1611689565-ae1e069ebc8650b286f40e8be4822780 (Бельхеева Ряды Фурье в примерах и задачах)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТР. К. БельхееваРЯДЫ ФУРЬЕВ ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХУчебное пособиеНовосибирск2011УДК 517.52ББК В161Б44Б44 Бельхеева Р. К. Ряды Фурье в примерах и задачах:Учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2011.76 с.ISBN 978-5-94356-983-8В учебном пособии излагаются основные сведения о рядах Фурье, приведены примеры на каждую изучаемую тему. Детальноразобран пример применения метода Фурье к решению задачи опоперечных колебаниях струны.

Приведен иллюстративный материал. Имеются задачи для самостоятельного решения.Предназначено для студентов и преподавателей физическогофакультета НГУ.Печатается по решению методической комиссии физического факультета НГУ.Рецензент д-р физ.-мат. наук. В.

А. АлександровПособие подготовлено в рамках реализации Программыразвития НИУ-НГУ на 2009–2018 гг.ISBN 978-5-94356-983-8cНовосибирский государственный университет, 2011cБельхеева Р. К., 20111. Разложение 2π-периодическойфункции в ряд ФурьеОпределение. Рядом Фурье функции f (x) называетсяфункциональный ряд∞a0 X+(an cos nx + bn sin nx) ,2n=1(1)где коэффициенты an , bn вычисляются по формулам:1an =πZπf (x) cos nx dx,n = 0, 1, . . . ,(2)Zπf (x) sin nx dx,n = 1, 2, .

. . .(3)−π1bn =π−πФормулы (2)–(3) называют формулами Эйлера—Фурье.Тот факт, что функции f (x) соответствует ряд Фурье (1)записывают в виде формулы∞f (x) ∼a0 X+(an cos nx + bn sin nx)2n=1(4)и говорят, что правая часть формулы (4) является формальным рядом Фурье функции f (x).Другими словами, формула (4) означает только то, чтокоэффициенты an , bn найдены по формулам (2), (3).3Определение. 2π-периодическая функция f (x) называется кусочно-гладкой, если в промежутке [−π, π] найдетсяконечное число точек −π = x0 < x1 < . .

. < xn = π таких,что в каждом открытом промежутке (xj , xj+1) функция f (x)непрерывно дифференцируема, а в каждой точке xj существуют конечные пределы слева и справа:f (xj − 0) = lim f (xj − h), f (xj + 0) = lim f (xj + h), (5)h→+0h→+0f (xj − h) − f (xj − 0),h→+0−hf (xj + h) − f (xj + 0).h→+0h(6)Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значенийf (xj − 0) и f (xj + 0) значениями f (xj ).limlimТеорема о представимости кусочно-гладкой функции вточке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости).

Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функцииf (x) сходится в каждой точке x ∈ R, а его сумма равначислу f (x), если x — точка непрерывности функции f (x),f (x + 0) + f (x − 0)и равна числу, если x — точка разрыва2функции f (x).ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [−π, π] формулой, f (x) = |x|,предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы∞∞XX11числовых рядов,.2(2n + 1)n2n=0n=1Решение. Построим график функции f (x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k — целое число (рис. 1).4Рис. 1.

График функции f (x)Вычислим коэффициенты Фурье1a0 =πZπ−π1an =πZππ1 x2 f (x) dx = = π,π 2−π2f (x) cos nx dx =π−πZπf (x) cos nx dx =0 π2 x sin nx cos nx 2 cos nx − cos 0=+= =2πnnπn2042 (−1)n − 1  − πn2 , при n нечетном,==πn20, при n четном,Zπ1f (x) sin nx dx = 0,bn =π−πпотому что функция f (x) — четная. Запишем формальный ряд Фурье для функции f (x):∞f (x) ∼π4 X cos (2k + 1)x−.2 π k=0 (2k + 1)25Выясним является ли функция f (x) кусочно-гладкой.

Таккак она непрерывна, вычислим только пределы (6) в конечных точках промежутка x = ±π и в точке излома x = 0 :π−h−πf (π − h) − f (π − 0)= lim= 1,h→+0h→+0−h−hlimlimh→+0f (−π + h) − f (−π + 0)−π + h − (−π)= lim= 1,h→+0hh0+h−0f (0 + h) − f (0 + 0)= lim= 1,limh→+0h→+0hhиf (−0 − h) − f (−0 − 0)−0 − h − (−0)= lim= 1.h→+0h→+0−h−hlimПределы существуют и конечны, следовательно, функциякусочно-гладкая.

По теореме о поточечной сходимости ее рядФурье сходится к числу f (x) в каждой точке, т. е.∞4 X cos (2k + 1) + xπ=f (x) = −2 π k=0(2k + 1)2π4= −2 π11cos x + cos 3x +cos 5x + . . . .925(7)На рис. 2, 3 показан характер приближения частичныхсумм ряда Фурье Sn (x), гдеna0 X+(ak cos kx + bk sin kx),Sn (x) =2k=1к функции f (x) в промежутке [−π, π].6Рис. 2. График функции f (x) с наложеннымина него графиками частичных суммa0a0и S1 (x) =+ a1 cos xS0 (x) =22Рис. 3.

График функции f (x) с наложеннымна него графиком частичной суммыa0S99 (x) =+ a1 cos x + · · · + a99 cos 99x27Подставив в (7) x = 0 получим:∞14Xπ,0= −2 π k=0 (2k + 1)2откуда мы находим сумму числового ряда:1+1π21++...=.32 528Зная сумму этого ряда, легко найти следующую суммуS =1+1111+ 2 + 2 + 2 + ... .22345Имеем: 1 π2 11111S= 1 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 + 2 + ...

=+ S,3524684следовательно∞Xπ2π21S = , то есть=.6n26n=1Сумму этого знаменитого ряда впервые нашел Леонард Эйлер. Она часто встречается в математическом анализе и егоприложениях.ПРИМЕР 2. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции заданной формулой f (x) = x для −π ≤ x < π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых∞ 1 1X(−1)nрядов+, 1+ − +2n + 12 4n=0 1 111 + ...+ −+ ... .++ − +5 73k − 1 3k + 1Решение. График функции f (x) приведен на рис.

4.8Рис. 4. График функции f (x)Функция f (x) непрерывно-дифференцируема на промежутке (−π, π). В точках x = ±π, она имеет конечные пределы (5): f (−π) = −π, f (π) = π. Кроме того существуютконечные пределы (6):f (−π + h) − f (−π + 0)=1 иh→+0hlimf (π − h) − f (π + 0)= 1.h→+0−hЗначит, f (x) — кусочно-гладкая функция.Так как функция f (x) нечетна, то an = 0. Коэффициенты bn находим интегрированием по частям:lim1bn =πZπ−ππ11 f (x) sin πnxdx = −x cos nx−π +πnnZπ−πcos nxdx =12(−1)n+1[(−1)n π + (−1)n π] =.πnnСоставим формальный ряд Фурье функции=−f (x) ∼∞X2(−1)n+1nn=19sin nx.Согласно теореме о поточечной сходимости кусочно-гладкой 2π-периодической функции ряд Фурье функции f (x) сходится к сумме:∞X2(−1)n+1sin nx =nn=1f (x) = x, если − π < x < π,f (π − 0) + f (π + 0)= 0,еслиx = π, (8)=2 f (−π − 0) + f (−π + 0) = 0, еслиx = −π.2На рис.

5–8 показан характер приближения частичныхсумм Sn (x) ряда Фурье к функции f (x).Рис. 5. График функции f (x) с наложенным на негоa0графиком частичной суммы S1 (x) =+ a1 cos x210Рис. 6. График функции f (x) с наложеннымна него графиком частичной суммы S2 (x)Рис. 7. График функции f (x) с наложеннымна него графиком частичной суммы S3 (x)11Рис. 8. График функции f (x) с наложенным нанего графиком частичной суммы S99 (x)Используем полученный ряд Фурье для нахождения суммдвух числовых рядов.

Положим в (8) x = π/2. Тогда1 1 1π2 1 − + − + . . . = , или3 5 72∞X (−1)nπ1 1 1= .1 − + − + ... =3 5 72n + 14n=0Мы легко нашли сумму известного ряда Лейбница.Положив в (8) x = π/3, найдем√√ √3 1 √ 3 1 π1 − 3 1 − 32 1·− ·+ ·0− ·+ ·+ ... = ,22 2342523или√ 1 1 1 13π11 +. . . =+.1+ − + + − + +. . .+ −2 45 73k − 1 3k + 1912ПРИМЕР 3. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции f (x) = | sin x|, предполагая, что она имеет период 2π, и∞X1вычислим сумму числового ряда.24n − 1n=1Решение. График функции f (x) приведен на рис.

9. Очевидно, f (x) = | sin x| непрерывная четная функция с периодом π. Но 2π тоже является периодом функции f (x).Рис. 9. График функции f (x)Вычислим коэффициенты Фурье. Все bn = 0 потому, чтофункция четная. Пользуясь тригонометрическими формулами вычислим an при n 6= 1 :ZπZπ12an =| sin x | cos nx dx =sin x cos nx dx =ππ−π=1π0Zπ01=−π(sin(1 + n)x − sin(1 − n)x) dx =cos(1 + n)x cos(1 − n)x+1+n1−n( 4 1− 2, если=πn −10,если13 π2 1 + (−1)n= =π1 − n20n = 2k,n = 2k + 1.Это вычисление не позволяет нам найти коэффициент a1 ,потому что при n = 1 знаменатель обращается в ноль. Поэтому вычислим коэффициент a1 непосредственно:1a1 =πZπ−π| sin x | cos x dx = 0.Так как f (x) непрерывно дифференцируема на (−π, 0) и(0, π) и в точках kπ, (k — целое число), существуют конечныепределы (5) и (6), то ряд Фурье функции сходится к ней вкаждой точке:∞24 X cos 2nx| sin x| = −=π π n=1 4n2 − 142= −π π111cos 2x +cos 4x +cos 6x + .

. .31535.На рис. 10–13 показан характер приближения функции f (x) частичными суммами ряда Фурье.Рис. 10. График функции f (x) с наложенным на негографиком частичной суммы S0 (x)14(9)Рис. 11. График функции f (x) с наложенным на негографиком частичной суммы S1 (x)Рис. 12. График функции f (x) с наложенным на негографиком частичной суммы S2 (x)Рис. 13. График функции f (x) с наложенным на негографиком частичной суммы S99 (x)15∞X1. Для этого−1n=1положим в (9) x = 0. Тогда cos nx = 1 для всех n = 1, 2, . .