1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (В.И. Яковлев - Электромагнитные волны часть 2 2009), страница 8

Äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí (ïîïåðå÷íûõ)www.phys.nsu.ru46Ãëàâà 7. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîå ðåøåíèå íåðåàëèçóåìî, õîòÿ ¾òî÷å÷íûå¿ èñòî÷íèêè ñóùåñòâóþò.  êà÷åñòâå òàêîãî èñòî÷íèêà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü, íàïðèìåð, ïåðåìåííûé ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëü d0 e−iωt . Åãî èçëó÷åíèå â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ( ðèñ.

7.17) ñ öåíòðîì â òî÷êåðàñïîëîæåíèÿ äèïîëÿ, êàê áóäåò ïîêàçàíî ⠟ 13.4, õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîëÿìèaE(r, θ, t) = E∗ ei(kr−ωt) sin θ eθ ,r(7.56)aB(r, θ, t) = E∗ ei(kr−ωt) sin θ eα ,rãäå a íåêîòîðûé õàðàêòåðíûé ðàçìåð, E∗ ìàñøòàá ïîëÿ, êîòîðûåáóäóò óòî÷íåíû òàì æå. Îòñþäà âèäíî, ÷òî êàê è â ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîì ðåøåíèè (7.55), çàâèñèìîñòü ïîëåé (7.56) îò êîîðäèíàòû r çàäàåòñÿ ìíîæèòåëåì (1/r) exp(ikr). Îòëè÷èå çàêëþ÷àåòñÿ â íàëè÷èè óãëîâîé çàâèñèìîñòè, âûðàæàåìîé ìíîæèòåëåì sin θ, ãäå θ óãîë, îòñ÷èòûâàåìûé îò íàïðàâëåíèÿ äèïîëüíîãî ìîìåíòà èçëó÷àòåëÿ.  êàæäîéòî÷êå ïðîñòðàíñòâà ïîëÿ E, B ïî âåëè÷èíå ðàâíû è ïî íàïðàâëåíèÿìñîãëàñîâàíû ñ âåêòîðîì k = ker òî÷íî òàê, êàê â ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíå.Ðèñ.

7.17Òîëüêî ïðè ýòîì ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî, õîòÿ ýêñïîíåíòû ñ ïîêàçàòåëÿìè i(kr − ωt) è i(kr − ωt), âõîäÿùèå â îïðåäåëåíèÿ ïîëåé ñîîòâåòñòâåííî â ñôåðè÷åñêîé è ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëíàõ, ïî ôîðìåñõîæè, íî ïî ñîäåðæàíèþ îíè âåñüìà ðàçëè÷íû.  ïåðâîé èç íèõ kråñòü ïðîèçâåäåíèå âîëíîâîãî ÷èñëà íà ðàññòîÿíèå îò ôèêñèðîâàííîãîèñòî÷íèêà äî òî÷êè íàáëþäåíèÿ. Âòîðîå ñîäåðæèò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïîñòîÿííîãî, íåèçìåííîãî â ïðîñòðàíñòâå âîëíîâîãî âåêòîðà k èðàäèóñà-âåêòîðà r òî÷êè íàáëþäåíèÿ, îòñ÷èòûâàåìîãî îò ïðîèçâîëüíîãîíà÷àëà êîîðäèíàò.www.phys.nsu.ru7.11.

Ïðåäâàðèòåëüíî î ìîíîõðîìàòè÷åñêîé ñôåðè÷åñêîé âîëíå47Äîïîëíèòåëüíîå çàìå÷àíèå. Äëÿ íåáîëüøîé îáëàñòè íàáëþäåíèÿ ñõàðàêòåðíûì ðàçìåðîì, íàìíîãî ìåíüøèì ðàññòîÿíèÿ äî òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà, ìíîæèòåëü sin θ eθ , âõîäÿùèé â âûðàæåíèÿ (7.56), ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïðèáëèæåííî ïîñòîÿííûì. Òîãäà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñôåðè÷åñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû äëÿ òàêîé ìàëîé îáëàñòè ìîæíîïðåäñòàâèòü ðàâåíñòâîìaE(r, t) = E0 ei(kr−ωt) ,rãäå E0 = E∗ sin θ eθ .(7.57)www.phys.nsu.ruÃëàâà 8ÔÓÐÜÅ-ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎÏÎËß ïðåäûäóùåé ãëàâå, îòêðûâàþùåé èçó÷åíèå âîëíîâûõ ïðîöåññîââ ýòîé êíèãå, îñíîâíîå âíèìàíèå áûëî ñîñðåäîòî÷åíî íà ðàññìîòðåíèèïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí.

Êàê ìû óáåäèìñÿ íèæå, èññëåäîâàíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïðîöåññîâ ñ ïîëÿìè E(r, t), B(r, t)â ðåøàþùåé ñòåïåíè îïèðàþòñÿ íà ïðåäñòàâëåíèå ïðîöåññà â âèäå ñóïåðïîçèöèè ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí, èëè, ãîâîðÿ äðóãèìè ñëîâàìè, íà ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèÿ (ñïåêòðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ) ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Íåîáõîäèìîñòü ïåðåõîäà ê ïîäîáíîìó ïðåäñòàâëåíèþ ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíîé, åñëè ó÷åñòü, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíûå ïðîöåññû ðàçâèâàþòñÿ, êàê îáû÷íî, â ïðèñóòñòâèè ìàòåðèàëüíûõ ñðåä, ðåàêöèÿ êîòîðûõ íà ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ïðèìåíèòåëüíî ê îòäåëüíûì ôóðüå-êîìïîíåíòàì. Çàìåòèì, ÷òî ñïåêòðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ëåæàò â îñíîâå íå òîëüêî òåîðåòè÷åñêèõ, íî èýêñïåðèìåíòàëüíûõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ âîëíîâûõ ïðîöåññîâ.Òåîðèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå èçó÷àåòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêèõ êóðñàõ.Çäåñü ìû îãðàíè÷èìñÿ îáñóæäåíèåì ëèøü íåêîòîðûõ îñíîâíûõ ìîìåíòîâ íàçâàííîé òåîðèè, èìåþùèõ íåïîñðåäñòâåííîå îòíîøåíèå ê ðàññìàòðèâàåìîìó â äàííîì êóðñå êðóãó âîïðîñîâ.www.phys.nsu.ru8.1.

Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå8.1. Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå49Ïîä ôóðüå-ðàçëîæåíèåì ïîíèìàþò ðàçëîæåíèå èññëåäóåìîé ôóíêöèè íà ãàðìîíè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå. Íàïðèìåð, ïåðèîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñ ïåðèîäîì T ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà Ôóðüå, ò. å. â âèäåáåñêîíå÷íîé ñóììû ãàðìîíèê ñ ÷àñòîòàìè, îòñòîÿùèìè äðóã îò äðóãàíà ôèêñèðîâàííóþ âåëè÷èíó ω0 :Z T∞Xf2πf (t) inω0 t√n e−inω0 t (ω0 =√ ef (t) =), ïðè÷åì fn =dt.TTT0n=−∞(Çäåñü èñïîëüçîâàíà ñèììåòðè÷íàÿ ôîðìà çàïèñè ðàññìàòðèâàåìîãî ðÿäà.)Íåïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ òàêæå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäåíàáîðà ãàðìîíèê, íî ïðè ýòîì ÷àñòîòû íå äèñêðåòíû, à çàïîëíÿþò íåêîòîðûé ó÷àñòîê ÷èñëîâîé îñè, è ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ èíòåãðàëîìÔóðüå.

Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷èòàòåëþ èçâåñòíû.  ñèììåòðè÷íîìâèäå îíè èìåþò âèä:Z ∞Z ∞11f (t) = √f (ω)e−iωt dω, f (ω) = √f (t)eiωt dt.(8.1)2π −∞2π −∞Çäåñü f (t) èçîáðàæàåò çàâèñèìîñòü íåêîòîðîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû îòâðåìåíè, à f (ω) ôóðüå-îáðàç ýòîé ôóíêöèè. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâèÿ (8.1) ìåæäó ôóíêöèÿìè f (t) è f (ω) óäîáíî èñïîëüçîâàòü ñèìâîëè÷åñêóþ çàïèñü f (t) + f (ω), îçíà÷àþùóþ: ¾ôóíêöèè f (t) ñîîòâåòñòâóåò ôóðüå-îáðàç f (ω)¿. Ôóðüå-îáðàç f (ω) ÷àñòî íàçûâàþò ñïåêòðàëüíîéïëîòíîñòüþ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû f (t).Îòìåòèì, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f (t) ïðåäñòàâèìà â âèäå ðÿäà Ôóðüå, òîãîâîðÿò, ÷òî f (t) îáëàäàåò äèñêðåòíûì ñïåêòðîì, à â ñëó÷àå èíòåãðàëàÔóðüå ñïëîøíûì ñïåêòðîì. Õîòÿ íå ñëåäóåò óïóñêàòü èç âèäó, ÷òîðÿä ôîðìàëüíî òàêæå ìîæåò áûòü èçîáðàæåí â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå;òîëüêî ïðè ýòîì ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòüf (ω) =√2π∞Xf√n δ(ω − nω0 )Tn=−∞áóäåò ñîñòîÿòü èç áåñêîíå÷íîãî íàáîðà äåëüòà-ôóíêöèé.Äî ñèõ ïîð ìû ãîâîðèëè òîëüêî î ôóíêöèÿõ âðåìåíè è èõ ðàçëîæåíèè íà âðåìåííûå ãàðìîíèêè.

Àíàëîãè÷íî è ïðîñòðàíñòâåííûå ôóíêöèèwww.phys.nsu.ru50Ãëàâà 8. Ôóðüå-ðàçëîæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿìîæíî ðàçëîæèòü íà ñîîòâåòñòâóþùèå ãàðìîíèêè. Âîçüìåì äëÿ íà÷àëà ôóíêöèþ f (x) îò îäíîé ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòû x. Äëÿ íååôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïðåäñòàâèì â âèäåZ ∞Z ∞11ikx√√f (x) =f (k)e dk, f (k) =f (x)e−ikx dx. (8.2)2π −∞2π −∞Îáðàùàåì âíèìàíèå, ÷òî çíàêè â ïîêàçàòåëÿõ ýêñïîíåíò â ýòèõ ôîðìóëàõ ïðîòèâîïîëîæíû ñîîòâåòñòâóþùèì çíàêàì ïðè ðàçëîæåíèè (8.1)ôóíêöèè âðåìåíè.

Óäîáñòâî òàêîãî ñîãëàøåíèÿ ñòàíåò ïîíÿòíûì ÷óòüïîçæå ïðè ðàçëîæåíèè ôóíêöèé îò êîîðäèíàò è âðåìåíè íà ìîíîõðîìàòè÷åñêèå ïëîñêèå âîëíû.Ñòðîãèé âûâîä ôîðìóë (8.1) äàåòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêèõ êóðñàõ. Àìû çäåñü ïðîäåëàåì ñâîé ¾âûâîä¿, ïðåñëåäóÿ ïðè ýòîì öåëü íàïîìíèòüíåêîòîðûå ôàêòû, îòíîñÿùèåñÿ ê äåëüòà-ôóíêöèè. È â êà÷åñòâå ïåðâîãîøàãà ïîëó÷èì ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèå ýòîé ôóíêöèè.

Äëÿ ýòîãî îáðàòèìñÿ ê âåëè÷èíå, îïðåäåëÿåìîé èíòåãðàëîì ñ áåñêîíå÷íûìè ïðåäåëàìèZ ∞I(t) =e−iωt dω,−∞ïîíèìàåìûì â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ, ò. å.I(t) = lim I(Ω, t),Ω→∞ZãäåΩI(Ω, t) =e−Ω−iωtdω =eiΩt− e−iΩt= 2Ωitµ¶sin Ωt.ΩtÏðîöåññ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè I(Ω, t) ïðè Ω → ∞ ïðèâîäèò íàñê äåëüòà-ôóíêöèè δ(t) êàê ïðåäåëó íåêîòîðîé êîëîêîëîîáðàçíîé ôóíêöèè.

 äàííîì ñëó÷àå ìû èìååì ôóíêöèþy = sinc(t) = sin t/t(äëÿ îòíîøåíèÿ ñèíóñà ê åãî àðãóìåíòó ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ñïåöèàëüíîå îáîçíà÷åíèå sinc), íàä êîòîðîé ïðåäóñìàòðèâàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿñæàòèÿ (ïî îñè àáñöèññ) è ðàñòÿæåíèÿ (ïî îñè îðäèíàò) â îïðåäåëåííîå÷èñëî ðàç Ω :I(Ω, t) = 2Ω sinc(Ωt).(Íà ðèñ. 8.1 ôóíêöèÿ y(t) íàíåñåíà âìåñòå ñ y(Ωt) äëÿ çíà÷åíèÿ Ω = 4.)Ïðè ýòîì ïëîùàäü ïîä êðèâîéZ ∞Z ∞Z ∞sin tΩ sinc(Ωt)dt =sinc(t)dt =dt = π−∞−∞−∞ twww.phys.nsu.ru8.1.

Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå51îñòàåòñÿ íåèçìåííîé, òàê ÷òî â ïðåäåëå Ω → ∞ ôóíêöèÿ I(Ω, t) ïåðåõîäèò â 2πδ(t).y10.60.2-0.2tπ2π 3πÐèñ. 8.1Òàêèì îáðàçîì, èìååìZ∞e−iωt dω = 2πδ(t).−∞Ýòó ôîðìóëó ìîæíî îáîáùèòü è â êà÷åñòâå âàæíîãî ïîáî÷íîãî ðåçóëüòàòà çàôèêñèðîâàòü â âèäåR∞−∞R∞0e−i(ω−ω )t dt = 2πδ(ω − ω 0 ),(8.3)e−iω(t−τ )dω = 2πδ(t − τ ).−∞Ïîñëåäíþþ ôîðìóëó ïðåäñòàâèì â ôîðìå ôóðüå-ðàçëîæåíèÿ äåëüòàôóíêöèèZ ∞11√ eiωτ e−iωt dω,(8.4)δ(t − τ ) = √2π −∞ 2π√îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî δ(t − τ ) + (1/ 2π)eiωτ .Äëÿ çàâåðøåíèÿ ¾âûâîäà¿ ðàññìàòðèâàåìûõ ôîðìóë (8.1) âñïîìíèì,÷òî ëþáóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äåëüòîîáðàçíûõôóíêöèéZ∞f (t) =f (τ )δ(t − τ )dτ.−∞Îòñþäà ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàâåíñòâà (8.4) ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèåwww.phys.nsu.ru52Ãëàâà 8.

Ôóðüå-ðàçëîæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿZf (t) =∞Z1f (τ ) √2π−∞∞1√ eiωτ e−iωt dωdτ =2π−∞Z ∞Z ∞11√√f (τ )eiωτ dτ e−iωt dω,2π −∞ 2π −∞ñîäåðæàùåå, ïî ñóòè, îáå ôîðìóëû ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèÿ.Ïàðàãðàô çàâåðøèì íàïîìèíàíèåì, ÷òî îïåðàöèÿ ôóðüå-ðàçëîæåíèÿäîïóñêàåò ãåîìåòðè÷åñêóþ àíàëîãèþ ñ ðàçëîæåíèåì âåêòîðà ïî îðòîãîíàëüíûì êîîðäèíàòàì. Òîëüêî â äàííîì ñëó÷àå âìåñòî n-ìåðíîãî ýâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà èìååì áåñêîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé,èíòåãðèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì íà äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîéR ∞ (ãèëüáåðòîâîïðîñòðàíñòâî), ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (f, q) = −∞ f (t) · q ∗ (t)dt.Ýòó àíàëîãèþ çäåñü ïðèâåäåì â âèäå òàáëèöû èç ìîíîãðàôèè Ìåøêîâà×èðèêîâà ñ íåáîëüøèìè êîììåíòàðèÿìè:ÂåêòîðÁàçèñÎðòîíîðìèðîâàííîñòüáàçèñàÐàçëîæåíèåïî áàçèñóÊîìïîíåíòûâåêòîðàÑêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèåâåêòîðîâÂåêòîðíîåïðîñòðàíñòâîÃèëüáåðòîâîïðîñòðàíñòâîren√f (t)(1/ 2π)e−iωtR∞0(1/2π) −∞ e−i(ω−ω )t dt =en · ek = δnkr=Pxn enxn = (r · en )r1 · r2 ==P= δ(ω − ω 0 )√R∞f (t) = (1/ 2π) −∞ f (ω)e−iωt dω√R∞f (ω) = (1/ 2π) −∞ f (t)eiωt dtR∞f (t)f2∗ (t)dt =−∞ 1x1n x2n=R∞−∞f1 (ω)f2∗ (ω)dωÂñå âõîäÿùèå ñþäà ôîðìóëû, êðîìå ïîñëåäíåé, ñîäåðæàòñÿ â ñîîòíîøåíèÿõ (8.1), (8.3), à ðàâåíñòâîZ ∞Z ∞(8.5)f1 (ω)f2∗ (ω)dωf1 (t)f2∗ (t)dt =−∞−∞èç ïîñëåäíåé ñòðîêè òàáëèöû ïîëó÷àåòñÿ, åñëè â èíòåãðàëå åãî ëåâîéwww.phys.nsu.ru8.1.

Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå53÷àñòè ôóíêöèþ f2∗ (t) çàìåíèòü ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèåì, à çàòåì â äâóìåðíîì èíòåãðàëå ïîìåíÿòü ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ:Z ∞Z ∞Z ∞1∗f1 (t)f2 (t)dt =f1 (t) √f2∗ (ω)eiωt dωdt =2π −∞−∞−∞Z∞=−∞1√2πZ∞−∞Zf1 (t)eiωt dt · f2∗ (ω)dω =∞−∞f1 (ω)f2∗ (ω)dω.Èç ðàâåíñòâà (8.5) ñëåäóåò óòâåðæäåíèå, â ìàòåìàòèêå íàçûâàåìîåòåîðåìîé ÏàðñåâàëÿZ ∞Z ∞22| f (t) | dt =| f (ω) | dω(8.6)−∞−∞î ðàâåíñòâå êâàäðàòà äëèíû âåêòîðà ñóììå êâàäðàòîâ åãî îðòîãîíàëüíûõ êîìïîíåíò.Ñîîòíîøåíèå (8.6) èìååò ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Åñëè, ê ïðèìåðó, ïîä ôóíêöèåé f (t) ïîíèìàòü íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿâ ôèêñèðîâàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà îò ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòó òî÷êóèìïóëüñíîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, òî èíòåãðàëZ ∞Z ∞f 2 (t)dt =E 2 (t)dt−∞−∞îêàçûâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëåí ñóììàðíîé ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, ïðîøåäøåé ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó â îêðåñòíîñòè äàííîé òî÷êè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî ðàâåíñòâó (8.6), òà æå ñàìàÿ âåëè÷è2íà (ýíåðãèÿ) ðàâíà èíòåãðàëó ïî âñåì ÷àñòîòàì îò ôóíêöèè | E(ω) | .2Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî | E(ω) | îïèñûâàåò ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà ïî ÷àñòîòàì.

Ïîýòîìó êâàäðàò ìîäóëÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ÷àñòî íàçûâàþò ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè.Èìåÿ â âèäó, ÷òî äëÿ âåùåñòâåííîé ôóíêöèè ìîäóëü ñïåêòðàëüíîéïëîòíîñòè ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû ω (ñì. ñâîéñòâî (8.9)),ýíåðãåòè÷åñêîå ñîîòíîøåíèå (8.6) öåëåñîîáðàçíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàâåíñòâàZZ∞−∞∞E 2 (t)dt = 22| E(ω) | dω,0(8.7)ñîäåðæàùåãî ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè òîëüêî ïî ïîëîæèòåëüíûì ÷àñòîòàì.www.phys.nsu.ru54Ãëàâà 8. Ôóðüå-ðàçëîæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ8.2. Íåêîòîðûå õàðàêòåðíûå ñëó÷àè ôóðüåïðåîáðàçîâàíèÿ1. Ñïåêòð âåùåñòâåííîé ôóíêöèè.