1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (В.И. Яковлев - Электромагнитные волны часть 2 2009), страница 3

Ýòî äâèæåíèå ïëåíêè ñîçäàåòïîâåðõíîñòíûé òîê â ïëîñêîñòè z = 0½i0 = σv ïðè 0 ≤ t ≤ t0 ,i(t) = i(t)ey ,i(t) =(1)0âíå ýòîãî èíòåðâàëà,ðàññìàòðèâàåìûé â êà÷åñòâå èñòî÷íèêà èññëåäóåìîé âîëíû. Äëÿ íàãëÿäíîñòè ñèñòåìà êîîðäèíàò è ïîâåðõíîñòíûé òîê (â âèäå êîí÷èêîâñòðåë) èçîáðàæåíû íà ðèñ. 7.2.x_i_l_-ctEH_yE_ct zHÐèñ.

7.2Òàì æå íàíåñåí çàìêíóòûé êîíòóð ` ñ óêàçàíèåì ïîëîæèòåëüíîãî íàïðàâëåíèÿ îáõîäà, ñîîòâåòñòâóþùåãî òîêó i, ïîäñêàçûâàþùèé ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ ïîëÿ H ïðè t ≥ 0 :2πi(t),c2π= − i(t).cHx |z=+0 =Hx |z=−0(2)Èìïóëüñíûé òîê (1) ïîðîæäàåò âîëíû, óõîäÿùèå îò ïëîñêîñòè z = 0âïðàâî è âëåâî, ïðè÷åì îòëè÷íûå îò íóëÿ êîìïîíåíòû ïîëåé â íèõ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè ñèììåòðèèEy (−z, t) = Ey (z, t),Hx (−z, t) = −Hx (z, t).(20 )www.phys.nsu.ru7.3.

Ïðèìåð ïëîñêîé âîëíû15Ïîýòîìó ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì âîëíû â ïðàâîì ïîëóïðîñòðàíñòâå, áåãóùåé ïî íàïðàâëåíèþ îñè z.  ýòîé âîëíå ïîëÿ Ey , Hx íàîñíîâàíèè ñâîéñòâà (7.13) ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìEy (z, t) = −Hx (z, t),(3)à ôóíêöèÿ f (ξ) èç ðåøåíèÿ âèäà (7.12)(30 )Hx (z, t) = f (z − ct)îïðåäåëÿåòñÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì (2) è íà÷àëüíûì óñëîâèåì â ìîìåíòt=0Hx (z, 0) = 0(z > 0).(4)Èç ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òîf (ξ) = 0ïðè ξ > 0,à óñëîâèå (2) îïðåäåëÿåò çíà÷åíèÿ f (ξ) äëÿ îòðèöàòåëüíîé ïîëóîñè:f (−ct) = (2π/c)i(t).Òàêèì îáðàçîì, f (ξ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòóïåí÷àòóþ ôóíêöèþ, òîëüêî íà èíòåðâàëå [−ct0 , 0] ïðèíèìàþùóþ íåíóëåâîå ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå2πi0 /c.Ïîëó÷åííîå ðåøåíèå óäîáíî ïðîêîììåíòèðîâàòü ãðàôè÷åñêè.

Äëÿýòîãî ïðÿìûå z = ct è z = c(t − t0 ), îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèÿ ïåðåäíåãîè çàäíåãî ôðîíòîâ âîëíû â ïðàâîì ïîëóïðîñòðàíñòâå äëÿ ïðîèçâîëüíîãîìîìåíòà âðåìåíè t > 0, èçîáðàæåíû â ïëîñêîñòè (z, t) (ðèñ. 7.3).tt2z=ct-ct0z=ctt0t10ct1ct 2 zÐèñ. 7.3Çäåñü íà îñè z æèðíîé ëèíèåé âûäåëåí îòðåçîê, ãäå ôóíêöèÿ f (z − ct)www.phys.nsu.ru16Ãëàâà 7. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûïðè t = 0 îòëè÷íà îò íóëÿ, à äëÿ äâóõ çíà÷åíèé âðåìåíè t1 , t2 îòìå÷åíûïîëîæåíèÿ, êîòîðûå âîëíà çàíèìàåò.

Âèäíî, ÷òî ïðè 0 < t1 < t0 âîëíàçàïîëíÿåò ñëîé 0 ≤ z ≤ ct1 , ïðèëåãàþùèé ê ïëîñêîñòè ñèììåòðèè ñòîêîì i(t), à ïðè t > t0 ñëîé òîëùèíû ct0 , óæå îòîðâàâøèéñÿ îòýòîé ïëîñêîñòè. Äâà ïëîñêèõ ñëîÿ (ïðàâûé è ëåâûé), ñîîòâåòñòâóþùèåìîìåíòó t2 , â âèäå çàòåìíåííûõ ïîëîñ ïîêàçàíû òàêæå íà ðèñ. 7.2, ãäåñõåìàòè÷åñêè óêàçàíû íàïðàâëåíèÿ çàïîëíÿþùèõ ýòè ñëîè îäíîðîäíûõýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé.Òàêèì îáðàçîì, ïðè t > t0 îò èñòî÷íèêà îòõîäÿò äâå âîëíû â âèäå èçîëèðîâàííûõ äðóã îò äðóãà ïëîñêèõ ñëîåâ òîëùèíû ct0 , ïåðåìåùàþùèõñÿ âïðàâî è âëåâî ñî ñêîðîñòüþ c, ñîäåðæàùèõ îòëè÷íûå îòíóëÿ ïîëÿ E, H.

Âíå ýòèõ ñëîåâ ïðîñòðàíñòâî ñâîáîäíî îò ïîëåé. (Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå â ïðîñòðàíñòâå E = 2πσSign(z)ez ê ïîëþ â âîëíåîòíîøåíèÿ íå èìååò.) Óïîìÿíåì çäåñü, ÷òî êàæäûé èç ýòèõ ñëîåâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîñòåéøèé ïðèìåð ñòðóêòóðû, êîòîðóþ âïîñëåäñòâèèáóäåì íàçûâàòü âîëíîâûì ïàêåòîì.  äàííîì ñëó÷àå ýòî íåðàñïëûâàþùèéñÿ âîëíîâîé ïàêåò, áåãóùèé áåç èçìåíåíèÿ ôîðìû.Ñóììàðíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â âîëíå W, ïðèõîäÿùàÿñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè èñòî÷íèêà, çàêëþ÷åíà â îáúåìå äâóõ ïðÿìûõöèëèíäðîâ, êàæäûé ñ âûñîòîé ct0 è ñ åäèíè÷íîé ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãîñå÷åíèÿ, ò. å. W = 2ct0 w, ãäå w îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (7.15) ïðèµ = 1.

Ñëåäîâàòåëüíî,1 2π 2i0( i0 ) = ct0 2π( )2 .(5)4π ccÄëÿ âûÿñíåíèÿ ïðîèñõîæäåíèÿ ýòîé ýíåðãèè îáðàòèì âíèìàíèå íà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â ïëîñêîñòè èñòî÷íèêà, êîòîðîå â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåçóëüòàòàìè (2), (20 ), (3) ðàâíî −(2π/c)i0 ïðè 0 ≤ t ≤ t0 ,Ey |z=0 =0ïðè t > t0 .W = 2ct0 ·Âàæíî çàìåòèòü, ÷òî òîê i è ïîëå E çäåñü íàïðàâëåíû äðóã ïðîòèâ äðóãà, ò. å. òîê â èñòî÷íèêå ÿâëÿåòñÿ ¾ñòîðîííèì¿, âûçâàííûì ñòîðîííèìèñèëàìè (â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ýòî ìåõàíè÷åñêèå ñèëû), êàê óæåáûëî ïîä÷åðêíóòî â ïîñòàíîâêå çàäà÷è. Âíåøíèå ñèëû, ïðèõîäÿùèåñÿíà åäèíèöó ïëîùàäè çàðÿæåííîé ïëåíêè, ñîâåðøàþò ðàáîòó ïî ïåðåìåùåíèþ çàðÿäà σ ïðîòèâ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà ðàññòîÿíèå vt0 , ò. å.µ ¶22πi0i0A=σvt0 = ct0 2π.ccwww.phys.nsu.ru7.4. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ17Åñòåñòâåííî, ýòà ðàáîòà ðàâíà ýíåðãèè ïîëÿ (5) â ýëåêòðîìàãíèòíîéâîëíå.

Òàêèì îáðàçîì, ìåõàíè÷åñêàÿ ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ â ïëîñêîñòèz = 0 çà êîíå÷íîå âðåìÿ t0 , ïðåâðàùàåòñÿ â ýíåðãèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãîïîëÿ è ïåðåíîñèòñÿ âîëíîé íà ñêîëü óãîäíî áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ, ñóùåñòâóÿ ñêîëü óãîäíî äîëãî ïîñëå îêîí÷àíèÿ ðàáîòû âíåøíåãî èñòî÷íèêà.7.4. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ1.  ïîñëåäóþùåì ìû óáåäèìñÿ, ÷òî ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå èìååò èçó÷åíèå âîëíîâûõ ïðîöåññîâ, â êîòîðûõ èçìåíåíèå ïîëåé E, H ïîâðåìåíè â ëþáîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ïðîèñõîäèò ïî ñèíóñîèäàëüíîìóçàêîíó ñ îïðåäåëåííîé êðóãîâîé ÷àñòîòîé ω.

Ýòî òàê íàçûâàåìûå ìîíîõðîìàòè÷åñêèå ïðîöåññû (ìîíîõðîìàòè÷åñêèå âîëíû).Êàê óæå ãîâîðèëîñü ïðè èçó÷åíèè ÿâëåíèÿ ñêèí-ýôôåêòà ⠟ 6.9, õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ îïèñàíèÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå êîìïëåêñíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí.Íàïîìíèì, ÷òî ëþáóþ ôèçè÷åñêóþ âåëè÷èíó (âåùåñòâåííóþ)f (r, t) = f0 (r) cos(ωt + α(r)),ñî âðåìåíåì ìåíÿþùóþñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó, àìïëèòóäà êîëåáàíèé êîòîðîé f0 (r) è íà÷àëüíàÿ ôàçà α(r) çàâèñÿò îò êîîðäèíàò, óäîáíîïðåäñòàâëÿòü â âèäå ðåàëüíîé ÷àñòè êîìïëåêñíîãî âûðàæåíèÿf (r, t) = Re[fˆ(r)e−iωt ].Ôóíêöèÿ fˆ(r) = f0 (r)eiα(r) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû f. Îíà îáúåäèíÿåò â ñâîåì ñîñòàâå êàê àìïëèòóäó êîëåáàíèé, òàê è íà÷àëüíóþ ôàçó.

(Âðåìåííîé ìíîæèòåëü â êîìïëåêñíîìâûðàæåíèè çäåñü âçÿò â âèäå ýêñïîíåíòû ñî çíàêîì ¾ìèíóñ¿, ÷òî ïðèîïèñàíèè âîëíîâûõ ïðîöåññîâ ïðåäïî÷òèòåëüíî.) Çàìåòèì, ÷òî îáîçíà÷åíèå ñî ¾øëÿïêîé¿, èñïîëüçîâàííîå çäåñü äëÿ âûäåëåíèÿ êîìïëåêñíîéàìïëèòóäû, íå ÿâëÿåòñÿ îáùåïðèíÿòûì. Íî îíî óäîáíî, îñâîáîæäàåòôîðìóëû îò äâóñìûñëåííîñòåé è ïîýòîìó ïðèìåíÿåòñÿ âî âñåé êíèãå.Âåêòîðíûå ïîëÿ ïðè èçó÷åíèè ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ çàäàþòñÿ êîìïëåêñíûìè âûðàæåíèÿìè òèïàE(r, t) = Ê(r)e−iωt ,(7.18)www.phys.nsu.ru18Ãëàâà 7.

Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûâ êîòîðûõ êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé âåëè÷èíîéÊ(r) = Eˆx (r)ex + Eˆy (r)ey + Eˆz (r)ez ,ñìûñë êîòîðîé î÷åâèäåí èç ýòîé ðàçâåðíóòîé çàïèñè. Íàïîìíèì, ÷òî,ïîêà ìû ïðîèçâîäèì íàä âåëè÷èíàìè ëèøü ëèíåéíûå îïåðàöèè, çíàêâçÿòèÿ âåùåñòâåííîé ÷àñòè ìîæíî îïóñêàòü (êàê â ðàâåíñòâå (7.18)) èîïåðèðîâàòü ñ ñàìèìè êîìïëåêñíûìè âûðàæåíèÿìè. Êîíå÷íî, ïðè ýòîìíå çàáûâàåì, ÷òî ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò ëèøü âåùåñòâåííàÿ ÷àñòüèñïîëüçóåìîãî êîìïëåêñíîãî âûðàæåíèÿ, ê êîòîðîé ìû ïåðåõîäèì íàçàâåðøàþùåì ýòàïå ïðîöåññà ðåøåíèÿ.Åñëè íàñ èíòåðåñóåò ïðîèçâåäåíèå äâóõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, íàïðèìåð E(r, t) = Ê(r)e−iωt è B(r, t) = B̂(r)e−iωt , òî ïåðåä óìíîæåíèåì,åñòåñòâåííî, íàäî ïåðåõîäèòü ê èõ âåùåñòâåííûì ÷àñòÿì.

Íî åñëè, êàê÷àùå âñåãî áûâàåò, íàì äîñòàòî÷íî çíàòü ëèøü ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà÷åíèå ýòîãî ïðîèçâåäåíèÿ, òî äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî< E(r, t) × B(r, t) > = (1/2)Re[Ê(r) × B̂∗ (r)].(7.19)Äåéñòâèòåëüíî,hi[ReE × ReB] = (1/4) (Ê(r)e−iωt + Ê ∗ (r)eiωt ) × (B̂(r)e−iωt + B̂ ∗ (r)eiωt ) ;ïðè óñðåäíåíèè ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå e±2iωt îáðàùàþòñÿ â íóëü, òàê ÷òî³´[ReE × ReB] = (1/4) [Ê(r) × B̂∗ (r)] + [Ê∗ (r) × B̂(r)] == (1/2)Re[Ê(r) × B̂∗ (r)] = (1/2)Re[Ê∗ (r) × B̂(r)],÷òî òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü.Äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ è äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ ñêàëÿðíûõ âåëè÷èí, åñòåñòâåííî, ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ òèïà< f1 f2 > = (1/2)Re(fˆ1 fˆ2∗ ), < f 2 > = (1/2) | fˆ |2 .(7.20)Ïðèìåð 7.1.

Ïîñòðîèòü êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó ðàäèóñà-âåêòîðà ÷àñòèöû, ñîâåðøàþùåé ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå, ñêëàäûâàþùååñÿ èç âðàùåíèÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω ïî îðáèòå ðàäèóñà a ñ öåíòðîìâ íà÷àëå êîîðäèíàò: x = a cos ωt, y = a sin ωt, è êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âäîëü îñè z : z = h sin ωt.Ïî óñëîâèþ èìååìr(t) = a(cos ωtex + sin ωtey ) + h sin ωtez .www.phys.nsu.ru7.4. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ19Òàê êàê cos ωt = Re(e−iωt ), sin ωt = Re(ie−iωt ), òî r(t) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèä婪r(t) = Re [a(ex + iey ) + ihez ]e−iωt .Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìàÿ êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäàr̂ = a(ex + iey ) + ihez .2.

Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ïîëåé, ïîëó÷àþùèåñÿ ïîñëå ïîäñòàíîâêè â ñèñòåìó (7.2) êîìïëåêñíûõ ïðåäñòàâëåíèéâñåõ ôóíêöèé òèïà (7.18) è ñîêðàùåíèÿ âðåìåííûõ ìíîæèòåëåé, èìåþòâèäiωrotÊ(r) =B̂(r),div B̂(r) = 0,c(7.21)iωrotĤ(r) = − D̂(r),div D̂(r) = 0.cÑëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî îáà ¾äèâåðãåíòíûõ¿ óðàâíåíèÿ ýòîéñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèÿìè ¾ðîòîðíûõ¿ óðàâíåíèé è ìîãóò áûòüîòáðîøåíû. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ãàðìîíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ íåçàâèñèìûìè ÿâëÿþòñÿ îñòàþùèåñÿ äâà âåêòîðíûõ óðàâíåíèÿ.

Òàê êàê îíè â ñëó÷àå ìàòåðèàëüíîé ñðåäû ñîäåðæàò ÷åòûðå íåèçâåñòíûõ âåêòîðíûõ ïîëÿ,òî ñèñòåìà (7.21) íåçàìêíóòà, êàê è ïåðâîíà÷àëüíàÿ ñèñòåìà (7.2). Íî, âîòëè÷èå îò ïîñëåäíåé, âõîäÿùèå â (7.21) êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû ïðàêòè÷åñêè äëÿ âñåõ èçîòðîïíûõ ñðåä ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè1B̂ = µ(ω)Ĥ,D̂ = ²(ω)Ê,ãäå äèýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòè â îáùåì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè è çàâèñÿò îò ÷àñòîòû ω (÷àñòîòíàÿ äèñïåðñèÿ; îáýòîì áîëåå ïîäðîáíî áóäåò ñêàçàíî â ãëàâå 9).

Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìàÿñèñòåìà óðàâíåíèé ïðèîáðåòàåò âèärotÊ(r) =iωµĤ(r),crotĤ(r) = −iω²Ê(r)c(7.22)è ñòàíîâèòñÿ çàìêíóòîé ñèñòåìîé.  ñëó÷àå íåîäíîðîäíîé ñðåäû ² è µ,êðîìå ω, çàâèñÿò òàêæå îò êîîðäèíàò, íî â ýòîé êíèãå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà äëÿ íåîäíîðîäíûõ ñðåä íå çàòðîíóòû. Ïîýòîìó ìûáóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â êàæäîé èç îáëàñòåé îïðåäåëåíèÿ èñêîìûõ ïîëåé1 Ñóùåñòâóþò ðåäêèå èñêëþ÷åíèÿ, òðåáóþùèå ó÷åòà òàê íàçûâàåìîé ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè.

Ýòè âîïðîñû â äàííîì êóðñå íå ðàññìàòðèâàþòñÿ.www.phys.nsu.ru20Ãëàâà 7. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûõàðàêòåðèñòèêè ñðåäû ², µ ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè, ê òîìó æå âåùåñòâåííûìè. Ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ (7.22) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäårotÊ(r) =iωB̂(r),crotB̂(r) = −iω²µÊ(r)c(äëÿ îäíîðîäíûõ ñðåä), (7.23)ñîäåðæàùåì òîëüêî îñíîâíûå ïîëÿ Ê(r) è B̂(r).(Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àè êîìïëåêñíûõ ², µ, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàñïðîñòðàíåíèþ âîëíû ñ çàòóõàíèåì, â êíèãå êàæäûé ðàç áóäóò ñïåöèàëüíîîãîâàðèâàòüñÿ.)7.5. Ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ ïëîñêàÿ âîëíà:ïîëÿ, âîëíîâîé âåêòîð,ôàçîâàÿ ñêîðîñòüÏðè èñïîëüçîâàíèè êîìïëåêñíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (7.18) âîëíîâîå óðàâíåíèå (7.4) ïðèâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþω2Ê(r) = 0(7.24)c2äëÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû ïîëÿ E.

Âõîäÿùèé ñþäà ëàïëàñèàí âåêòîðíîãî ïîëÿ â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò∆Ê(r) + ²µ∆Ê(r) = ∆Êx ex + ∆Êy ey + ∆Êz ez ,ïîýòîìó âåêòîðíîå óðàâíåíèå (7.24) ýêâèâàëåíòíî òðåì ñêàëÿðíûì óðàâíåíèÿì âèäàω2∆fˆ + ²µ 2 fˆ = 0(7.25)cñîîòâåòñòâåííî äëÿ Êx , Êy , Êz .Ìàòåìàòèêè óðàâíåíèå (7.25) íàçûâàþò óðàâíåíèåì Ãåëüìãîëüöà.Äëÿ íàñ (7.24), (7.25) íîâûå óðàâíåíèÿ, ïîýòîìó, êàê è âåçäå â ýòîéêíèãå, äëÿ íèõ ïîñòðîèì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ, êîòîðûå â ïîñëåäóþùåìáóäóò èìåòü ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå. Íà÷íåì ñî ñêàëÿðíîãî óðàâíåíèÿ.Óïðàæíåíèå.

Èñïîëüçóÿ ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, óáåäèòüñÿ,÷òî óðàâíåíèå (7.25) äîïóñêàåò ðåøåíèÿ â âèäå ìóëüòèïëèêàòèâíûõôóíêöèéeiαx eiβy eiγz = ei(αx+βy+γz) ,www.phys.nsu.ru7.5. Ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ ïëîñêàÿ âîëíà21ãäå íàáîð êîíñòàíò α, β, γ â ñîâîêóïíîñòè óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþα2 + β 2 + γ 2 = ²µω2.c2Çàìåòèì, ÷òî ýòî ðåøåíèå îáû÷íî ïðåäñòàâëÿþò â âèäå fˆ = ei(kr) ,ãäå k = kx ex + ky ey + kz ez ïîñòîÿííûé âåêòîð îïðåäåëåííîé äëèíû√|k| = ²µ ω/c, çàäàþùèé îïðåäåëåííîå íàïðàâëåíèå â ïðîñòðàíñòâå.Äëÿ âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ (7.24) àíàëîãè÷íîå ðåøåíèå èìååò âèäÊ(r) = (Ê0x ex + Ê0y ey + Ê0z ez )ei(kr) = Ê0 ei(kr) ,(7.26)ãäå Ê0x , Ê0y , Ê0z ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíûå ïîñòîÿííûå. Âåêòîð kíàçûâàåòñÿ âîëíîâûì âåêòîðîì, åãî äëèíà îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìpk = |k| = ²(ω)µ(ω) ω/c,(7.27)ñâÿçûâàþùèì k ñ ÷àñòîòîé ω.Óòî÷íÿþùåå çàìå÷àíèå. Ñóììà áîëåå îáùåãî âèäàÊ(r) = Ê0x ei(k1 r) ex + Ê0y ei(k2 r) ey + Ê0z ei(k3 r) ez ,√(|k1 | = |k2 | = |k3 | = ²µ ω/c)òàêæå ñîñòàâëÿåò ðåøåíèå âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ (7.24), íî îíà íå îïèñûâàåò ïëîñêóþ âîëíó, â êîòîðîé, ïî îïðåäåëåíèþ, âñå êîìïîíåíòû ïîëåé çàâèñÿò ëèøü îò îäíîéïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòû.