1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (В.И. Яковлев - Электромагнитные волны часть 2 2009), страница 2

Ãàëåâà çà ïîìîùü â ñîçäàíèè èëëþñòðàöèé.www.phys.nsu.ruÃëàâà 7ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÅÂÎËÍÛÄî ñèõ ïîð (â ÷. 1 ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ) ìû îãðàíè÷èâàëèñü ðàññìîòðåíèåì ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ëèáî ñòàöèîíàðíûõ, ëèáîêâàçèñòàöèîíàðíûõ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà áåç òîêîâ ñìåùåíèÿ. Òàêèå ïîëÿ âñåãäà ñâÿçàíû ñ ñîçäàþùèìè èõ èñòî÷íèêàìè â âèäå çàðÿäîâ è òîêîâ è â îòñóòñòâèå èñòî÷íèêà íå ñóùåñòâóþò.Òåïåðü ìû ïåðåõîäèì ê èçó÷åíèþ ïîëåé, äëÿ êîòîðûõ òîêè ñìåùåíèÿïðèîáðåòàþò îïðåäåëÿþùåå çíà÷åíèå.

 ÷àñòíîñòè, ïðè íàëè÷èè òîêîâñìåùåíèÿ ïîëÿ ìîãóò ñóùåñòâîâàòü è â îòñóòñòâèå òîêîâ è çàðÿäîâ. Ýòî ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû.  äàííîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì òàê íàçûâàåìûå ïëîñêèå âîëíû è òå ôèçè÷åñêèå âîïðîñû, êîòîðûå ðàçðåøàþòñÿñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîé èäåàëèçèðîâàííîé ìîäåëè.7.1. Ñâîáîäíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå.Âîëíîâîå óðàâíåíèåÅùå Ìàêñâåëë îáðàòèë âíèìàíèå, ÷òî ïîëó÷åííàÿ èì ñèñòåìà óðàâíåíèé äîïóñêàåò ñóùåñòâîâàíèå ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, íåñâÿçàííîãî íè ñ êàêèìè òîêàìè èëè çàðÿäàìè.

Òîêè è çàðÿäû ìîãóòïîðîæäàòü ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, êîòîðîå ñêîëü óãîäíî äàëåêî ìîæåòîòîðâàòüñÿ îò ïîðîäèâøèõ ýòî ïîëå èñòî÷íèêîâ è ñóùåñòâîâàòü â âèäåwww.phys.nsu.ru7.1. Ñâîáîäíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå9ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Ýòè ïîëÿ îïèñûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà (áåç çàðÿäîâ è òîêîâ), êîòîðûå äëÿ âàêóóìà èìåþòâèärotE = −1 ∂Bc ∂t(1),divB = 0(2),(7.1)1 ∂E(3), divE = 0 (4).c ∂tÝòà çàìêíóòàÿ ñèñòåìà ïîëó÷åíà èç óðàâíåíèé (6.16) èñêëþ÷åíèåì ρ, j,çàìåíîé D è H íà E, B, ÷òî äëÿ âàêóóìà ñïðàâåäëèâî èç-çà ² = 1, µ = 1.Òàê êàê â ïîñëåäóþùåì íàì ïðèäåòñÿ ðàññìàòðèâàòü ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû è â ìàòåðèàëüíûõ ñðåäàõ (íåïðîâîäÿùèõ), íà÷íåì ñ óðàâíåíèé, ñïðàâåäëèâûõ â îáùåì ñëó÷àårotB =rotE = −1 ∂B,c ∂t1 ∂DrotH =,c ∂tdivB = 0,(7.2)divD = 0.Íî ýòè óðàâíåíèÿ íåçàìêíóòû.

 ñëó÷àå ñòàòè÷åñêèõ ïîëåé îíè çàìûêàëèñü ìàòåðèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè D = ²E, B = µH. Õîòÿ â ïðîèçâîëüíî ìåíÿþùèõñÿ ñî âðåìåíåì è â ïðîñòðàíñòâå ïîëÿõ ýòè ñîîòíîøåíèÿíåñïðàâåäëèâû, äëÿ âîïðîñîâ, îáñóæäàþùèõñÿ â êíèãå, èìè ìîæíî ñâîáîäíî ïîëüçîâàòüñÿ, âíîñÿ íåïðèíöèïèàëüíûå óòî÷íåíèÿ, ó÷èòûâàþùèåòàê íàçûâàåìóþ ÷àñòîòíóþ äèñïåðñèþ.Òàêèì îáðàçîì, îäíîðîäíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ íåïðîâîäÿùåé ñðåäû, õàðàêòåðèçóþùåéñÿ ïðîíèöàåìîñòÿìè ² = const, µ = const, ìû ïðåäñòàâèì â âèäårotE = −rotH =µ ∂Hc ∂t² ∂Ec ∂t(1),divH = 0(2),(3),divE = 0(4).(7.3)Íà÷íåì ñ òîãî, ÷òî, èñêëþ÷èâ èç ýòîé ñèñòåìû îäíó èç ïåðåìåííûõ(E èëè H), äëÿ âòîðîé ïîëó÷èì óðàâíåíèå, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ âîëíîâûì óðàâíåíèåì.

Íàïðèìåð, ïîäåéñòâóåì îïåðàòîðîì rot íà ïåðâîå èçóðàâíåíèé (7.3) è â ïðàâóþ ÷àñòü ïîëó÷èâøåãîñÿ ðàâåíñòâà ïîäñòàâèìóðàâíåíèå (3):µ ∂²µ ∂ 2 ErotrotE = −rotH = − 2 2 ;c ∂tc ∂twww.phys.nsu.ru10Ãëàâà 7. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûâîñïîëüçîâàâøèñü òåïåðü èíâàðèàíòíûì îïðåäåëåíèåì ëàïëàñèàíà âåêòîðíîãî ïîëÿ ∆E = graddivE − rotrotE è óñëîâèåì divE = 0, ïîëó÷èì∆E =²µ ∂ 2 E.c2 ∂t2(7.4)Ýòî è åñòü âîëíîâîå óðàâíåíèå äëÿ ïîëÿ E. Çäåñü íåîáõîäèìî îáðàòèòüâíèìàíèå íà ñëåäóþùåå: õîòÿ ïðè âûâîäå âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ èñïîëüçîâàëîñü óñëîâèå divE = 0, îòñþäà âîâñå íå ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.4) óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó äîïîëíèòåëüíîìó òðåáîâàíèþ.Ïîýòîìó âåêòîðíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ìû âåçäå áóäåì ñîïðîâîæäàòüíåîáõîäèìûì óñëîâèåì è çàïèñûâàòü â âèäå ïàðû∆E =²µ ∂ 2 E,c2 ∂t2divE = 0.(7.5)Àíàëîãè÷íûå äåéñòâèÿ ìîæíî ïîâòîðèòü è ïîëó÷èòü òî÷íî òàêèå æåóðàâíåíèÿ äëÿ ïîëÿ H∆H =²µ ∂ 2 H,c2 ∂t2divH = 0;(7.6)ñëåäóåò òîëüêî ïðè ýòîì ïîìíèòü, ÷òî åñëè îäíî èç ïîëåé ïîëó÷àåòñÿñ èñïîëüçîâàíèåì âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ, òî äðóãîå äîëæíî îïðåäåëÿòüñÿ èç ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà Ìàêñâåëëà.

Èíûìèñëîâàìè, ïðîèçâîëüíûå íåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé (7.5),(7.6) íå óäîâëåòâîðÿþò ïåðâîíà÷àëüíûì óðàâíåíèÿì (7.1), (7.3).7.2. Ïëîñêèå âîëíû. Îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿÐàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ÷àñòíûé ñëó÷àé ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí(òàê íàçûâàåìûå ïëîñêèå âîëíû), â êîòîðîì ïîëÿ çàâèñÿò ëèøü îò îäíîéïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòû (íàïðèìåð, z) è âðåìåíè:E = E(z, t),H = H(z, t).(7.7)1. Ïîêàæåì, ÷òî â âîëíå (7.7) ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ íåèìåþò z -êîìïîíåíò è, êðîìå òîãî, íàïðàâëåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíûñâÿçàíî ñ îñüþ z. Ýòè äâà óòâåðæäåíèÿ ñîñòàâëÿþò îäíî èç îñíîâíûõñâîéñòâ ðàññìàòðèâàåìîé âîëíû ïîïåðå÷íîñòü ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû.www.phys.nsu.ru7.2.

Ïëîñêèå âîëíû. Îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ11Ïåðâîå óòâåðæäåíèå äîêàæåì íà ïðèìåðå ïîëÿ E, çàìåòèâ, ÷òî z -êîìïî íåíòà óðàâíåíèÿ (3) è ñêàëÿðíîå óðàâíåíèå (4) ñèñòåìû (7.3)∂Hy∂Hx² ∂Ez−=,∂x∂yc ∂t∂Ex∂Ey∂Ez++=0∂x∂y∂zâ ñëó÷àå (7.7) ñâîäÿòñÿ ê ñîîòíîøåíèÿì ∂Ez /∂t = 0, ∂Ez /∂z = 0, ò. å. êóñëîâèþ Ez = E0 = Const. Íî òàêîå íåèçìåííîå âî âðåìåíè îäíîðîäíîåïîëå îòíîøåíèÿ ê âîëíå íå èìååò.

Ñëåäîâàòåëüíî, â âîëíå ìîæíî ïîëîæèòü Ez = 0. Àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò äëÿ ïîëÿ H ïîëó÷àåòñÿ èç ðàññìîòðåíèÿ óðàâíåíèé (1), (2) ñèñòåìû (7.3). Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìàòðèâàåìîé ïëîñêîé âîëíå (7.7) ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ èìåþòòîëüêî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ê âûäåëåííîìó íàïðàâëåíèþ z êîìïîíåíòû,ò. å.E = E⊥ (z, t), H = H⊥ (z, t), Ez = 0, Hz = 0.(7.8)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ çàìåòèì, ÷òî êàæäàÿ èç íåíóëåâûõ êîìïîíåíò ïîëåé (7.8), êàê ñëåäóåò èç óðàâíåíèé (7.5), (7.6), óäîâëåòâîðÿåò îäíîìåðíîìó ñêàëÿðíîìó âîëíîâîìó óðàâíåíèþ∂2f²µ ∂ 2 f= 2 2.2∂zc ∂t(7.9)Îáùåå ðåøåíèå (7.9), êàê ëåãêî óáåäèòüñÿ, ñêëàäûâàåòñÿ èç äâóõ íåçàâèñèìûõ ïðîèçâîëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé, ïåðåìåùàþùèõñÿ âäîëü è ïðîòèâîñè z áåç èçìåíåíèÿ ôîðìû ñî ñêîðîñòüþcu= √ .(7.10)²µÒî åñòü îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.9) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñóììîé(7.11)f = f1 (z − ut) + f2 (z + ut),ãäå f1 (ξ1 ), f2 (ξ2 ) ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè îò ñâîèõ àðãóìåíòîâ ξ1 =z −ut, ξ2 = z +ut.  ýòîì óáåæäàþò çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âòîðûõïðîèçâîäíûõ∂ 2 fid 2 fi=,∂z 2dξ 22∂ 2 fi2 d fi=(±u)∂t2dξ 2(i = 1, 2)äëÿ êàæäîãî èç ñëàãàåìûõ ðåøåíèÿ (7.11).

Îòñþäà ïîíÿòíî, ÷òî âûäåëåííàÿ â (7.7) êîîðäèíàòà z äåéñòâèòåëüíî ñâÿçàíà ñ íàïðàâëåíèÿìè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ âîëí. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòíîøåíèÿ (7.8) îçíà÷àþò, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ E, H â ïëîñêîéwww.phys.nsu.ru12Ãëàâà 7. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûâîëíå ïåðïåíäèêóëÿðíû ê íàïðàâëåíèþ åå ðàñïðîñòðàíåíèÿ, ò. å. ïëîñêàÿ âîëíà ÿâëÿåòñÿ ïîïåðå÷íîé.2.

Ñâÿçü ìåæäó ïîëÿìè E è H â âîëíå. Ðàññìîòðèì îäíó èçýòèõ âîëí, íàïðèìåð, áåãóùóþ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè z. Âòàêîé âîëíå âñå âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè òîëüêî îò ξ = z − ut :E = E(ξ),H = H(ξ)(7.12)(èíäåêñû ⊥, îòìå÷àþùèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü, çäåñü îïóñêàåì, ÷òîáûíå çàãðîìîæäàòü ïîñëåäóþùèå ôîðìóëû íåîáÿçàòåëüíûìè äåòàëÿìè).Åñëè E(ξ), ê ïðèìåðó, ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, òî H(ξ) óæå íå ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ïðîèçâîëüíîé; îíà îïðåäåëÿåòñÿ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû(7.3). Ïîäñòàâèâ ñþäà çíà÷åíèÿrotE(ξ) = [gradξ ×dEdEd] = [ez ×]=[ez × E(ξ)],dξdξdξ∂H(ξ)dH(ξ) ∂ξdH== −u,∂tdξ ∂tdξñëåäóþùèå èç âûðàæåíèé (7.12), ïîëó÷èìdµ dH[ez × E] = u.dξc dξÎòñþäà ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ, ïîäñòàíîâêè çíà÷åíèÿ u èç îïðåäåëåíèÿ(7.10) è çàìåíû ez íà åäèíè÷íûé âåêòîð n ïî íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû ïðèõîäèì ê èñêîìîìó ðåçóëüòàòór²H=[n × E].(7.13)µÂèäíî, ÷òî ïî âåëè÷èíå âåêòîðû E, H â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà èâ êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì²E 2 = µH 2 ,(7.14)ñîãëàñíî êîòîðîìó ïëîòíîñòè ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ìåæäó ñîáîé ðàâíû, òàê ÷òî ñóììàðíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â âîëíåw=11²E 2 =µH 2 .4π4π(7.15)www.phys.nsu.ru7.3.

Ïðèìåð ïëîñêîé âîëíû13x En--HO-SzyÐèñ. 7.1Èç ñîîòíîøåíèÿ (7.13) âèäíî, ÷òî ïîëÿ E è H â ïëîñêîé âîëíå íåòîëüêî ïåðïåíäèêóëÿðíû ê íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ, íî îíè åùåïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã ê äðóãó ( ðèñ. 7.1). Ïðè÷åì â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà îíè ðàñïîëîæåíû òàê, ÷òî íàïðàâëåíèå âåêòîðà Ïîéíòèíãàrrcc² 2cµ 2S=[E × H] =E n=H n(7.16)4π4π µ4π ²ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîòíîøåíèÿ (7.15) äëÿ ïëîòíîñòè ýíåðãèè ïðåäûäóùåå âûðàæåíèåìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåcS = √ wn,²µ(7.17)ò.

å. ýíåðãèÿ ïåðåíîñèòñÿ ñî ñêîðîñòüþ (7.10) ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû,êîòîðàÿ â ñëó÷àå âàêóóìà ðàâíà c.  ýòîé ñâÿçè çäåñü óìåñòíî íàïîìíèòü, ÷òî êîíñòàíòà c, âõîäÿùàÿ â óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, äî ñèõïîð ðàññìàòðèâàëàñü êàê ýëåêòðîäèíàìè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ. Òåïåðü ìûóáåæäàåìñÿ, ÷òî ýòà êîíñòàíòà íà ñàìîì äåëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôóíäàìåíòàëüíóþ ôèçè÷åñêóþ âåëè÷èíó ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí (ñêîðîñòü ñâåòà) â ïóñòîòå.7.3. Ïðèìåð ïëîñêîé âîëíûÏðîäåìîíñòðèðóåì ïîðîæäåíèå ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ïðîñòåéøåé ñòðóêòóðû èñòî÷íèêîì â âèäå ñòîðîííåãî ïîâåðõíîñòíîãî òîêà,äåéñòâóþùåãî â òå÷åíèå êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè.www.phys.nsu.ru14Ãëàâà 7. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûÏóñòü çàðÿæåííàÿ ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ σ = const íåïðîâîäÿùàÿ ïëåíêà, ðàñïîëîæåííàÿ â ïëîñêîñòè z = 0, â òå÷åíèå ïðîìåæóòêàâðåìåíè 0 ≤ t ≤ t0 ñîâåðøàåò äâèæåíèå â ñâîåé ïëîñêîñòè ñ ïîñòîÿííîéñêîðîñòüþ v ¿ c ïî íàïðàâëåíèþ îñè y.