналитичность . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Аналитичность суммы степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Конформное отображение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Обращение некоторых элементарных функций. Понятияримановой поверхности и точки ветвления .

. . . . . . . . . . . . . . .1.5. Дробно-линейное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3943Глава 2. ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1. Комплексное интегрирование . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Интеграл типа Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Теорема Морера. Понятие неопределенного интеграла . . . .2.5. Ряд Тейлора . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6. Принцип максимума модуля аналитической функции . . . . .2.7. Теоремы Вейерштрасса о рядах аналитических функций. .2.8. Принцип компактности . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.9. Интегральные формулы Шварца и Пуассона . . . . . . . . . . . . . .2.10. Функции класса Гельдера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.11. Интеграл в смысле главного значения по Коши . . . . . . . . .

.2.12. Граничные значения интеграла типа Коши. . . . . . . . . . . . . . .50505364666871747780828889Глава 3. РЯД ЛОРАНА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ. . . . . .3.1. Ряд Лорана. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Понятия целой и меромофной функций . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .3.3. Элементы теории вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Принцип аргумента аналитической функции . . . . . . . . . . . . . .3.4. Интегральная формула Коши для внешней области . . . . . .103103111113120124430303334Глава 4.

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГООТОБРАЖЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1. Аналитическое продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Теорема Римана о конформном отображенииодносвязных областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .5.3. Соответствие границ при конформном отображении . . . . . .135143Глава 5. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . .6.1. Гармонические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Задача Дирихле . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3. Задача Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.4. Задачи сопряжения . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.5. Задача Римана – Гильберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.6. Сингулярные интегральные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148148152159163172174СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .1815127127ПРЕДИСЛОВИЕВ настоящий курс лекций внесены изменения в ряд доказательств,некоторые доказательства иллюстрируются рисунками.П. А. Билута25 сентябряя 2012 г.г. Новосибирск6В В Е Д Е Н И Е0.1. Комплексные числаНапомним некоторые известные понятия и факты из теории комплексных чисел.Комплексное число α определим как упорядоченную пару (a, b)действительных чисел a, b. Первая компонента a этой пары называется д е й с т в и т е л ь н о й ч а с т ь ю, а вторая компонента b — м н и м о йч а с т ь ю комплексного числа α, и для них приняты обозначения: a == <eα, b = =mα.

Потребуем, чтобы (a, 0) = a. Число вида (0, b) называется м н и м ы м. Числа (0, 0) = 0, (1, 0) = 1 и (0, 1) = i называются н у л е м,е д и н и ц е й и м н и м о й е д и н и ц е й соответственно.Два комплексных числа равны, если соответственно равны их действительные и мнимые части. Введя надлежащим образом операции сложения и умножения, получим обычное представление комплексного числа:α = (a, b) = a + ib.Обозначим через E2 евклидову плоскость с декартовыми ортогональными координатами x, y. Так как комплексное число z = x + iy является парой (x, y) действительных чисел, а множество всевозможных таких пар находится во в з а и м н о о д н о з н а ч н о м с о о т в е т с т в и ис точками E2 , то к а ж д у ю т о ч к у E2 c координатами x, y можнопринять за и з о б р а ж е н и е к о м п л е к с н о г о ч и с л а z = x + iy.В таком истолковании E2 естественно называть к о м п л е к с н о йп л о с к о с т ь ю, которую будем обозначать через C, а z — т о ч к о йкомплексной плоскости C.

Множество C ∗ = C \{0} называется п р о к о л о т о й (в нуле) к о м п л е к с н о й п л о с к о с т ь ю.Так как оси x, y описываются уравнениями =mz = 0, <ez = 0 соответственно, то их называют д е й с т в и т е л ь н о й и м н и м о й о с я м и.Число x−iy называется к о м п л е к с н о с о п р я ж е н н ы м с числомz = x+iy и√обозначается через z̄.Число zz̄, z ∈ C, называется м о д у л е м, а угол ϕ между радиусвектором точки z ∈ C ∗ и положительным направлением оси x — а√ргу м е н т о м комплексного числа z, и для них приняты обозначения: zz̄ == | z |, ϕ = arg z.Отметим, что р а з н ы е комплексные числа можно с р а в н и в а т ьт о л ь к о п о м о д у л ю.7Положение точки z на комплексной плоскости однозначно определяется как декартовыми координатами x, y, так и полярными r = | z |,ϕ = arg z. Обратно, по заданной точке z ее декартовы координаты и модуль определяются единственным образом, а аргумент — с точностью дослагаемого 2kπ, k ∈ Z.

Так, например, аргументом комплексного числаz служит как положительный угол ϕ (см. Рис. 1), так и отрицательныйугол ψ = ϕ−2π.6r*ψ ϕ = arg zxz = (x, y) = x+iyzq1yJ]zqJJJz1 −z2JJ-JJJrz2Рис. 1Значение arg z, удовлетворяющее условию −π < arg z ≤ π, называетсяг л а в н ы м.Заметим, что аналогично тому, как комплексное число z можно изображать на комплексной плоскости радиус-вектором точки z, комплексное число вида z1 −z2 часто удобно изображать вектором с началом вточке z2 и концом в точке z1 , причем | z1 −z2 | геометрически представляет собой расстояние между этими точками.Для двух комплексных чисел z1 и z2 имеют место неравенства треугольника| z + z | ≤ | z | + | z |, | z − z | ≥ | z | − | z | .12121212Поскольку z1 + z2 = z1 − (−z2 ), z1 − z2 = z1 + (−z2 ), а |−z2 | = | z2 |, тоотсюда получим следующее двойное неравенство| z | − | z | ≤ | z ± z | ≤ | z | + | z |.121212При этом легко увидеть, что верхняя граница для модуля суммы и нижняя для модуля разности достигаются, когда радиус-векторы точек z1 иz2 одинаково направлены, а нижняя граница для модуля суммы и верхняя для модуля разности, — когда они противоположно направлены.8В евклидовом пространстве E3 с декартовыми ортогональными координатами ξ, η, ζ рассмотрим сферу S радиуса 21 с центром в точке0, 0, 21 :ξ 2 + η 2 + ζ 2 − ζ = 0.(0.1)6ζrP (0, 0,1)LLLLL rM(ξ, η, ζ)LLLLLLLL 0LLLLL= ξ(x)LLr-η (y)z = x+iyРис.

2Из коллинеарности точек P (0, 0, 1),Плоскость ζ = 0 совместим скомплексной плоскостью C,действительная ось x которой совпадает с осью ξ, амнимая ось y — с осью η.Соединим точку z = x+iyкомплексной плоскости Cc точкой P (0, 0,1) отрезкомпрямой. Он пересечет сферуS в отличной от P точкеM(ξ, η, ζ), которая называется с т е р е о г р а ф и ч е с к о йп р о е к ц и е й точки z на сферу S с полюсом P (см. Рис.