1612043397-c52bbc70cbf2ebd9c97866aa38fbbc50 (Коллоквиум Билута)

Глава 2ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА КОШИ2.1. Комплексное интегрированиеНа плоскости комплексного переменного z рассмотрим гладкую кривую Жордана Γ с началом в точке a и концом в точке b и заданнуюна ней непрерывную функцию f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Обозначим черезzk = xk + iyk , k = 1, 2, . . . , n, следующие друг за другом в положительном направлении фиксированные точки на кривой Γ, отличные от ееконцов, и составим суммуnXS=f (ζk )∆zk ,(2.1)k=0_где ζk = ξk + iηk — некоторая точка дуги zk z k+1 кривой Γ, ∆zk == zk+1 −zk = ∆xk +i∆yk , z0 = a, zn+1 = b.Представляя сумму (2.1) в видеnXS = S1 + iS2 =[ u(ξk , ηk )∆xk − v(ξk , ηk )∆yk ] +k=0+inX[ v(ξk , ηk )∆xk + u(ξk , ηk )∆yk ]k=0и устремляя n к ∞ при условии, что max |∆zk | → 0 при n → ∞,0≤k≤nв пределе получим криволинейные интегралы второго родаZZlim S1 = u dx − v dy,lim S2 = v dx + u dy,n→∞n→∞ΓΓсуществование которых в принятых предположениях относительно Γ иf (z) доказывается в курсе математического анализа.

Следовательно, впринятых предположениях существует предел суммы (2.1), который называется и н т е г р а л о м о т ф у н к ц и и f (z) п о к р и в о й Γ:ZZZlim S = f (z) dz = u dx − v dy + i v dx + u dy.(2.2)n→∞ΓΓΓ51Напомним, что упомянутый предел не зависит от выбора точек zk и ζk .Заметим, что если кривая Γ задана уравнением z = z(t), α ≤ t ≤ β,Rто под f (z) dz можно также понимать интегралΓZβf [ z(t) ] z 0 (t) dt =ααnPZβZβ<e{f [ z(t) ] z 0 (t)} dt + i =m{f [ z(t) ] z 0 (t)} dt.αИз (2.1) очевидно, что наряду с (2.2) существует и предел суммыRf (ζk )(zk −zk+1 ), который обозначают символомf (z) dz, где знакk=0Γ−«−» при Γ означает, что интегрирование по Γ происходит в отрицательном направлении.

Ясно также, чтоZZf (z) dz = − f (z) dz.(2.3)Γ−ΓИз определения интеграла (2.2) непосредственно вытекают следующие его свойства:1. Если fk (z), k = 1, 2, . . . , m, — определенные на Γ непрерывныефункции и ck — комплексные постоянные, тоZZ hXmmiXck fk (z) dz.(2.4)ck fk (z) dz =Γk =1k =1Γ2. Если гладкая кривая Γ состоит из m кусков Γ1 , Γ2 , . . . , Γm , т. е.mΓ = ∪ Γk , тоk =1ZΓf (z) dz =m ZXk =1 Γf (z) dz,(2.5)kпричем предполагается, что интегрирование по каждой дуге Γk происходит в направлении, порожденном направлением интегрирования на Γ.Если кусочно-гладкая кривая Γ состоит из m гладких кривых Γk ,то интеграл по кусочно-гладкой кривой и определяется равенством (2.5).Заметим, что если граница многосвязной области D состоит из замкнутых кривых Жордана, то положительным направлением на границе ∂D = Γ этой области считается направление, оставляющее область52слева.

Поэтому в случае, когда совокупность Γ попарно не пересекающихся замкнутых кусочно-гладких кривых Γ0 , Γ1 , . . . , Γm является границей (m+1)- связной области, причем Γ1 , Γ2 , . . . , Γm лежат внутри Γ0 ,mможно написать ∂D = Γ = Γ0 ∪ ∪ Γk− , и следовательно, для непрерывk=1ной на Γ функции f (z) в силу (2.3) получимZf (z) dz =ΓZf (z) dz −Γ0m ZXk =1 Γf (z) dz.(2.6)k3. Наряду с непрерывной функцией f (z) интегрируема и функция| f (z) |, причем в силу неравенства треугольника и определения длиныкривой имеет место неравенство ZZ(2.7) f (z) dz ≤ | f (z) | · | dz | ≤ max | f (z) | L,z ∈ΓΓΓгде L — длина кривой Γ.4.

Если заданная на Γ последовательность {fn (z)}, n = 1, 2, . . .,непрерывных функций равномерно сходится на Γ к f (z), то функцияf (z) интегрируема (ибо непрерывна) иZZlimfn (z) dz = f (z) dz.(2.8)n→∞ΓΓВ самом деле, в силу равномерной сходимости последовательности{fn (z)} на Γ для любого ε > 0 существует такое число N = N(ε) > 0,εчто | fn (z) −f (z) | < для всех z ∈ Γ и n > N. Поэтому на основанииL(2.4) и (2.7) имеемZZ Z f(z)dz−f(z)dz=[f(z)−f(z)]dz ≤nnΓ≤ZΓΓ| fn (z) −f (z) | · | dz | < ε при n > N,Γчто и доказывает справедливость равенства (2.8).53В частности, если функциональный ряд f (z) =∞Pk =1fk (z) непрерыв-ных на Γ функций fk (z) равномерно сходится на Γ, то это означает,что последовательность его частичных сумм Sn (z) равномерно сходитсяна Γ. Следовательно, в силу (2.8) и (2.4) имеемZ XZ X∞n[fk (z) ] dz = lim[fk (z) ] dz =Γn→∞k =1= limn→∞n ZXΓfk (z) dz =k =1 Γk =1∞ ZXfk (z) dz,k =1 Γт.

е. получаем возможность почленного интегрирования равномерно сходящегося на Γ ряда непрерывных на этой кривой функций fk (z).2.2. Теорема КошиЛемма Гурса. Если функция f (z) непрерывна в области D и γ —лежащая в D кусочно-гладкая кривая Жордана, то для любого ε > 0можно указать лежащую в D ломаную γP с вершинами на γ такую,чтоZZ(2.9) f (z) dz − f (z) dz < ε.γγPДоказательство. Пусть G, G⊂ D, — область, содержащая кривую γ,а l — длина γ. Тогда ρ = ρ (γ, ∂G) =inf|z − ζ | > 0, посколькуz ∈γ , ζ∈∂Gγ ∩ ∂G = ∅. Из равномерной непрерывности f (z) в G следует, что длялюбого ε > 0 найдется такое δ = δ(ε) > 0, что для любых точек z 0 , z 00 изG таких, что | z 0 −z 00 | < δ, выполняется неравенство| f (z 0 ) − f (z 00 ) | <ε.2l(2.10)Разобьем кривую γ точками z1 , z2 , .

. . , zn , следующими друг за другом в положительном направлении и отличными от ее начала a и кон_ца b, на дуги γk = zk z k+1 , k = 0, 1, . . . , n, z0 = a, zn +1 = b, длина54каждой из которых σ(zk , zk+1 ) < min(δ, ρ), и обозначим через γP ломаную с вершинами вточках zk (см. Рис. 6).DОчевидно, ломаная γPGγznлежит в области G.aЗаметим, что дляbγPRzkинтеграла dz вдольz1γk zΓk+1кривой Γ с началомв точке a и концом∂Gв точке b непосредcтвенно из определения получимРис. 6ZnX∆zk = lim (zn+1 − z0 ) = b − a.(2.11)dz = limn→∞Γk=0n→∞Учитывая свойства 1 – 3 интеграла и то, что в силу выбора точек zkдля любого z ∈ γk k = 0,1, .

. . , n, имеем | z −zk | < δ, из (2.11) и (2.10)заключаем, что имеет место неравенствоnn Z XZ εX f (zk )∆zk = [ f (z) − f (zk ) ] dz < . f (z) dz −2k= 0 γk= 0γkАналогично убеждаемся также, чтоn εZXf (zk )∆zk < , f (z) dz −2k= 0γPоткуда следует (2.9).Теорема Коши. Если функция f (z) аналитична в односвязной области D и γ — любая замкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана,лежащая в D, тоZf (z) dz = 0.(2.12)γ55Доказательство. Поскольку для кривой Γ с началом в точке a иконцом в точке b имеемZnnXXz dz = limzk ∆zk = limzk+1 ∆zk ,n→∞ΓтоZΓn→∞k= 0k= 0nz dz =X1(zk + zk+1 )∆zk =lim2 n→∞k= 0nX 1 112z2 − z2 ==limlim zn+1− z02 = (b2 − a2 ).kk+12 n→∞2 n→∞2(2.13)k= 0В силу (2.11) и (2.13) для функций f (z) = 1 и f (z) = z теорема Кошиверна, т.

е.ZZdz = z dz = 0.(2.14)γγДля произвольной функции f (z) сначала рассмотрим случай, когда γявляется границей γ∆ треугольника ∆ ⊂ D.RПусть f (z) dz = M. Соединив середины сторон треугольникаγ∆∆ прямолинейными отрезками, разобьем его на четыре конгруэнтныхтреугольника ∆(k) , k = 1, 2, 3, 4 (см. Рис. 7), и поскольку в силу (2.3) и(2.7) имеем4 Z4 Z X XZ f (z) dz ≤M = f (z) dz = f (z) dz ,k=1 γk=1γγ∆(k)(k)∆∆то среди треугольников ∆(k) существует по крайней мере один, обозначим его через ∆1 , для которого Z Mf (z) dz ≥.4γ∆156Указанным выше способом разобьем треугольник ∆1 на четыре иобозначим через ∆2 любой из них, для которого M Zf (z) dz ≥ 2 .4γ∆2Продолжая этот процесс бесконечно, получим последовательностьтреугольников ∆k ,k = 1, 2, .

. ., со следую@@@Dщими свойствами :I= ∆(3) @@γ1) ∆k+1 ⊂ ∆k ;@ ∆@@2) периметр тре@@@@ ∆(4) >I=I@(1)R@угольника ∆k равен@@= ∆(2) @∆@l@@,гдеl—периметр2kтреугольника ∆;3) для каждого ∆kимеет место неравенРис. 7ство Z M(2.15)f (z) dz ≥ k .4γ∆kПересечение всех треугольников последовательности {∆k } состоитиз единственной точки z0 ∈ D.

В силу аналитичности функции f (z) вточке z0 для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что C(δ, z0 ) ⊂ D и f (z) − f (z )ε00− f (z0 ) < 2 ,z−z0lz ∈ C(δ, z0 ).(2.16)Начиная с некоторого номера k0 , все треугольники ∆k лежат в кругеC(δ, z0 ) и, следовательно, в силу (2.4), (2.14) и (2.16) можно написать Z Z [ f (z) − f (z0 ) − (z−z0 )f 0 (z0 ) ] dz <f (z) dz = γγ∆k∆k<εl2Zγεε l2=.| z − z0 |·| d z| <4kl 2 4k∆k57(2.17)Сравнивая (2.15) и (2.17), получим неравенство M < ε, откуда в силупроизвольности ε имеем M = 0, т. е.Zf (z) dz = 0.(2.18)γ∆Обозначим теперь через γP границу произвольного многоугольникаP ⊂ D и разобьем P на конечное число треугольников ∆(k) . Из очевидZного равенстваX Zf (z) dz =f (z) dzk γγP(k)∆в силу (2.18) заключаем, чтоZf (z) dz = 0.(2.19)γPВ случае, когда γ — любая замкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана, на основании леммы Гурса в силу (2.9) и (2.19) получим неравенRство f (z) dz < ε, из которого ввиду произвольности ε следует (2.12),γт.