1612044667-0bab82c537debd90545f329194a9c9ca (В.Н. Старовойтов - Краткий курс)

Математический анализЛектор - профессор В. Н. Старовойтов4-й семестрГлава. Ряды Фурье. Преобразование Фурье.§ 1. Гильбертовы пространства.Определение. Банахово пространство называется гильбертовым, если в нём определенасимметричная билинейная форма (·, ·), называемая скалярным произведением, такая, что(u, u) = ∥u∥2 .•Пространство L2 (X) является∫гильбертовым. Скалярное произведение в нём определяетсяследующим образом: (u, v) = X u v dµ, где µ — мера Лебега.Пусть H — гильбертово пространство со скалярным произведением (·, ·) и нормой ∥ · ∥.Лемма. (Неравенство Коши — Буняковского) Для любых u, v ∈ H справедливо неравенство: |(u, v)| 6 ∥u∥ ∥v∥.•Элементы u и v гильбертова пространства H называются ортогональными, если (u, v) =0. Линейной оболочкой множества∑m M называется совокупность всех конечных линейныхкомбинаций элементов из M : i=1 ci ui , ci ∈ R, ui ∈ M . Семейство U элементов гильбертовапространства∑m H называется линейно независимым, если для любых u1 , .

. . , um ∈ U изравенства i=1 ci ui = 0 следует, что c1 = . . . = cm = 0.Определение. Набор элементов {uα } гильбертова пространства H называется полным вH, если замыкание линейной оболочки {uα } совпадает с H.•Определение. Полная линейно независимая система {uα } элементов пространства Hназывается базисом. Базис {uα } в гильбертовом пространстве H называется ортонормированным, если (uα , uβ ) = 0 при α ̸= β и ∥uα ∥ = 1 для всех α.•Утверждение.

В сепарабельном гильбертовом пространстве любая ортонормированнаясистема элементов может быть не более чем счетной.•Утверждение. В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует счетныйортонормированный базис.•Далее мы будем полагать, что H — сепарабельное гильбертово пространство.Определение. Пусть {φk } — счетная ортонормированная система в гильбертовом пространстве H, которая не обязательноявляется базисом. Для произвольного u ∈ H обо∑∞значим: αk = (u, φk ). Ряд k=1 αk φk называется рядом Фурье элемента u относительносистемы {φk }. Числа αk называются коэффициентами Фурье.•∑mОбозначим через Sm (u) (или просто Sm ) частичные суммы k=1 αk φk ряда Фурье.∑′= mЛемма.

Для каждого m ∈ N среди всех сумм Smk=1 γk φk , γk ∈ R, минимум величины′∥ в H достигается на частичной сумме Sm ряда Фурье, то есть при γk = αk .•∥u − Sm1Лемма. (Неравенство Бесселя) Для каждого u ∈ H имеет место неравенство∞∑αk2 6 ∥u∥2 ,k=1•где αk — коэффициенты Фурье элемента u.Теорема. Пусть {φk } — ортонормированная система в H. Для того, чтобы эта система была полной в H, необходимо и достаточно, чтобы для любого u ∈ H выполнялосьравенство Парсеваля:∞∑2∥u∥ =αk2 ,k=1•где αk — коэффициенты Фурье элемента u.Теорема.

(Теорема Рисса — Фишера) Пусть {φk } — ортонормированная, не обязательносистема в H и {γk } — произвольная последовательностьчисел, такая, что∑∞∑∞полная2γ<∞.Тогдасуществуетu∈H,такой,чтоu=γφk=1 k∑k=1 k k с γk = (u, φk ) и∞22•∥u∥ = k=1 γk .Определение. Система {φk } элементов гильбертова пространства H называется тотальной, если для любого u ∈ H из того, что (u, φk ) = 0 для всех k следует, что u = 0 в H.•Теорема. Для того, чтобы система {φk } была полной в сепарабельном гильбертовом пространстве H, необходимо и достаточно, чтобы она была тотальной.•§ 2. Тригонометрические ряды Фурье.Рассмотрим в гильбертовом пространстве L2 (−π, π) тригонометрическую систему функций:1, cos x, sin x, .

. . , cos kx, sin kx, . . .Эта система является ортогональной, но не нормированной. Нетрудно убедиться в том,что система1cos x sin xcos kx sin kx√ , √ , √ , ..., √ , √ , ...ππππ2πортонормирована в L2 (−π, π).Каждой функции f ∈ L2 (−π, π) поставим в соответствие ряд Фурье)a0 ∑ (f (x) ∼+ak cos kx + bk sin kx ,2k=1∞где коэффициенты Фурье определены следующим образом:∫∫1 π1 πak =f (x) cos kx dx,bk =f (x) sin kx dx.π −ππ −πОпределение. Тригонометрическим полиномом называется выражение видаc0 +m∑()ck cos kx + dk sin kx ,k=12ck , dk ∈ R.•Если T (x) — тригонометрический полином, а P (y) — алгебраический полином, то P (T (x))— тригонометрический полином.Теорема. (Вейерштрасс) Пусть f : [−π, π] → R — непрерывная функция и f (−π) =f (π). Тогда для любого ε > 0 существует тригонометрический полином T , такой, чтоmax |f (x) − T (x)| < ε.•x∈[−π,π]Утверждение.

(Обращение теоремы Вейерштрасса) Если функция f : [−π, π] → Rаппроксимируется с любой точностью тригонометрическими полиномами по норме пространства C[−π, π], то f непрерывна и f (−π) = f (π).•Теорема. (Следствие из теоремы Вейерштрасса)Тригонометрическая система {1, cos x, sin x, . . .

, cos kx, sin kx, . . . } полна в пространстве L2 (−π, π).•Таким образом, для тригонометрической системы в L2 (−π, π) справедливы все утверждения, доказанные для полных ортонормированных систем в сепарабельных гильбертовыхпространствах. В частности,1) для каждой функции f ∈ L2 (−π, π) справедливо равенство Парсеваля:1a2 ∑ 2(ak + b2k );∥f ∥2 = 0 +π2k=1∞2) ряд Фурье, соответствующий функции f ∈ L2 (−π, π), сходится к f в L2 (−π, π).Далее мы исследуем поточечную сходимость рядов Фурье.Обозначим через Sn (x) (или через Sn (f, x)) частичную сумму ряда Фурье функции f :)a0 ∑ (ak cos kx + bk sin kx ,Sn (x) =+2k=1nПродолжим функцию f периодически на всю числовую ось R. Нетрудно посчитать, что∫ π1 sin y(n + 1/2)Sn (x) =f (x + y) Dn (y) dy, где Dn (y) =.2πsin y/2−πИнтеграл в выражении∫ π для Sn (x) называется интегралом Дирихле, а Dn (y) — ядром Дирихле.

Заметим, что −π Dn (y) dy = 1.Теорема. (Риман) Пусть f ∈ L1 (a, b), где [a, b] — произвольный ограниченный интервалв R. Тогда∫ b∫ bf (t) cos pt dt = 0.•f (t) sin pt dt = limlimp→∞p→∞aaЛемма. Для любого δ ∈ (0, π) имеет место равенство∫limDn (t) dt = 0.n→∞•[−π,π]\(−δ,δ)Теорема. (Принцип локализации) Пусть f, g : R → R — 2π-периодические функции, x0 ∈[−π, π], f, g ∈ L1 (−π, π) и f = g почти всюду на некотором интервале, содержащем точку3x0 . Тогда ряды Фурье функций f и g сходятся или расходятся в точке x0 одновременно, иесли они сходятся, то их суммы совпадают.•Теорема.

Пусть f : R → R — 2π-периодическая функция, f ∈ L1 (−π, π), x0 ∈ [−π, π] ивыполняется условие Дини:∫δ−δ|f (x0 + t) − A|dt < ∞|t|для некоторых A ∈ R и δ > 0. Тогда Sn (f, x0 ) → A при n → ∞.•Заметим, что обычно в качестве числа A берут f (x0 ). Однако, поскольку функции изL1 (−π, π) определены с точностью до значений на множестве меры нуль, так можно делатьне для всех, а только для почти всех x0 ∈ [−π, π].

Если же дополнительно известно, что fнепрерывна, то можно смело брать A = f (x0 ).Теорема. Пусть f : R → R — 2π-периодическая функция, f ∈ L1 (−π, π), x0 ∈ [−π, π] ивыполняется второе условие Дини:∫0δ∫|f (x0 + t) − A+ |dt < ∞,|t|0−δ|f (x0 + t) − A− |dt < ∞|t|для некоторых A+ , A− ∈ R и δ > 0. Тогда Sn (f, x) → (A+ + A− )/2 при n → ∞.•Эта теорема применяется в том случае, когда функция f терпит разрыв первого рода вточке x0 . При этом числа A− и A+ являются пределами функции f в точке x0 слева исправа соответственно.Обозначим через C 0, α [−π, π], α ∈ (0, 1), пространство непрерывных на [−π, π] функцийf , которые удовлетворяют условию Гёльдера: |f (x) − f (y)| 6 C |x − y|α для некоторойконстанты C. При α = 1 условие Гёльдера называется условием Липшица.

C 0, α [−π, π]является банаховым пространством с нормой∥f ∥C 0, α [−π,π] = max |f (x)| +x∈[−π,π]|f (x) − f (y)|.x,y∈[−π,π]|x − y|αmaxФункции из C 0, α [−π, π] удовлетворяют условиям Дини.Теорема. Пусть f ∈ C 0, α [−π, π] с α ∈ (0, 1] и f (−π) = f (π). Тогда ряд Фурье функции fсходится к f равномерно на [−π, π].•Теорема. (Упражнение) Пусть f : R → R — 2π-периодическая функция и f ∈ C 0, α [a, b],где α ∈ (0, 1] и [a, b] ⊂ R. Тогда для любого δ ∈ (0, (b−a)/2) ряд Фурье функции f сходитсяк f равномерно на [a + δ, b − δ].•Пусть f : R → R — непрерывная 2π-периодическая функция. Введем обозначение:σn (f, x) =)1(S0 (f, x) + · · · + Sn−1 (f, x) .nНетрудно вычислить, что∫ πσn (f, x) =f (x + t) Φn (t) dt,1 ( sin nt/2 )2.где Φn (t) =2πn sin t/2−π4Величина σn (f, x) называется суммой Фейера, а Φn — ядром Фейера функции f .

ЯдраФейера обладают следующими свойствами:∫π1) −π Φn (t) dt = 1 для всех n;∫π∫ −δ2) δ Φn (t) dt → 0 и −π Φn (t) dt → 0 при n → ∞ для любого δ ∈ (0, π).Теорема. (Фейер) Пусть f : R → R — непрерывная 2π-периодическая функция. Тогдаσn (f ) → f равномерно на [−π, π].•Из этой теоремы, в частности, следует теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций тригонометрическими полиномами.В пространстве L2 (0, π) полными являются следующие две ортогональные системы функций:1, cos x, cos 2x, . . .

, cos kx, . . .sin x, sin 2x, . . . , sin kx, . . .Предположим, что функция f представима своим рядом Фурье. Согласно формуле Эйлера11cos kx = (eikx + e−ikx ) и sin kx = (eikx − e−ikx ). Отсюда получаем, что22i∞∑ck eikx ,f (x) =k=−∞где c0 = a0 /2, ck = (ak + ibk )/2 при k < 0 и ck = (ak − ibk )/2 при k > 0. Можно вычислитьck и по следующей формуле:∫ π1ck =f (x)e−ikx dx.2π −πЭто представление справедливо и для комплексных функций f = f1 + if2 : [−π, π] → C.Скажем, что комплексная функция принадлежит пространству Lp , если её вещественнаяи мнимая части лежат в этом пространстве. С пространством L2 есть небольшой нюанс.Скалярное произведениев комплексном пространстве L2 [−π, π] определяется следующим∫πобразом: (u, v) = −π u(x) v(x) dx, где черта означает комплексное сопряжение.

Таким образом, в полном соответствии с нашими определениями для абстрактных∑ гильбертовыхпространств для комплексного пространства L2 [−π, π] мы имеем: f = ∞k=−∞ αk φk , где√ikxφk (x) = e / 2π, αk = (f, φk ), k ∈ Z. Функции φk , k ∈ Z, образуют ортонормированныйбазис в L2 [−π, π].§ 3. Преобразование Фурье.Теорема. (Формула Фурье) Пусть функция f ∈ L1 (R) удовлетворяет условию Дини вточке x0 .