1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (В.И. Яковлев - Электромагнитные волны часть 2 2009), страница 4

Òîëüêî ïðè k1 = k2 = k3 = k ïîñëåäíåå óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ è ðàññìàòðèâàåìàÿ ñóììà ïðåâðàùàåòñÿ â ðåøåíèå (7.26), îòâå÷àþùååïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíå, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü âîëíîâîãî âåêòîðàk.Ðåøåíèå (7.26), âçÿòîå âìåñòå ñ âðåìåííûì ìíîæèòåëåì,E(r, t) = Ê0 ei(kr−ωt)(7.28)ïðåäñòàâëÿåò ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (7.4), îïèñûâàþùåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíå, êîòîðîå ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ(Ê0 · k) = 0(7.29)óäîâëåòâîðÿåò òàêæå è âòîðîìó óðàâíåíèþ ñèñòåìû (7.5). Ñîîòíîøåíèå(7.29) îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð Ê0 íå èìååò êîìïîíåíòû âäîëü âûäåëåííîãîíàïðàâëåíèÿ k, ò.

å. ðàññìàòðèâàåìàÿ âîëíà ÿâëÿåòñÿ ïîïåðå÷íîé (ñì.òàêæå Ÿ 7.2).www.phys.nsu.ru22Ãëàâà 7. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûÀðãóìåíò êîìïëåêñíîãî âûðàæåíèÿ (7.28) îïðåäåëÿåò ôàçó âîëíû.Ñëåäîâàòåëüíî, ïîâåðõíîñòü ïîñòîÿííîé ôàçû (èëè âîëíîâàÿ ïîâåðõíîñòü) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþkr − ωt = Constè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ âîëíîâîìó âåêòîðó.Ýòà ïëîñêîñòü ïåðåìåùàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà kñî ñêîðîñòüþωu= ,(7.30)kíàçûâàåìîé ôàçîâîé ñêîðîñòüþ.

Âî âñåõ òî÷êàõ ïåðåìåùàþùåéñÿ âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè ïîëå E îäèíàêîâî è íå ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì.Ïî èçâåñòíîìó ïîëþ E (7.28) ìàãíèòíîå ïîëå â âîëíå îïðåäåëÿåòñÿèç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (7.22), â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ýêâèâàëåíòíîãî ñîîòíîøåíèþ [ik×E] = i(ω/c)µH. Îòñþäà ïðè ó÷åòå ðàâåíñòâà(7.27) îòâåò ìîæíî çàïèñàòü â äâóõ ðàçíûõ âèäàõ¸¸·r ·² kk√H(r, t) =× E(r, t) , B(r, t) = ²µ× E(r, t) .(7.31)µ kkÏåðâûé èç íèõ, ñîâïàäàþùèé ñ ïîëó÷åííûì ðàíüøå (7.13), ëåã÷å çàïîìèíàåòñÿ, òàê êàê âèçóàëüíî ñîãëàñóåòñÿ ñ ýíåðãåòè÷åñêèì ñîîòíîøåíèåì â âîëíå (7.14).Çàìåòèì â çàêëþ÷åíèå, ÷òî çäåñü, ïðè ïîëó÷åíèè ôîðìóë (7.29),(7.31), à òàêæå â äàëüíåéøåì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ îïåðàòîðîâ div è rot ê âåêòîðíîìó ïîëþ òèïà E = E0 ei(kr) ÷èòàòåëþî÷åâèäåí, ïîýòîìó ôîðìóëûdiv(E0 ei(kr) ) = (ik · E),rot(E0 ei(kr) ) = [ik × E](7.32)èñïîëüçóþòñÿ áåç êîììåíòàðèåâ.7.6.

Ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ ïëîñêàÿ âîëíà:ïîëÿðèçàöèÿÏîçæå ìû ìíîãîêðàòíî óáåäèìñÿ, ÷òî ìîíîõðîìàòè÷åñêèå ïëîñêèåâîëíû ñîñòàâíîé ÷àñòüþ âõîäÿò â ðåøåíèÿ ìíîãèõ çàäà÷ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí. Ïîýòîìó áîëåå ïîäðîáíîå èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ ýòèõ âîëíwww.phys.nsu.ru7.6. Ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ ïëîñêàÿ âîëíà: ïîëÿðèçàöèÿ23çäåñü áóäåò óìåñòíî. Ñ ýòîé öåëüþ îáðàòèìñÿ åùå ðàç ê ðåøåíèþ (7.28),íàïðàâèâ âîëíîâîé âåêòîð, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ïî îñè z. Ïðè ýòîì ïîëåE, ó÷èòûâàþùåå ñâîéñòâî (7.29), áóäåò èìåòü êîìïîíåíòû òîëüêî ïî xè y:E(z, t) = Ê0 ei(kz−ωt) ,Ê0 = Ê0x ex + Ê0y ey .(7.33)Ôàêòè÷åñêè ìû èìååì äâå âîëíû ñ îäèíàêîâûìè ÷àñòîòàìè, áåãóùèå âîäíîì íàïðàâëåíèè. Ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå ïîëÿ â íèõ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûE1 (z, t) = Ê0x ei(kz−ωt) ex ,rE2 (z, t) = Ê0y ei(kz−ωt) ey²Ê0x ei(kz−ωt) ey , H2 (z, t) = −µr²Ê0y ei(kz−ωt) exµ(7.34)(ïîñëåäíèå ôîðìóëû ïîëó÷åíû èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà (7.31)).

 êàæäîéèç ýòèõ âîëí ïîëÿ ïî âåëè÷èíå ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (7.14), à íàïðàâëåíû òàê, ÷òîáû èõ âåêòîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ [E × H] ñîâïàëè ñ íàïðàâëåíèåì k (â äàííîì ñëó÷àå ñ îñüþ z ).Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî çäåñü ïîëå E1 (zp , t) â ëþáîé òî÷êåP ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì, îñòàâàÿñü ïàðàëëåëüíûì èëè àíòèïàðàëëåëüíûì îñè x.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî âîëíà èìååò ëèíåéíóþ èëèïëîñêóþ ïîëÿðèçàöèþ. À ïëîñêîñòü, îáðàçîâàííóþ âåêòîðîì E è âîëíîâûì âåêòîðîì k, íàçûâàþò ïëîñêîñòüþ ïîëÿðèçàöèè.

Çàìåòèì, ÷òîàíàëîãè÷íûé õàðàêòåð ïîëÿðèçàöèè èìååò âòîðàÿ èç âîëí (7.34), òîëüêî ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè ó ýòèõ äâóõ âîëí âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Òàêèì îáðàçîì, ïëîñêóþ ìîíîõðîìàòè÷åñêóþ âîëíó â ñàìîì îáùåìñëó÷àå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåçóëüòàò ñóïåðïîçèöèè äâóõ ëèíåéíîïîëÿðèçîâàííûõ âîëí.×òîáû ¾óâèäåòü¿ ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëåé, îäíó èçýòèõ ñîñòàâëÿþùèõ âîëí, íàïðèìåð, ïåðâóþ, ïðåäñòàâèì â âåùåñòâåííîì âèäå, èñïîëüçóÿ ïîêàçàòåëüíóþ ôîðìó çàïèñè äëÿ êîìïëåêñíîãî÷èñëà Ê0x â âèäå |Ê0x |eiδx . Ïîëó÷èì:H1 (z, t) =E1 (z, t) = |Ê0x | cos(kz − ωt + δx )ex ,rH1 (z, t) =²|Ê0x | cos(kz − ωt + δx )ey .µ(7.35)www.phys.nsu.ru24Ãëàâà 7. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûÇäåñü âàæíî îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî ôàçû ïîëåé E, H ñîâïàäàþò.

Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî åñëè â íåêîòîðîé ïëîñêîñòè ïîëå Ex , íàïðèìåð, ðàâíî íóëþ, òî â ýòîé ïëîñêîñòè è Hy = 0. Èç ñîîòíîøåíèé (7.35) âèäíî, ÷òîäëÿ ôèêñèðîâàííîãî ìîìåíòà âðåìåíè ïîëÿ Ex , Hy , çàâèñÿùèå òîëüêîîò êîîðäèíàòû z âäîëü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, ìåíÿþòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó, ÷òî ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåíî íà ðèñ. 7.4 äëÿ Ex .-xu-Ezλ=2π/kÐèñ. 7.4Ïðîñòðàíñòâåííûé ïåðèîä ñèíóñîèäû, ÿâëÿþùèéñÿ äëèíîé âîëíû λ,ñâÿçàí ñ ìîäóëåì âîëíîâîãî âåêòîðà k ñîîòíîøåíèåìλ=2πkèëè k =2π.λ(7.36)Ïî ýòîé ïðè÷èíå k íàçûâàþò âîëíîâûì ÷èñëîì.

Ýòî åñòü ÷èñëî âîëí,óêëàäûâàþùèõñÿ íà îòðåçêå äëèíû 2π ñì, âçÿòîì âäîëü íàïðàâëåíèÿðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû.×òîáû ïðåäñòàâèòü ñåáå èçìåíåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñèñòåìà âåêòîðîâ E (ðèñ. 7.4)è àíàëîãè÷íàÿ ñèñòåìà H äâèæóòñÿ êàê öåëîå âäîëü îñè z ñ ôàçîâîé ñêîðîñòüþ (7.30). Ïðè ó÷åòå ñîîòíîøåíèÿ (7.27), ñâÿçûâàþùåãî âîëíîâîå÷èñëî ñ ÷àñòîòîé, ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå ïðèíèìàåò çíà÷åíèåu=ωc=√ ,k²µà äëèíà âîëíû (7.26) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèåλ = u(2π/ω)ôàçîâîé ñêîðîñòè íà ïåðèîä âîëíû.Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê ìîíîõðîìàòè÷åñêîé ïëîñêîé âîëíå îáùåãî âèäà,ÿâëÿþùåéñÿ ñóïåðïîçèöèåé äâóõ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí, ÷òîáûwww.phys.nsu.ru7.6. Ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ ïëîñêàÿ âîëíà: ïîëÿðèçàöèÿ25èññëåäîâàòü õàðàêòåð ïîëÿðèçàöèè ñóììàðíîé âîëíû.

Ýëåêòðè÷åñêîåïîëå â ýòîé âîëíå (7.33) õàðàêòåðèçóåòñÿ äâóìÿ äåêàðòîâûìè êîìïîíåíòàìèEx (z, t) = |Ê0x | cos(kz−ωt+δx ), Ey (z, t) = |Ê0y | cos(kz−ωt+δy ), (7.37)ìåíÿþùèìèñÿ ñî âðåìåíåì ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ïðîèçâîëüíûìèàìïëèòóäàìè |Ê0x |, |Ê0y | è íà÷àëüíûìè ôàçàìè δx , δy . Ïðîñëåäèì çà èçìåíåíèåì íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ôèêñèðîâàííîé òî÷êåïðîñòðàíñòâà P, ïðåäñòàâèâ ñåáå, ÷òî âåêòîð E(zp , t) äëÿ êàæäîãî ìîìåíòà âðåìåíè ìû îòêëàäûâàåì îò îäíîé è òîé æå òî÷êè.

Ïîíÿòíî, ÷òîïðè ýòîì êîíåö âåêòîðà E èç-çà åãî ïåðèîäè÷íîñòè ïî âðåìåíè îïèñûâàåò çàìêíóòóþ êðèâóþ, ëåæàùóþ â ïëîñêîñòè z = zp . Âèä ýòîé êðèâîéè îïðåäåëÿåò õàðàêòåð ïîëÿðèçàöèè ðàññìàòðèâàåìîé âîëíû.Èñêîìàÿ êðèâàÿ â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå çàäàíà ñîîòíîøåíèÿìè (7.37),â êîòîðûõ êîîðäèíàòà z = zp ôèêñèðîâàííà, à t ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì.Èñêëþ÷èâ ïàðàìåòð, îòñþäà ïîëó÷èì ÿâíóþ ôîðìóëó äëÿ èñêîìîé êðèâîé. Ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè.1.

Ïóñòü ôàçû êîëåáàíèé Ex (zp , t), Ey (zp , t) ñîâïàäàþò, ò. å. δx == δy = δ, à êîìïëåêñíûé âåêòîð Ê0 = (|Ê0x |ex + |Ê0y |ey )eiδ . Òîãäà äëÿèñêëþ÷åíèÿ ïàðàìåòðà äîñòàòî÷íî îäíî ñîîòíîøåíèå (7.37) ðàçäåëèòüíà äðóãîå è ïîëó÷èòüEy|Ê0y |== Const.Ex|Ê0x |Îòñþäà âèäíî, ÷òî èñêîìàÿ êðèâàÿ ïðåäñòàâëÿåò îòðåçîê ïðÿìîé â ïëîñêîñòè (x, y), ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå îñòàåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè â îäíîéïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îñü z (ðèñ. 7.5), ò. å.

è ñóììàðíàÿ âîëíàÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé. Ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè ñîñòàâëÿåòóãîë α ñ ïëîñêîñòüþ (x, z), ïðè÷åìtg α = |Ê0y |/|Ê0x |.2. Ïóñòü ôàçû êîëåáàíèé îòëè÷àþòñÿ íà π, ò. å. δy = δx ± π, Ê0 == (|Ê0x |ex − |Ê0y |ey )eiδx . Òîãäà àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííóþ âîëíó, ïîêàçàííóþ íà ðèñ. 7.6.3. Ïóñòü Ê0 = (|Ê0x |ex ± i|Ê0y |ey )eiδx , ò. å. ôàçû êîëåáàíèé Ex è Eyîòëè÷àþòñÿ íà π/2 : δy = δx ± (π/2).

Ïðè ýòîìEx = |Ê0x | cos(kzp − ωt + δx ), Ey = ∓|Ê0y | sin(kzp − ωt + δx )www.phys.nsu.ru26Ãëàâà 7. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûè èñêëþ÷åíèå ïàðàìåòðà ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ ýëëèïñàEx2(|Ê0x |)2+Ey2(|Ê0y |)2=1ñ ãëàâíûìè îñÿìè, ñîâïàäàþùèìè ñ îñÿìè êîîðäèíàò.Ey|E^0 y|-E p(t)αE p(t)Ex|E^0 x|Ðèñ. 7.5Ey|E^0 y|α|E^0 x|ExÐèñ. 7.6Òàêèì îáðàçîì, êîíåö âåêòîðà E â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îïèñûâàåòýëëèïñ, âîëíà íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîé.

 çàâèñèìîñòè îò çíàêà ïåðåä i â âûðàæåíèè Ê0 âåêòîð E âðàùàåòñÿ ëèáî ïðîòèâ(ïðè +i), ëèáî ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå (ïðè −i), åñëè íà êàðòèíó ñìîòðåòüñ êîíöà âåêòîðà k (íà ðèñ. 7.7 íàïðàâëåíèå ñòðåëêè ñîîòâåòñòâóåò +i).Ey|E^0 y|Ey|E^0 y|k-Ðèñ. 7.7E p(t)E p(t)Ex^|E 0 x|Ex|E^0 x|Ðèñ. 7.8Èç ðàññìîòðåííûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ âèäíî, ÷òî èíôîðìàöèÿ î õàðàêòåðå ïîëÿðèçàöèè âîëíû (7.33) ñîäåðæèòñÿ â êîìïëåêñíîì âåêòîðå Ê0 .

Âçàâåðøåíèå îòìåòèì áåç âû÷èñëåíèé, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîé ðàçíîñòèwww.phys.nsu.ru7.7. Îòðàæåíèå è ïðåëîìëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû27ôàç δy − δx ïîëó÷àåòñÿ ýëëèïñ, ãëàâíûå îñè êîòîðîãî íå ñîâïàäàþò ñîñÿìè êîîðäèíàò, êàê èçîáðàæåíî íà ðèñ. 7.8.Ïîäâîäÿ èòîã, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â ðåçóëüòàòå ñóïåðïîçèöèè äâóõëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ â ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ âîëí â îáùåì ñëó÷àå ïîëó÷àåòñÿ ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà.

Ïðè îäèíàêîâûõ ïîëóîñÿõ ýëëèïñ ïåðåõîäèò â îêðóæíîñòü, è òîãäà ïîëÿðèçàöèÿíàçûâàåòñÿ êðóãîâîé.  ñëó÷àÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðèñ. 7.5 è 7.6, ýëëèïñâûðîæäàåòñÿ â îòðåçîê ïðÿìîé, è ðåçóëüòèðóþùàÿ âîëíà ñòàíîâèòñÿëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé.Îáðàòèìñÿ ê óñðåäíåííîìó ïîòîêó ýíåðãèè â ìîíîõðîìàòè÷åñêîéïëîñêîé âîëíå. Êàê âèäíî èç ñîîòíîøåíèÿ (7.16), ìãíîâåííîå çíà÷åíèå âåêòîðà Ïîéíòèíãà ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç êâàäðàò íàïðÿæåííîñòèýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â äàííîé òî÷êå:rc² 2S=E .4π µÄëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîé âîëíû (7.33) E 2 == Ex2 + Ey2 , ïîýòîìó óñðåäíåííûé ïîòîê ýíåðãèè â íåé îïðåäåëÿåòñÿâûðàæåíèåìr¢c²¡< S >=< Ex2 > + < Ey2 > ,4π µ÷òî ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðàâèëà (7.20) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ðàññìàòðèâàåìîé âîëíår ³r´c²²c< S >=|Ê0x |2 + |Ê0y |2 =| Ê |2 .(7.38)8π µ8π µÏîä÷åðêíåì çäåñü, ÷òî ïîòîê ýíåðãèè â ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîéâîëíå ñêëàäûâàåòñÿ èç ïîòîêîâ ýíåðãèè äâóõ ñîñòàâëÿþùèõ ëèíåéíîïîëÿðèçîâàííûõ âîëí.7.7.

Îòðàæåíèå è ïðåëîìëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõñðåäÈç îïûòà èçâåñòíî, ÷òî, êîãäà ñâåò äîñòèãàåò ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõñðåä ñ ðàçíûìè îïòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè (èëè ãðàíèöû ñðåäû ñ âàêóóìîì), îí ÷àñòè÷íî ïðîõîäèò âî âòîðóþ ñðåäó, èçìåíÿÿ íàïðàâëåíèå âwww.phys.nsu.ru28Ãëàâà 7. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûñëó÷àå íàêëîííîãî ïàäåíèÿ, è ÷àñòè÷íî âîçâðàùàåòñÿ â ïåðâóþ ñðåäó.Íàïðàâëåíèÿ îòðàæåííîãî è ïðåëîìëåííîãî ñâåòà îïèñûâàþòñÿ èçâåñòíûìè çàêîíàìè ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè, ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåííûìè çàäîëãî äî âûÿâëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé ïðèðîäû ñâåòà.