1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (В.И. Яковлев - Электромагнитные волны часть 2 2009), страница 10

Òàêèì îáðàçîì, äëèííûéöóã ñèíóñîèäàëüíûõ âîëí ÿâëÿåòñÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíîé èòîëüêî ïðè N → ∞ (ò. å. τ → ∞) ïðåâðàùàåòñÿ â ìîíîõðîìàòè÷åñêóþâîëíó; ïðè ýòîì ñïëîøíîé ñïåêòð ïåðåõîäèò â ëèíåé÷àòûé√E(ω) → (i/2) 2πE0 [δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )],www.phys.nsu.ru62Ãëàâà 8. Ôóðüå-ðàçëîæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿñîîòâåòñòâóþùèé ôóíêöèè E0 sin ω0 t.Ïðèìåð 3. Ñïåêòð ïîëÿ ðàäèàöèîííî çàòóõàþùåãî îñöèëëÿòîðà. Êëàññè÷åñêîå îïèñàíèå èçëó÷åíèÿ âîçáóæäåííîãî àòîìà, îñíîâàííîå íà ìîäåëè çàòóõàþùåãî îñöèëëÿòîðà, ïðèâîäèò (ñì. Ÿ 13.5.) ê ïîëþèçëó÷åíèÿ E0 e−γt cos ω0 t ïðè t > 0,E(t) =0ïðè t < 0,ãäå ïàðàìåòð çàòóõàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì γ = e2 ω02 /(3mc3 ),ïðè÷åì, êàê ïîêàçàíî íèæå, γ ¿ ω0 .

Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòüE0E(ω) = √2 2πZ∞e−γt (e−iω0 t + eiω0 t )eiωt dt =0·¸E011+= √2 2π γ − i(ω − ω0 ) γ − i(ω + ω0 )ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó äâóõ ñëàãàåìûõ òèïà f (ω − ω0 ) + f (ω + ω0 ),ìîäóëè êîòîðûõ ñîñðåäîòî÷åíû ñîîòâåòñòâåííî âáëèçè çíà÷åíèé ω == ω0 è ω = −ω0 . Ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð | E(ω) |2 , èìåþùèé ñìûñë íàïîëîæèòåëüíîé îñè ω, ïðè γ ¿ ω0 îïðåäåëÿåòñÿ ïðàêòè÷åñêè ïåðâûìñëàãàåìûì è èìååò âèä| E(ω) |2 =E021E2τ 21= 0.228π γ + (ω − ω0 )8π 1 + (ω − ω0 )2 τ 2(8.18)(Çäåñü τ = 1/γ îïðåäåëÿåò âðåìÿ æèçíè âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ àòîìà.) Îïèñûâàåìàÿ ýòèì âûðàæåíèåì ôîðìà ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ ëîðåíöåâñêèì êîíòóðîì è ñõåìàòè÷åñêè ïðèâåäåíàíà ðèñ. 8.9(b) ðÿäîì ñ èçîáðàæåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè E(t)(ðèñ.

8.9(a)). Ëèíèÿ èçëó÷åíèÿ èìååò ðåçêèé ìàêñèìóì ïðè ω = ω0 ,ò. å. íà ÷àñòîòå ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé â îòñóòñòâèå çàòóõàíèÿ. Óøèðåíèå ñïåêòðà èçëó÷àåìûõ ÷àñòîò îáóñëîâëåíî ðàäèàöèîííûì çàòóõàíèåìñâîáîäíûõ êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà. Èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ, êàê âèäíî èç âûðàæåíèÿ (8.18), óìåíüøàåòñÿ âäâîå äëÿ ÷àñòîò, îòëè÷àþùèõñÿîò ω0 íà γ = 1/τ. Îòñþäà äëÿ øèðèíû ëèíèè íà ïîëîâèíå âûñîòû (òàêíàçûâàåìàÿ ïîëóøèðèíà ëèíèè) ïîëó÷àåòñÿ çíà÷åíèå∆ω = 2γ = 2/τ,www.phys.nsu.ru8.3. Ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòè63ïîäòâåðæäàþùåå îáðàòíóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó ïðîäîëæèòåëüíîñòüþêîëåáàíèé è øèðèíîé ñïåêòðà èçëó÷àåìûõ ÷àñòîò1 .|E(ω)|2E(t)E0max(1/2)maxE0 e-γtt0∆ω=2γ0ω-ω0(b)(a)Ðèñ.

8.9Ðàññìàòðèâàåìûé ïðèìåð ïîçâîëÿåò îöåíèòü îáóñëîâëåííóþ ðàäèàöèîííûì çàòóõàíèåì åñòåñòâåííóþ øèðèíó ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ ñâîáîäíûõ àòîìîâ. Äëÿ îïòè÷åñêîãî ýëåêòðîíà íà ÷àñòîòå ω0 =4 · 1015 c−1 , ñîîòâåòñòâóþùåé äëèíå âîëíû λ = 0,5 · 10−4 ñì, èìååì τ =3mc3 /(e2 ω02 ) ≈ 2 · 10−8 ñ (ñì. ðåçóëüòàò (13.34)). Ñëåäîâàòåëüíî, åñòåñòâåííàÿ øèðèíà ëèíèè ∆ω èìååò ïðèáëèçèòåëüíîå çíà÷åíèå 108 c−1 , àîòíîøåíèå ∆ω/ω0 õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîðÿäêîì âåëè÷èíû 10−7 .Òàê êàê ∆ω = 2γ ¿ ω0 , ðàññìàòðèâàåìîå èçëó÷åíèå âîçáóæäåííîãîàòîìà òàêæå ÿâëÿåòñÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèì, ïðåäñòàâëÿþùèì ñîáîé öóã ñèíóñîèäàëüíûõ âîëí ñ ìåäëåííî ñïàäàþùåé àìïëèòóäîé.

Îòìåòèì äëÿ ïîñëåäóþùåãî, ÷òî õàîòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäîáíûõ öóãîâ âîëí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîäåëü êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãîèçëó÷åíèÿ, ïðèãîäíóþ äëÿ îáúÿñíåíèÿ õàðàêòåðíûõ îñîáåííîñòåé ÿâëåíèÿ èíòåðôåðåíöèè ñâåòà. ×òî ïðè ýòîì âàæíî, îêàçûâàåòñÿ, äëÿ õàîòè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè öóãîâ âîëí, ñóùåñòâóþùåé ñêîëü óãîäíîäëèòåëüíîå âðåìÿ, øèðèíà ñïåêòðà ñîâïàäàåò ñ øèðèíîé ñïåêòðà îòäåëüíîãî öóãà.

Ýòîò âîïðîñ îáñóæäàåòñÿ â êîíöå Ÿ 11.4..2Ïðèìåð 4. Ñïåêòð ïîëÿ ãàóññîâîé êîíôèãóðàöèè E(x) = E0 e−αxÔóðüå-îáðàç äàííîé ôóíêöèè, êàê ôóíêöèè îò ïðîñòðàíñòâåííîé ïå1 Ïðè ñðàâíåíèè ýòîé ôîðìóëû ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ðåçóëüòàòîì äëÿ ñèíóñîèäàëüíîãî öóãà âîëí ñëåäóåò íå çàáûâàòü, ÷òî äëÿ ïîñëåäíåãî â êà÷åñòâå ∆ω âìåñòî ïîëóøèðèíû ôèãóðèðîâàëà øèðèíà ãëàâíîãî ìàêñèìóìà ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà.www.phys.nsu.ru64Ãëàâà 8. Ôóðüå-ðàçëîæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿðåìåííîé x, îïðåäåëÿåòñÿ èíòåãðàëîìZ ∞2E0E(k) = √e−αx e−ikx dx,2π −∞ñëåäóþùèì èç ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ (8.2). Äëÿ åãî âû÷èñëåíèÿ ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû ñ âûäåëåíèåì ïîëíîãî êâàäðàòà ïðåäñòàâèì â âèäå−(αx2 + ikx) = −α(x + ik/2α)2 − k 2 /4αè ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë âûðàçèì ÷åðåç èíòåãðàëZ2e−α z dzCâ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè z ïî êîíòóðó C, ïîêàçàííîìó íà ðèñ.

8.10, ò. å.Z ∞Z222e−(αx +ikx) dx = e−k /4αe−α z dz.−∞Cy-k2αCx0Ðèñ. 8.102Ôóíêöèÿ e−α z , àíàëèòè÷åñêàÿ â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè z, â ïðåäåëàõïîëîñû 0 ≤ y ≤ k/2α ýêñïîíåíöèàëüíî ñïàäàåò ïðè | x |→ ∞, è ïîýòîìóíà îñíîâå òåîðåìû Êîøè èíòåãðàë ïî êîíòóðó pC ðàâåí èíòåãðàëó ïîâåùåñòâåííîé îñè (èíòåãðàë Ïóàññîíà), ðàâíîìó π/α. Ñëåäîâàòåëüíî,E0E(k) = √2πrπ −k2 /4αe.αÎòñþäà âèäíî, ÷òî äëÿ ãàóññîâîé êðèâîé E(x) ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòüE(k) èìååò òîò æå õàðàêòåð (ðèñ. 8.11). Ïðè÷åì, åñëè ïðîñòðàíñòâåí√íàÿ ïðîòÿæåííîñòü ñèãíàëà õàðàêòåðèçóåòñÿ ðàçìåðîì ∆x = 1/ α, òîwww.phys.nsu.ru8.3. Ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòè√øèðèíà ñïåêòðà ∆k = 4α = 2/∆x.

Òî åñòüåñëè E(x) = E0 e−0∆x12k∆xx 2A−@E0 ∆x2∆x , òî E(k) = √ e.2E(k)E(x)065x0 ∆k=2/∆xkÐèñ. 8.11Âèäèì, ÷òî ïðîòÿæåííîñòü ñèãíàëà è øèðèíà ñïåêòðà â ýòîì ñëó÷àåñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì∆x∆k = 2.Îïÿòü-òàêè, ÷åì áîëüøå ïðîòÿæåííîñòü ñèãíàëà, òåì óæå åãî ñïåêòð, èíàîáîðîò.Ðàññìîòðåííûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äëèòåëüíîñòè ñèãíàëà ∆t íà øèðèíó ñïåêòðà ∆ω (èëè ïðîòÿæåííîñòè ñèãíàëà ∆xíà øèðèíó ñïåêòðà ïðîñòðàíñòâåííûõ ÷àñòîò ∆k ) â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå åñòü êîíñòàíòà ïîðÿäêà π, òî÷íîå çíà÷åíèå êîòîðîé çàâèñèòîò ôîðìû ñèãíàëà è ñïîñîáà îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí ∆t è ∆ω.

Ýòè ñîîòíîøåíèÿ∆ω∆t ∼ π,∆k∆x ∼ π(8.19)è íàçûâàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè íåîïðåäåëåííîñòåé. Ôàêòè÷åñêè ïåðâîåèç ýòèõ ñîîòíîøåíèé áûëî èñïîëüçîâàíî âûøå äëÿ îïðåäåëåíèÿ åñòåñòâåííîé øèðèíû ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ ñâîáîäíûõ àòîìîâ.www.phys.nsu.ru66Ãëàâà 8. Ôóðüå-ðàçëîæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ8.4. Î ôèçè÷åñêîì ñîäåðæàíèè ñîîòíîøåíèÿíåîïðåäåëåííîñòè1. Äî ñèõ ïîð î ïðåîáðàçîâàíèè Ôóðüå ìû ãîâîðèëè êàê î ÷èñòîìàòåìàòè÷åñêîì ïðåîáðàçîâàíèè. Ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå øèðèíóñïåêòðà è ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïðîöåññà, ìû êà÷åñòâåííî óñòàíîâèëè èçðàññìîòðåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ îïûòîâ. Íî íàì âàæíî ôèçè÷åñêè ïîíÿòü åñòåñòâåííîñòü è íåèçáåæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ïîäîáíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó ∆t è ∆ω.

Äëÿ ýòîãî âñïîìíèì î ñóùåñòâîâàíèèôèçè÷åñêèõ ìåòîäîâ ôóðüå-àíàëèçà è îáðàòèìñÿ ê ïðîñòåéøåìó îñöèëëÿòîðó áåç çàòóõàíèÿ ñ óðàâíåíèåì äâèæåíèÿẍ + ω 2 x =1f (t)mêàê ê ïðèáîðó, ñïîñîáíîìó îïðåäåëèòü çíà÷åíèå ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ôóíêöèè f (t) (ñèëû, äåéñòâóþùåé íà îñöèëëÿòîð) íà ÷àñòîòå, ðàâíîé ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå îñöèëëÿòîðà.  ïîñëåäíåì ïóíêòå äàííîãî ïàðàãðàôà ìû ñïåöèàëüíî îñòàíîâèìñÿ íà èññëåäîâàíèè êîëåáàíèé ýòîãîîñöèëëÿòîðà è óâèäèì, ÷òî åñëè äî íà÷àëà äåéñòâèÿ èìïóëüñíîé ñèëûîñöèëëÿòîð íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ, òî ïîñëå çàâåðøåíèÿ ïðîöåññàâçàèìîäåéñòâèÿ ýíåðãèÿ, ïðèîáðåòåííàÿ îñöèëëÿòîðîì, ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ìîäóëÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ôóíêöèè f (t) íà ÷àñòîòåω, ò.

å. | f (ω) |2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ïîíÿòü ñóùíîñòü ïåðâîãî èç ñîîòíîøåíèé íåîïðåäåëåííîñòè (8.19) îçíà÷àåò îòâåòèòü íà âîïðîñ: îñöèëëÿòîðû ñ êàêèìè ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè ðåçóëüòàòèâíî âçàèìîäåéñòâóþòñ äàííîé èìïóëüñíîé ñèëîé f (t) ïðîäîëæèòåëüíîñòè ∆t, à äëÿ êàêèõïðîáíûõ îñöèëëÿòîðîâ ýòî âçàèìîäåéñòâèå íå ïðèâîäèò ê âîçáóæäåíèþçàìåòíûõ êîëåáàíèé. Äëÿ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ èìïóëüñíóþ ñèëó âîçüìåì â âèäå ìîäóëèðîâàííîãî êîëåáàíèÿf (t) = F (t) cos ω0 t(8.20)ñ íåñóùåé ÷àñòîòîé ω0 è ñ àìïëèòóäîé F (t), ìåäëåííî (ïî ñðàâíåíèþ ñïåðèîäîì 2π/ω0 ) ìåíÿþùåéñÿ ñî âðåìåíåì, êàê ñõåìàòè÷åñêè ïîêàçàíîíà ðèñ. 8.12.

Äëÿ íàãëÿäíîñòè ðàññóæäåíèé ïðèìåì, ÷òî F (t) îòëè÷íàîò íóëÿ òîëüêî íà èíòåðâàëå 0 < t < ∆t. Ðåçóëüòàòîì äåéñòâèÿ äàííîé èìïóëüñíîé ñèëû íà ïðîáíûé îñöèëëÿòîð ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîéwww.phys.nsu.ru8.4. Ôèçè÷åñêîå ñîäåðæàíèå ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè67ω ÿâëÿåòñÿ (ñì. ï.2) ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèåZx(t) = x̂0 e−iωt ,∆tx̂0 ∼F (t)ei(ω−ω0 )t dt.0f(8.21)F(t)t0t0 =∆tÐèñ. 8.12Ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ îñöèëëÿòîðà ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé ω0 2 âçàèìîäåéñòâèå íîñèò ðåçîíàíñíûé õàðàêòåð è àìïëèòóäà êîëåáàíèé ìàêñèìàëüR ∆tíà, ò. å. ïðè ∆ω = ω − ω0 = 0 x̂0 ∼ 0 F (t)dt.

Òåïåðü ðàññìîòðèìîñöèëëÿòîð ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé, ñëàáî îòëè÷àþùåéñÿ îò ω0 â òîìñìûñëå, ÷òî ñóììàðíûé íàáåã ôàçû ýêñïîíåíöèàëüíîãî ìíîæèòåëÿ ïîäèíòåãðàëîì (8.21), ðàâíûé | ω − ω0 | ∆t, ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ, ò. å.| ∆ω | ∆t ¿ 1. Ïðè ýòîì âëèÿíèå ýêñïîíåíòû exp[i(ω − ω0 )t] íà èíòåãðàë(8.21) åùå íåçíà÷èòåëüíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòîò îñöèëëÿòîð ïðèìåðíîòàê æå ðåàãèðóåò íà ðàññìàòðèâàåìóþ ñèëó, êàê è ðåçîíàíñíûé. ßñíî,÷òî òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàññòðîéêà ÷àñòîòû äëÿ ðåçîíàòîðà äîñòèãàåòâåëè÷èíû | ∆ω |= 2π/∆t, ýêñïîíåíöèàëüíûé ìíîæèòåëü, ñîâåðøèâ çàâðåìÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëíûé îáîðîò â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, ñóùåñòâåííî îñëàáèò âåëè÷èíó èíòåãðàëà, à ïðè ∆ω∆t À π âîâñå ñâåäåò åãîê íóëþ.Òàêèì îáðàçîì, îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: îñöèëëÿòîðû, ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ â ïðåäåëàõ| ω − ω0 |≤ π/∆t,(8.22)ðåàãèðóþò íà èìïóëüñíóþ ñèëó (8.20) ïðîäîëæèòåëüíîñòè ∆t, à ïðè ÷àñòîòàõ, âûõîäÿùèõ çà ýòè ïðåäåëû, ðåçóëüòàòîì âçàèìîäåéñòâèÿ ìîæíî2 Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ñîçíàòåëüíî äîïóñêàåòñÿ íåòî÷íîñòü, èãíîðèðóÿ, ÷òî ðåçîíàíñíîé ÿâëÿåòñÿ íå ÷àñòîòà ω0 , à ω0 +δω, ãäå δω ÷àñòîòà, ïðè êîòîðîé | F (ω = δω) | ìàêñèìàëüíà.