1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (В.И. Яковлев - Электромагнитные волны часть 2 2009), страница 5

Îäíàêî ýòè çàêîíû íè÷åãî íå ãîâîðÿò î õàðàêòåðå ïîëÿðèçàöèè è îá èíòåíñèâíîñòÿõ îòðàæåííîãî è ïðåëîìëåííîãî ñâåòà. Îòâåò íà ýòè âîïðîñûìû ïîëó÷èì, ðàññìîòðåâ ïîâåäåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä. Ïðè ýòîì ïîïóòíî âîñïðîèçâåäåì òàêæå çàêîíûîòðàæåíèÿ-ïðåëîìëåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè.Ðàññìîòðèì èäåàëèçèðîâàííûé ñëó÷àé áåñêîíå÷íîé ïëîñêîé ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ îäíîðîäíûõ èçîòðîïíûõ ñðåä, êàæäàÿ èç êîòîðûõ çàíèìàåò öåëîå ïîëóïðîñòðàíñòâî è õàðàêòåðèçóåòñÿ âåùåñòâåííûìè ïðîíèöàåìîñòÿìè ²1 , µ1 è ²2 , µ2 . Ïóñòü â ïåðâîé ñðåäå çàäàíà ïðèõîäÿùàÿèç áåñêîíå÷íîñòè ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà ñ ïîëÿìèE = Ê0 ei(k0 r−ω0 t) ,·¸(7.39)²1 k0× Ê0 ei(k0 r−ω0 t) ,µ1 k0√ãäå k0 , ω0 óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ k0 = ²1 µ1 (ω0 /c).

Ïëîñêîñòü,îáðàçîâàííóþ íîðìàëüþ ê ãðàíèöå ðàçäåëà è âîëíîâûì âåêòîðîì ïàäàþùåé âîëíû k0 , íàçûâàþò ïëîñêîñòüþ ïàäåíèÿ. Ïóñòü ýòî áóäåò ïëîñêîñòü (x, z), êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 7.9.rH=zk-2ϕ221k-0ϕ ϕ1ε2 , µ2ε1 , µ1xk-1Ðèñ. 7.9Ïîñòàíîâêó çàäà÷è ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ïðîñòî: íàéòè ýëåêòðî-www.phys.nsu.ru7.7. Îòðàæåíèå è ïðåëîìëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû29ìàãíèòíûå ïîëÿ â îáëàñòÿõ 1, 2, îáóñëîâëåííûå ïàäàþùåé âîëíîé (7.39).Ïðè ýòîì èñêîìûå ïîëÿ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü1) óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà,2) ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì íåïðåðûâíîñòè òàíãåíöèàëüíûõ êîìïîíåíòE, H íà ãðàíèöå ðàçäåëàE1τ = E2τ |z=0 ,H1τ = H2τ |z=0(7.40)(äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè Bn è Dn ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ àâòîìàòè÷åñêè, êàê ïîêàçàíî â êîíöå ïàðàãðàôà),3) òàê íàçûâàåìîìó óñëîâèþ èçëó÷åíèÿ, êîòîðîå óòî÷íÿåòñÿ íèæå.Íåòðóäíî äîãàäàòüñÿ, ÷òî èñêîìûå ïîëÿ ñîñòîÿò èç ïîëåé îäíèõ ëèøüïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ñðåäàõE1 (r, t) = Ê1 ei(k1 r−ω1 t) ,rH1 (r, t) =E2 (r, t) = Ê2 ei(k2 r−ω2 t) ,²1 k1[ ×Ê1 ]ei(k1 r−ω1 t) , H2 (r, t) =µ1 k1r²2 k2[ ×Ê1 ]ei(k2 r−ω2 t) ,µ2 k2ãäå k1 , ω1 âîëíîâîé âåêòîð è ÷àñòîòà îòðàæåííîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â ïåðâîé ñðåäå, k2 , ω2 ïàðàìåòðû òàê íàçûâàåìîé ïðåëîìëåííîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âî âòîðîé ñðåäå, ïîä÷èíÿþùèåñÿñîîòâåòñòâóþùèì ñîîòíîøåíèÿì.

Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî â ïåðâîéñðåäå èìåþòñÿ äâå âîëíû ïàäàþùàÿ è îòðàæåííàÿ, à âî âòîðîé ñðåäå ìû ïðåäïîëîæèëè ïðèñóòñòâèå ëèøü îäíîé, óõîäÿùåé îò ãðàíèöûðàçäåëà, âîëíû. Òàêèì îáðàçîì ìû óäîâëåòâîðèëè íàçâàííîìó âûøåóñëîâèþ èçëó÷åíèÿ, êîòîðîå òðåáóåò, ÷òîáû, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì ïðè÷èííîñòè, âîëíû, îáóñëîâëåííûå ãðàíèöåé ðàçäåëà, áûëè òîëüêîóõîäÿùèìè.Ïîêà ó íàñ íåò âîçìîæíîñòè çàäàâàòüñÿ âîïðîñîì îá èñòî÷íèêàõ, ïîðîæäàþùèõ îòðàæåííóþ âîëíó è èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ ïðîõîäÿùåéâîëíû. Îòâåò íà ïîäîáíûå âîïðîñû áóäåò ïîëó÷åí ïðè èçó÷åíèè èçëó÷åíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí. Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìóþ çäåñü ïîñòàíîâêó çàäà÷è ïðè ïåðâîì ÷òåíèè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôîðìàëüíîìàòåìàòè÷åñêóþ.

Ïî ýòîé ïðè÷èíå ìû ïîêà íå äåëàåì íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé î ÷àñòîòàõ ω1 , ω2 îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííîé âîëí ïðè ôèêñèðîâàííîé ÷àñòîòå ω0 ïàäàþùåé âîëíû.Ïîíÿòíî, ÷òî âûïèñàííûå âûøå ïîëÿ E1,2 , H1,2 óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà, ïîýòîìó ýòè óðàâíåíèÿ çäåñü äàæå íå ïðåäñòàâëåíû.www.phys.nsu.ru30Ãëàâà 7.

Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûÍàì îñòàåòñÿ óäîâëåòâîðèòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Îäíî èç íèõ âûïèøåì:Ê0τ ei(k0x x−ω0 t) + Ê1τ ei(k1x x+k1y y−ω1 t) = Ê2τ ei(k2x x+k2y y−ω2 t) ,(7.41)çàìåòèâ, ÷òî âåêòîð k0 ëåæèò â ïëîñêîñòè (x, z). Âòîðîå óñëîâèå èìååòòî÷íî òàêóþ æå ñòðóêòóðó.Ýòè ñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå ïàðàìåòðû âîëí, ñîïðèêàñàþùèõñÿíà ãðàíèöå ðàçäåëà, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ âî âñåõ òî÷êàõ ãðàíèöû è âëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ñëåäèì çà ôèêñèðîâàííîé òî÷êîé ãðàíèöû.

Ïðè ýòîì óñëîâèå (7.41) ïðèîáðåòàåò ñòðóêòóðóAe−iω0 t + Be−iω1 t = Ce−iω2 tñ êîýôôèöèåíòàìè A, B, C, íå çàâèñÿùèìè îò t. Ýòî ðàâåíñòâî ìîæåòâûïîëíÿòüñÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî t òîëüêî ïðè ðàâåíñòâå ÷àñòîò âñåõ òðåõâîëíω1 = ω2 = ω0 .(7.42)Àíàëîãè÷íî, ÷òîáû ñîîòíîøåíèÿ òèïà (7.41) ïðè ôèêñèðîâàííîì tâûïîëíÿëèñü âî âñåõ òî÷êàõ ïëîñêîñòè ðàçäåëà, íåîáõîäèìî, ÷òîáû êîýôôèöèåíòû ïðè x, y âî âñåõ òðåõ ýêñïîíåíòàõ áûëè ñîîòâåòñòâåííîðàâíû, ò. å.k0x = k1x = k2x(7.43)è k1Y = k2Y = 0. Îòñþäà ñëåäóåò, âî-ïåðâûõ, ÷òî âîëíîâûå âåêòîðà âñåõòðåõ âîëí k0 , k1 , k2 ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íîðìàëü ê ïëîñêîñòè ðàçäåëà, ò.

å. â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, èõíàïðàâëåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ óãëàìè ϕ, ϕ1 , ϕ2 , ïîêàçàííûìè íà ðèñ. 7.9.Âî-âòîðûõ, èç óñëîâèÿ (7.43) ðàâåíñòâà ïðîåêöèé âîëíîâûõ âåêòîðîâíà ïëîñêîñòü ðàçäåëàk1 sin ϕ1 = k0 sin ϕ,k2 sin ϕ2 = k0 sin ϕïðè ó÷åòå ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó k è ωk1 = k0 =√²1 µ1 (ω0 /c),k2 =√²2 µ2 (ω0 /c)ïîëó÷àþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ äëÿ óãëîâ ïàäåíèÿ, îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿϕ1 = ϕ,√²2 µ2 sin ϕ2 =√²1 µ1 sin ϕ,www.phys.nsu.ru7.8. Ôîðìóëû Ôðåíåëÿ31ïåðâîå èç êîòîðûõ åñòü çàêîí îòðàæåíèÿ, à âòîðîå çàêîí ïðåëîìëåíèÿÑíåëèóñà. Ñ ââåäåíèåì ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû√n = ²µ(7.44)çàêîí ïðåëîìëåíèÿ çàïèñûâàþò â âèäån2 sin ϕ2 = n1 sin ϕ.(7.45)Òàêèì îáðàçîì, èç åäèíñòâåííîãî óñëîâèÿ, ÷òî íà ãðàíèöå ðàçäåëàäîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèå òèïà (7.41) ñ ïðîèçâîëüíûìè Ê0τ , Ê1τ ,Ê2τ , ñëåäóþò ãåîìåòðè÷åñêèå çàêîíû îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, à òàêæå óñëîâèå (7.42) ðàâåíñòâà ÷àñòîò îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííîé âîëí ÷àñòîòå ïàäàþùåé âîëíû.Çàâåðøèì ïàðàãðàô äîêàçàòåëüñòâîì âûñêàçàííîãî â ñâÿçè ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (7.40) óòâåðæäåíèÿ î íåïðåðûâíîñòè Bn , Dn .

Âñèëó ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà (7.42) ïîëÿ ïî îáå ñòîðîíû ãðàíèöû ìîíîõðîìàòè÷íû è ïîä÷èíÿþòñÿ óðàâíåíèÿì (7.22). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿBn = Bz èìååìBz = −ii ∂Ey∂Exrotz E = −(−).ω/cω/c ∂x∂yÒàê êàê Ey è Ex íåïðåðûâíû ïðè ïåðåõîäå ãðàíèöû, îòñþäà ñëåäóåòíåïðåðûâíîñòü Bz . Àíàëîãè÷íî ñ ïîìîùüþ âòîðîãî óðàâíåíèÿ (7.22)äîêàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîñòü Dz .7.8. Ôîðìóëû ÔðåíåëÿÒåïåðü îáðàòèìñÿ ê ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (7.40) äëÿ îïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííîé âîëí.Ïðåäñòàâèì ïàäàþùóþ âîëíó, â îáùåì ñëó÷àå ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííóþ, â âèäå ñóïåðïîçèöèè äâóõ âîëí.  îäíîé èç íèõ ïîëå Eëåæèò â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ, à ïîëÿ B, H ïåðïåíäèêóëÿðíû ê íåé. Òàêóþ âîëíó îáû÷íî íàçûâàþò ÒÌ-âîëíîé èëè ïîïåðå÷íî-ìàãíèòíîé. Âäðóãîé, íàîáîðîò, ïîëå E ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ; òîãäàH, B ëåæàò â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ.

Ýòî ÒÅ-âîëíà. Ïîíÿòíî, ÷òî îòðàæåííàÿ è ïðåëîìëåííàÿ âîëíû èìåþò òîò æå õàðàêòåð ïîëÿðèçàöèè,÷òî è ïàäàþùàÿ. Ýòî ñòàíåò î÷åâèäíî â õîäå ðåàëèçàöèè ãðàíè÷íûõóñëîâèé. Ñõåìû ïîëåé ñîîòâåòñòâóþùèõ âîëí èçîáðàæåíû íà ðèñ. 7.10,www.phys.nsu.ru32Ãëàâà 7. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû7.11 (äëÿ ÒÌ è ÒÅ-âîëí ñîîòâåòñòâåííî). Äëÿ âñåõ òðåõ ÒÌ-âîëí äëÿïîëîæèòåëüíîãî íàïðàâëåíèÿ àìïëèòóä ïîëÿ H ïðèíÿòî íàïðàâëåíèåîñè y, à ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ïîëÿ E óêàçàíû ñòðåëêàìè. Îíèòàêîâû, ÷òî âåêòîð Ïîéíòèíãà äëÿ êàæäîé èç âîëí íàïðàâëåí âäîëü ñîîòâåòñòâóþùåãî âîëíîâîãî âåêòîðà. Àíàëîãè÷íî âûáðàíû íàïðàâëåíèÿïîëåé äëÿ ÒÅ-âîëí íà ðèñ. 7.11.z-zk2^H2ϕ221^H2^E2ϕ2x-^H0k 0 ϕ ϕ1^H1-^E0^E1k-2k121k-0 ϕ ϕ1^H0Ðèñ.

7.10^E2x^H1^ k-1E1^E0Ðèñ. 7.11Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (7.40) â ñëó÷àå ÒÌ-âîëí ïðèâîäÿòñÿ ê ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì äëÿ ïîñòîÿííûõ àìïëèòóä ïîëåé (ðèñ.7.10):Ê0 cos ϕ − Ê1 cos ϕ = Ê2 cos ϕ2 ,Ĥ0 + Ĥ1 = Ĥ2 ,òàê êàê â ñèëó óñëîâèé (7.42), (7.43) ýêñïîíåíòû äëÿ âñåõ òðåõ âîëíâ ïëîñêîñòè z = 0 ðàâíû è îíè ñîêðàùàþòñÿ. Ó÷èòûâàÿ ñâÿçü H =p²/µE ìåæäó ïîëÿìè â ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíå, ïîñëåäíååñîîòíîøåíèå ïåðåïèøåì:r ³´ r²²12Ê0 + Ê1 =Ê2 .µ1µ2Ðåøåíèå ïîëó÷åííîé ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî Ê1 , Ê2 ïðèâîäèò ê èñêîìîìóðåçóëüòàòó äëÿ àìïëèòóä îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííîé âîëíwww.phys.nsu.ru7.8. Ôîðìóëû Ôðåíåëÿ33rr²2²1cos ϕ −cos ϕ2µ2µ1n2 cos ϕ − n1 cos ϕ2tg(ϕ − ϕ2 )rÊ1 = E0 r⇒ E0, E0,²2²1n2 cos ϕ + n1 cos ϕ2tg(ϕ + ϕ2 )cos ϕ +cos ϕ2µ2µ1(7.46)r²12cos ϕµ12n1 cos ϕrÊ2 = E0 r⇒ E0,²2²1n2 cos ϕ + n1 cos ϕ2cos ϕ +cos ϕ2µ2µ1ãäå ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà äîïîëíÿåòñÿ ôîðìóëîéE02 cos ϕ sin ϕ2.sin(ϕ + ϕ2 ) cos(ϕ − ϕ2 )Äëÿ äðóãîãî òèïà âîëí (ÒÅ-âîëíû) ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ çàïèñûâàþòñÿ â âèäåÊ0+ Ê1 = Ê2 ,Ĥ1 cos ϕ − Ĥ0 cos ϕ = −Ĥ2 cos ϕ2 .Îíè òàêæå ëåãêî ðàçðåøàþòñÿ è ïðèâîäÿò ê ñëåäóþùèì ôîðìóëàì:rr²1²2cos ϕ −cos ϕ2µ1µ2n1 cos ϕ − n2 cos ϕ2sin(ϕ − ϕ2 )rÊ1 = E0 r⇒ E0, −E0,²1²2n1 cos ϕ + n2 cos ϕ2sin(ϕ + ϕ2 )cos ϕ +cos ϕ2µ1µ2r(7.47)²1cos ϕµ12n1 cos ϕ2 cos ϕ sin ϕ2rÊ2 = E0 r⇒ E0, E0²1²2n1 cos ϕ + n2 cos ϕ2sin(ϕ + ϕ2 )cos ϕ +cos ϕ2µ1µ22(äëÿ ÒÅ-âîëí).Çàìåòèì, ÷òî â ñîîòíîøåíèÿõ (7.46), (7.47) äëÿ êàæäîé èç íåèçâåñòíûõ îòâåò ïðèâåäåí â âèäå òðåõ ðàçëè÷íûõ âûðàæåíèé, ñîñòàâëÿþùèõwww.phys.nsu.ru34Ãëàâà 7.