1612044689-47e2b45b7b68a193b64e1250fae420ad (Лекции)

nЧто такое площадь? Что такое мера? ℝРассмотрим параллелепипед (n-мерный прямоугольник, т. е. декартово произведениепромежутков). Промежуток: (a,b), [a,b), (a,b], [a,b]. Обозначать будем <a,b>Пусть имеем x 1...x n . И на каждой оси имеем ⟨ ak ,b k ⟩, k=1...n. Тогда P=⟨a 1,b 1 ⟩×...×⟨a n,b n ⟩, т. е.n{x∈ℝ ∣xn∈⟨a k,bk ⟩, k=1...n}.nМера: m(P)=∏ ( b k−a k ) {произведение длин его сторон}. Доказать дома: аддитивность.k=1Элементарные мн-ва — конечное объединение попарно непересекающихся множеств.Любая прямая или точка, пустое мн-во — тоже прямоугольник.kА(элемент.мн−во)=U j=1 P j, P j−прямоугольник.Pi∩P j=∅ при i≠j.Теорема. ε — класс элементарных множеств. Тогда A∩B, A∪B, A∖B, A ΔB∈ε, где A ΔB==( A ∖B)∪(B∖ A)=(A∪B)∖( A∩B)km1) A=U j=1 P j, B=U i=1 Q i.

Из первого курса известно, что A∩B=Ui ,j(P j∩Q i).Замечание. A∈ε, P⊃A. Тогда P∖A∈ε. Доказательство: а) Возьмем 2 прямоугольника: P⊃Q.Доказать самим, что P∖Q∈ε. б) A=U kj=1P j. P∖ A=P∖Ukj=1 P j={закон двойственности}=k=∩j=1( P∖P j−элем. мн−во по пункту а)∈ε. Пересечение элем. мн-в. — элем. по 1).2) Сведем к пересечению в силу закона двойственности. A , B. P⊃A , P⊃B.P∖( A∪B)={закондвойственности}=( P∖A )∩( P∖B). Тогда A∪B=P∖[(P∖A )∩(P∖B)].3) A ∖B=A∩(P∖B)∈ε.

4) Очевидно, т. к. уже доказано. ■ε замкнут относительно теоретико-множественных операций, это кольцо.Что такое мера элемент. множества? Сумма мер непересекающихся прямоугольников,kсоставляющих это мн-во. A=U kj=1P j , P j∩P i=∅. m( A)=∑ m(P j ). Почему это определениеj=1корректно? Ведь разрезать на прямоугольники можно разными способами.Корректность: предположим, что существует 2 A=U kj=1P j , A=U mi=1Q i. Нужно доказать, чтоkmki=1j=1kkj=1mj=1m∑ m( P j )=∑ m(Qi ).∑ m(P j )=∑ m( P j∩A )=∑ m( P j∩U mi=1Q i )={дистрибутивность}=j=1k=∑ m(Uj=1mmi=1kk)=∑ ∑ m(P j∩Q i )=∑ ∑ m(P j∩Q i )={рассуждаем обратно}=(⏟P j∩Q i )СНОВА ПРЯМОУГmj=1 i=1i=1 j=1mmi=1i=1=∑ m(U kj=1(P j∩Q i ))=∑ m( ⏟U kj=1P j∩Q i )=∑ m( A∩Q i )=∑ m( Q i ). ■i=1i=1A{Почему пересечение прямоугольников — прямоугольник? Аддитивность?}Свойства мер.

A,B∈ε, т. е. Элементарные множества.Аддитивность. A∩B=∅. Тогда m( A∪B)=m( A )+m(B).kmA=U j=1P j , B=U i=1Q i. A∪B=(∪P j)∪(∪Q i ); m( A∪B)=∑ m(P j )+∑ m(Q i )=m(A )+m( B). ■jiСубтрактивность. Если B⊂A,то m( A∖B)=m( A)−m(B).A=B∪( A∖B)⇒m(A )=m(B)+m(A ∖B). ■Монотонность. Если B⊂A,то m( B)≤m( A). (1)⇒m(B)≤m( A) ■m(A∪B)=m(A )+m(B)−m( A∩B). //A и B могут пересекаться.A∪B=A(B∖A )=A∪( B∖( A∩B))⇒m(A∪B)=m(A )+( m(B)−m(A∩B)). ■Полуаддитивность. m(A∪B)≤m(A)+m(B) . m(A )≤m(A∪B)≤m(A )+m(B). ■∞Счетная полуаддитивность.

A∈ε, A i∈ε ∀i=1,2...; A⊂∪i=1 Ai⇒m(A)≤∑ m( Ai ).∞i=1∞{A i∈ε, но (∪i=1A i )∉ε: например, A i−прямоугольники, а ∪A i−круг. Т.е. проблема док-ва втом, что объединение счетного числа элементарных множеств не обязательно элементарноемножество: объединение всех прямоугольников с вершинами внутри круга в рациональныхточках есть круг — не элем. мн-во, причем их кол-во счетно в силу счетности рац. чисел}Доказательство.

Для произвольного ε>0 оценим меру: найдем A ': A'⊂A, A'∈ε, A'−замк. иkm(A)≥m(A ')≥m( A )−ε. Оно существует, т. к. A=∪j=1P j , ∃P' j⊂P j : P' j=P̄' j; причем1m(P j )≥m(P' j )≥m( P j )− ε . Просуммируем. Имеем:kkkm(A )≥m(∪j=1P' j )≥m(A )−ε ⇒ A ':=∪ j=1P' j , A'=Ā', A'⊂A . Теперь окружим A i открытыммножеством А '' i : A i⊂A '' i=Å'' i∈ε, m(A '' i )≤m(A i )+ εi . Делаем это аналогично поиску А'. В2∞∞итоге имеем: A '⊂ A⊂∪i=1 Ai⊂∪i=1A'' i— открытое покрытие А'. Тогда по т. Бореля можноkвыделить конечное подпокрытие A ': A''i 1...A'' ik , т.

е. A'⊂∪j=1 A''ij . Применим к этомувключению свойство конечной полуаддитивности:k∞∞∞m(A ')≤∑ m( A'' ij )≤∑ m(A'' i )≤∑ (m(A i )+ εi )=∑ m( Ai )+ε {в силу геометр. прогрессии};2 i=1j=1i=1i=1∞∞i=1i=1m(A ')≥m( A)−ε ⇒ m( A )−ε≤m( A')≤∑ m( Ai )+ε ⇒ m(A)≤∑ m( Ai )+2ε ∀ε>0,∞⇒ при ε→0 имеем m(A )≤∑ m(A i ). ■i=1∞Следствие. Счетная аддитивность. A i∈ε, Ai∩A j=∅, ∪i=1A i=A∈ε ⇒ m( A)=∑ m(A i ).∞i=1∞В силу счетной полуаддитивностиm(A )≤∑ m( A i ); ∪ A i⊂A ⇒ имеем: m( A)≤ {в силуki=1i=1k∑ m( A ); с другой стороны, перейдем к пределу примонотонности} ≤m(∪ki=1A i )=k→∞:ii=1∞∞∑ m(A i )≤m(A) ⇒ m(A)=∑ m( Ai ).

■i=1i=1Внешняя мера.Рассмотрим E={x∈ℝ ∣ 0≤x i≤1 }— единичный круг. ∀ A⊂E определим внешнюю меру:∗∞μ (A ). Рассмотрим счетное покрытие: A⊂∪i=1P i, − прямоуг;∞∗μ (A ):= inf∑ m(P ). Эта мера ∃ у любого множества и ∀ A 0≤μ ( A )≤1.∗i∪Pi⊃A i=1∗Свойство μ . A∈ε ⇒ m(A )=μ∗(A ).∞∑ m(P ), т. е. m(A) — нижняя∞Пусть A⊂∪i=1P i; по св-ву счетной полуаддитивности m(A )≤грань ⇒m(A )≤infii=1∞∑ m(P )=μ ( A ). С другой стороны , A=∪kj=1∗iQ j, Q i∩Q j=∅ (A∈ε) ⇒i=1kk∑≥ inf ∑ m(P )=μ ( A ) ⇒ m(A )=μ ( A ). ■∑ m(Q )≥m(Q j ), ∪kj=1Q j − одно из возможных покрытий ⇒ m(A )=m(A )=j=1∞∗∪Pi⊃A i=1∗iСвойством счетной аддитивности внешняя мера не обладает.∗∗∗Монотонность μ : A⊂B ⇒ μ (A)≤μ ( B).∞∞jj=1∗∑∪i=1P i⊃B⊃A ⇒ μ (A )≤∗m(P i ).

Перейдем к inf: μ (A )≤ inf∞∑ m( P )=μ (B). ■∗i∪Pi⊃B i=1i=1∞∑ μ∗(A i ).Счетная полуаддитивность μ∗: Ai⊂E, A⊂E, A⊂∪∞i=1 Ai ⇒ μ∗(A)≤i=1Возьмем произвольное ε>0 и рассмотрим такое покрытие∞A i⊂∪j=1P ij, что μ (A)≥∑ m(P ij )− εi. Рассмотрим{P ij }i, j=1 − это счетный набор прямоуг. иj=12∞∞∞ ∞∞∞∞∗∗∗∪i,j=1P ij⊃∪i=1 A i⊃A; тогда μ (A )≤∑ μ ( Ai )≤∑ m(P ij )=∑ ∑ m(P ij )≤∑ (μ ( A i )+ εi )=i=1i, j=1i=1 j=1i=12∞∗∞2∞∞∑ μ ( A )+ε{геом.

прогр.}. В силу произвольности ε при ε→0 имеем μ (A )≤∑ μ (A ). ■∗=∗∗ii=1i=1Мера Лебега.∗А — измеримо по Лебегу, если ∀ε>0 ∃Bε ∈ε: μ (AΔBε )<ε (А с любой точностью можноприблизить элементарным). m — множество всех измеримых множеств. ∀ A∈m его мера∗∗μ(A )=μ ( A ). A∈ε ⇒ μ( A )=m(A )=μ ( A ).Теорема о структуре m. Множество m замкнуто относительно теоретико-множественныхопераций, причем оно замкнуто относительно счетного объединения и пересечения.(Множества с таким свойством называются σ -алгеброй)I. Конечная замкнутость. Покажем , что m — кольцо.A 1, A 2∈ m ⇒ E∖A 1, A 1∪A2, A1∩A2, A1 ∖A2, A 1ΔA2∈m .E∖A.

Покажем, что (E∖A )Δ(E∖Bε )=A ΔBε . x∈( E∖ A)Δ(E∖Bε )⇔[x∈( E∖ A) и x∉(E∖Bε )]или [ x∉E∖A и x∈E∖Bε ] ⇔ [x∉A и x∈Bε ] или [x∈A и x∉Bε ] ⇔ x∈A ΔBε. Значит, вкачестве Bε для E∖A можно взять E∖Bε , т. е. ∀ε>0 ∃Bε∈ε (⇒ E∖Bε ∈ε ), т.ч.∗∗μ (( E∖ A)Δ(E∖Bε ))=μ (A ΔBε)<ε.∗∗A 1∪A2.

Т. к. A1, A2∈m , то ∀ε>0 ∃B1,B2∈ε т. ч.μ ( A1ΔB1 )< ε и μ (A2 ΔB2)< ε .22( A1∪A 2 )Δ( B1∪B2)⊂(A 1ΔB1)∪(A 2ΔB2) {⇐это нужно доказать в качестве упражнения}.{Заметим, что B1∪B2∈ε и вспомним, что внешняя мера обладает свойством монотонности,∗∗∗∗∗т. е. μ : A⊂B ⇒ μ (A)≤μ ( B), μ [( A1∪A2 )Δ( B1∪B2)]≤μ [( A1ΔB1 )∪( A2ΔB2 )]≤{и∗∞∗∞∑ μ∗(A i )}полуаддитивности, т. е. μ : A i⊂E, A⊂E, A⊂∪i=1 Ai ⇒ μ (A)≤i=1≤μ ( A 1ΔB1)+μ (A2 ΔB2 )< ε + ε =ε. Т.о. взяв в качестве Bε мн−во B1∪B2 , получим, что2 2A 1∪A2∈ m .A 1∩A2=E∖[(E∖A 1)∪(E∖A 2 )] в силу закона двойственности ⇒ измеримо в силу предыд.A 1∖A 2=A1∩(E∖A 2) ⇒ измеримо.A 1ΔA2=(A1 ∖A 2)∪(A 2 ∖A 1) ⇒ измеримо.∗∗С помощью мат.

индукции можно доказать, что m замкнуто относительно конечногообъединения и пересечения ⇒ m — кольцо. Далее будет доказано, чтоm − σ -алгебра. ■Лемма. Мера измеримых множеств аддитивна, т. е. ∀ A 1, A 2∈m , A1∩A 2=∅ выполняетсяμ(A1∪A2 )=μ(A 1)+μ( A2).∗∗∗Распишем меру аддитивных множеств по определению: μ (A1∪A2 )=μ ( A1)+μ ( A 2 ). Сначала∗∗∗докажем вспомогательный факт: |μ ( A)−μ (B)|≤μ (AΔB). Без ограничения общности∗∗предположим, что μ (A )≥μ (B). Тогда надо доказать, что μ∗(A )−μ∗(B)≤μ∗( AΔB). Заметим,что A⊂B∪( AΔB) { x∈A ⇒ x∈B или [ x∉B ⇒ x∈A ∖B ⇒ x∈AΔB]}. Тогда по свойству∗∗монотонности внешней меры μ (A )≤μ ( B∪( AΔB)) и по свойству полуаддитивности∗∗∗∗∗∗∗μ (A)≤μ ( B∪( AΔB))≤μ (B)+μ ( AΔB), т.

е. μ (A)−μ ( B)≤μ (A ΔB), что и требовалось.По определению измеримых множеств A 1 и A2 получим, что ∀ε>0 ∃B1, B2∈ε т. ч.∗∗μ (A1 ΔB1)<ε и μ ( A2ΔB2 )<ε. Заметим, что если A 1∩A2=∅, то м.б. так, что B1∩B2≠∅. Т.к.A 1∩A2=∅, то B1∩B2⊂(A 1ΔB1)∪(A 2ΔB2). Докажем этот факт: x∈B1∩B2 ⇒ x∈B1 и x∈B2;A 1∩A 2=∅ ⇒ x≠A 1∩A 2 ⇒ x≠A 1 или x≠A 2.

Если x≠A 1, то x∈B1∖A 1 ⇒ x∈(A 1 ΔB1 ),∗∗∗∗∗∗x≠A2 ⇒ x∈( A2ΔB2 ).чтд. Тогда |μ ( A1)−μ (B1)|≤μ (A 1ΔB1)<ε, |μ (A2 )−μ ( B2)|≤μ (A2 ΔB2 ). Из∗∗∗∗св-в внешней меры следует, что μ (B1∩B2 )≤μ [( A1ΔB1 )∪( A2ΔB2 )]≤μ ( A1ΔB1 )+μ (A 2ΔB2)<2ε.∗∗∗Для доказательства исходного утверждения, что μ (A1∪A2 )=μ ( A1)+μ ( A2 ), докажем, что∗∗∗∗∗∗∀ε>0|μ (A 1∪A 2 )−μ ( A 1 )−μ ( A2)|<c∗ε, c=const. Рассм. |μ ( A1∪A2 )−μ ( A1 )−μ ( A2)|= (∗)3{т.

к. B1,B2∈ε ⇒ μ ( B1∪B2)=m( B1∪B2)=m(B1 )+m(B2 )−m(B1∩B2 )=μ ( B1 )+μ (B2 )−μ ( B1∩B2)⇒∗∗∗∗⇒ μ ( B1∪B2)+μ ( B1∩B2)−μ (B1 )−μ (B2 )=0}∗∗∗∗∗∗∗(∗) =|μ ( A1∪A 2)−μ (A1 )−μ ( A2 )−μ (B1∪B2 )−μ ( B1∩B2)+μ ( B1)+μ ( B2 )|≤∗∗∗∗∗∗∗≤|μ ( A 1∪A 2 )−μ ( B1∪B2 )|+|μ ( A 1 )−μ ( B1)|+|μ ( B1∩B2)|+|μ ( A 2 )−μ (B2 )|<∗∗∗<|μ ( A 1∪A2 )−μ ( B1∪B2)|+4ε≤ {в силу вспомогательного факта} ≤μ [( A 1∪A 2 )Δ(B1∪B2 )]+4ε≤∗{по упр. о том, что ( A 1∪A 2 )Δ(B1∪B2 )⊂( A 1ΔB1 )∪( A 2ΔB2 )} ≤μ [( A 1 ΔB1 )∪( A 2 ΔB2 )]+4ε≤∗∗{в силу полуаддитивности меры} ≤4ε+μ ( A1ΔB1)+μ ( A2ΔB2 )< {по определению A 1 и A 2}∗∗∗<4ε+2ε=6ε. В силу произвольности ε: μ ( A 1∪A 2)−μ (A 1 )−μ ( A 2 )=0 ⇒∗∗∗⇒ μ ( A 1∪A 2)=μ ( A 1)+μ ( A 2 ). ■Из этой леммы следует, что мера Лебега имеет все те же свойства, что и мера обычная (μ —∗это μ по опр.), т. к.

все они опирались на аддитивность.∞II. Счетная замкнутость. ∪) Имеем {A i }i=1, A i ∈m . Надо доказать, что A=∪∞i=1A i ∈m .Рассмотрим вспомогат. последовательность, полученную из A i т.,ч. они были попарноj−1∞непересекающимися: A ' j=A j ∖∪i=1 A i ⇒ A ' j∩A'k=∅ при j≠k. Ясно, что ∪j=1A ' j=A .∗∗Заметим, что ∪kj=1 A' j⊂A. ∀ jA' j∈m ⇒ μ(∪kj=1A' j )=∗∗k∑ μ(A'j ). Распишем μ через μ :k∗j=1∞∞j=1j=1μ∗(∪kj=1 A' j )=∑ μ∗(A' j)≤ {μ∗≥0 } ≤∑ μ∗(A' j)=μ∗(A).