1612043328-a71495de893ea29cb25dc726716e51b8 (Д.Г. Кузин (2020))

комплексное числополе комплексных чиселаргумент комплексного числавозведение в степень комплексного числаформула Муавранеравенства треугольникасфера Риманастереографическая проекцияокрестность точкиокрестность бесконечно удаленной точкипроколотая окрестность точкиизолированная точка предельная точка внутренняя точкавнешняя точка граничная точкаограниченное множество замкнутое множество диаметрмножества расстояние между множествамиоткрытое множество связное множество областькомпонента множестваn-связная область односвязная областькомпакт компактное множестволемма о вложенных компактахпринцип больцано-вейерштрассапоследовательностьсходящаяся последовательностьпоследовательность сходится к бесконечности сходящаясяк бесконечности последовательностьряд сходится сходящийся ряднеобходимое условие сходимости рядакритерий коши абсолютно сходящийся ряд ряд сходитсяабсолютнографик функцииоднолистная функция обратная функцияфункция имеет пределфункция непрерывна в точкеравномерно непрерывная функциянепрерывная криваяжорданова кривая жорданаспрямляемая кривая жорданатеорема Жорданагладкая кривая Жорданадлина кривойлемма о стандартном радиусестандартный радиус кривойлинейно связное множествофункциональный рядряд сходится на множестве ряд поточечно сходится рядравномерно сходитсяпризнак Вейерштрасса сходимости рядасумма ряда - непрерывная на множестве функциястепенной рядтеорема Коши-Адамара формула Коши-Адамарарадиус сходимости степенного ряда круг сходимостиezcoszsinzформула Эйлерапроизводная функцииусловия Коши-Риманадифференцируемая функция моногенная функцияпо формуле Тейлора для функции двух переменных ->аналитическая функцияаналитичная функцияаналитичность суммы степенного рядасумма степенного ряда - аналитическая функциягеометрический смысл модуля и аргумента производнойякобианусловие локальной однолистностисвойство постоянства искажения масштаба - геометрическийсмысл модуля производнойсвойство консерватизма углов - геометрический смысларгумента производнойконформное отображениедробно-линейное отображение ДЛОусловие однолистности ДЛОвырожденное ДЛОподобие с коэффициентом аконформность ДЛОСвойства ДЛОгрупповые свойства ДЛОобобщенная окружностьЛемма о представлении ДЛОуравнение обобщенной окружностикруговое свойство ДЛОсимметричные относительно обобщенной окружности точкипреобразование симметриипринцип симметрии для ДЛОтетрада ангармоническое отношениетеорема об инвариантности ангармонического отношенияДоказательство теоремы 6:общий вид ДЛО верхней полуплоскости на единичный кругДоказательство теоремы 7:Общий вид ДЛО единичного круга на себяОбласть однолистности функциифункция zn и её обращениеобласть однолистности znобращение znриманова поверхность корняточка ветвленияфункция ez и её обращениекомплексный логарифмриманова поверхность логарифмакомплексный интегралопределение комплексного интегралажорданова областьсвойства комплексного интегралазамкнутый контуртеорема Кошилемма Гурсав G с чертойо том что можно интегралограничить произведениеммаксимума  модуля функциии длины кривойравныхт.к.

кривая замкнутаобобщенная теорема КошиЖордана 1  2 теорема Коши для многосвязной областиинтегральная формула Кошивероятно, в силу непрерывности функции fинтеграл типа Кошиосновное свойство интеграла типа Кошитеорема о производных интеграла типа КошиАналитическая в области функция имеет производные всех порядковинтеграл типа Коши исчезает на бесконечностиТеорема Морераобратная к теореме Кошиинтеграланеопределенный интегралформула Ньютона-Лейбницаряд Тейлоратеорема Тейлорат.е. аналитическая в области функция разложима в ряд Тейлорапо признаку Вейерштрассанеравенство Кошитеорема Лиувиллявнутренняя теорема единственности Е нуль функции нуль порядка свойства нуля функциитеорема о среднемпринцип максимума модуляпринцип минимума модуляпринцип экстремумапервая теорема вейерштрассат.к. добавленное не зависитот k и ограниченовторая теорема Вейерштрассаряд Лоранатеорема Лоранаприменить интегральную формулу Кошипо признаку вейерштрассав силу равенства этих интеграловглавная часть ряда Лоранатейлоровская часть ряда Лорана изолированная особая точкаустранимая особая точка полюс существенно особая точкасвойство устранимой особой точкисвойство полюсапорядок полюсаполюс 1/f(z)существенно особая точка 1/f(z) свойство существенно особой точкитеорема Сохоцкого-Вейерштрассавсюду плотнопусть Е - множество значений функции f(z), принимаемых вокрестности существенно особой точки.

Докажем, что длялюбой точки А из С с чертой либо А принадлежит Е, либоявляется её предельной точкойсвойство существенно особой точкитеорема Пикараизолированная особая точка ооряд Лорана в окрестности оопределы в особых точкахвычет функциивычет функции в ооосновная теорема о вычетахтеорема о сумме вычетовформулы для вычисления вычетоввычет устранимая особая точкавычет устранимая особая точка оовычет полюс 1 порядкавычет полюс 1 порядкавычет полюс сходящийся несобственный интегралинтеграл в смысле главного значения по Кошивычисление интеграла по границе неограниченной областивычислениеинтегралапо границенеограниченнойзначение интегралав смыслеглавногозначения пообластиКошилемма Жорданалемма о полувычетео том, чтоаналитическая в замкнутой областианалитичная в замкнутой областивывод формулы логарифмического вычетаосновнойформула логарифмического вычетапринцип аргументат.к.

число нулей конечноинтеграл по любой замкнутой к.-г. кривой Жордана из G равен 0 (по т. Коши) дальше - как в т.Морера[ ]Г - приращение стоящего в квадратныхскобках выражения при однократном обходе точкой zкривой Γ в положительном направлении.теорема Руше|a+ib-1|=|a+ib|+1 => (a+1)^2+b^2=(a^2+b^2+1)^2 => ...

=> a<0,b=0классическая теорема Рушеосновная теорема алгебрыосновное свойство производной однолистнойаналитической функцииокрестности z0g аналитична => нет полюсовпо внутренней теореме единственности (как в основномсвойстве производной однолистной аналитической функции)мероморфная в области функцияразложение на простейшие дроби функции 1/sin^2zразложение на простейшие дроби функции ctgzлемма Шварцаобобщенная лемма шварцаидейно - свести к лемме Шварцатеорема о конформных автоморфизмах единичного кругаидейно - свести к применению леммы Шварца (несколько раз)отображение круга на круг без повторота (поворот на фи=0семейство функций равномерно ограниченосемейство функций равностепенно непрерывноравностепенная непрерывность равномерно ограниченного семействатеорема Асколи-Арцелопринцип компактностиравностепенная непрерывностьравномерно ограниченного семействана шаге mтеорема Гурвица теорема о пределе последовательности однолистныханалитических функцийпо внутренней теореме единственностилемма о раздутииотображение единичного круга на себя без поворотаотображение единичного круга на себя безповоротав области можно выделить однозначную ветвь корня тогдаи только тогдатеорема Римана ограниченная областьперенесли центр в 0 и уменьшили радиус в R развключениетеорема Римана общий случайнепрерывнаяаналитическое продолжениеэлементнепосредственное аналитическое продолжениецепьобщая аналитическая функцияполная аналитическая функцияфункция аналитически продолжается вдоль кривой Г източкитеорема монодромиипринцип непрерывностит.е.

F(z) непрерывна на границе Bпо теореме о производной интеграла типа Кошиграничная теорема единственностипринцип симметрии Римана-ШварцаДЛО переводитсимметричные отн-нообобщенной окружноститочки в симметричныепо принципу непрерывностианалитическая функция действительного переменного,вещественная аналитическая функциясвойство вещественной аналитической функциианалитическая дугагомеоморфизмусловие регулярностипринцип Шварца продолжения через аналитическую дугупредельное множество функции в граничной точкекластерное множество функции в граничной точкетеорема о граничном соответствии при конформных отображенияхпринцип взаимно однозначного соответствияи f(z) аналитична в области Dгармоническая в области функцияоператор Лапласагармоничность Re и Imуравнение Лапласавыражение в полных дифференциалахформула Гринагармонически сопряженная к гармонической функциивосстановление аналитической функции по еёдействительной или мнимой частиf(z)=u(x,y)+iv(x,y) - аналитическая (т.к.