1611689565-9f8f7fc205736c44fa95ad784cf0f76d (Бельхеева Обобщенные функции в примерах и задачах)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТФизический факультетР. К. БельхееваОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИВ ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХУчебное пособиеНовосибирск2014УДК 517.5ББК В162.12Б44Рецензентканд. физ.-мат. наук., доцент И. В. ПодвигинИздание подготовлено в рамках реализации Программыразвития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирскийгосударственный университет» на 2009–2018 годы.Б 44Бельхеева, Р.

К.Обобщенные функции в примерах и задачах : учебное пособие / Р. К. Бельхеева ; Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск :РИЦ НГУ, — 2014. 85 с.ISBN 978-5-4437-0291-9В учебном пособии излагаются основные методы решения задачпо теме обобщенные функции. Пособие содержит теоретическийматериал, необходимый для решения задач, примеры решения типовых задач на каждую изучаемую тему, задачи для проведения практических занятий. Приведен иллюстративный материал.Имеются задачи для самостоятельного решения.Предназначено для студентов и преподавателей физическогофакультета НГУ.Печатается по решению методической комиссии физического факультета НГУ.ISBN 978-5-4437-0291-9УДК 517.5ББК В162.12c Новосибирский государственныйуниверситет, 2014c Р. К. Бельхеева, 2014ПредисловиеПонятие дельта-функции было введено в конце 20-х гг.20-го столетия П.

Дираком в его исследованиях по квантовой механике. С физической точки зрения дельта-функцияпредставлялась Дираком как плотность единичного заряда,помещенного в начале координат. В более общем смыслеэта функция принимает на узком участке большие значения,причем эти значения согласованы с шириной участка.Новое понятие функции — обобщенной функции — позволило записать точечное воздействие, сосредоточенное илиприложенное в одной точке. С помощью этого понятия функции появилась возможность достаточно просто исследоватьнекоторые важные физические явления.

Но с математической точки зрения это определение было бессмысленно, иматематикам потребовалось приложить много усилий, чтобы найти математически корректное определение обобщенной функции, ее производных и операций над обобщеннойфункцией.Советский математик Н. М. Гюнтер в 30–40-х гг. 20-гостолетия распространил понятие функции, определенной вединственной точке, на «функцию области», что лучше соответствует физической сущности явлений. Так, например,температуру тела в точке практически определить нельзя, вто время как температура в некоторой области тела имеетконкретный физический смысл. Основы строгой математической теории обобщенных функций были построены советским математиком С. Л.

Соболевым в 1936 г., впервыеразработавшим теорию обобщенных функций в связи с исследованием гиперболических уравнений. В 1950–1951 гг.французский математик Л. Шварц развил теорию обобщенных функций (которые он называл распределениями), построил теорию их преобразования Фурье и указал ряд важных приложений этой теории.3Обобщенные функции расширяют возможности классического математического анализа, поэтому использование техники обобщенных функций существенно расширяеткруг рассматриваемых в механике и физике задач и приводитк значительным упрощениям, автоматизируя элементарныеоперации. В настоящее время эта теория нашла примененияпочти во всех областях математики и ее приложений, физике и других областях естествознания.

Например, в механикеприходится рассматривать задачи о столкновении тел или орезком ударе. При ударе на тело действует кратковременная,но очень большая сила. В большинстве случаев детализациязависимости силы от времени в момент самого соударенияне представляет интереса. Достаточно знать импульс силы,тогда саму силу можно записать как произведение импульсана дельта-функцию. Теория обобщенных функций позволяетсформулировать на математическом языке такие идеализированные понятия, как, например, плотность точечного заряда, плотность материальной точки, мгновенный импульс ит. п.Отметим, что дельта-функция рассматривается лишьдля вещественных значений независимой переменной.41. Пространства основных иобобщенных функцийОпределение.

Пусть G — открытое множество в Rn ипусть ϕ : G → C. Носителем функции ϕ называется замыкание в Rn множества тех точек x ∈ G, в которых ϕ(x) 6= 0.Другими словами, точка x ∈ G принадлежит носителю функции ϕ, если найдется последовательность x1 , x2 , . . . , xn , . . .точек из G, сходящаяся к x и такая, что ϕ(xn ) 6= 0 для всехn = 1, 2, . . .. Носитель функции ϕ обозначается через supp ϕ(от англ.

support).Определение. Функция ϕ : G → C называется основной,или пробной, если ϕ бесконечно дифференцируема и supp ϕявляется ограниченным подмножеством в G.Согласно теореме Лебега, известной из курса математического анализа, множество в Rn компактно, если и толькоесли оно замкнуто и ограничено. Поэтому можно сказать,что носитель основной функции является компактным подмножеством ее области определения G. Отметим также, чтоноситель основной функции не пересекается с границей области G.Резюмируем: ϕ : G → C — основная функция (G — открытое множество), если1) ϕ бесконечно дифференцируема;2) носитель supp ϕ — компактное подмножество в G;3) supp ϕ ∩ ∂G = ∅.

(Хотя из 2 следует 3, выделим это пункткак отдельный для большей ясности.)Очевидно, что сумма двух основных функций и произведение основной функции на число снова являются основнымифункциями. Поэтому совокупность всех основных функций,определенных в данной области G, является векторным пространством, которое обозначают через D(G).Определение. Говорят, что последовательность основных функций ϕ1 , ϕ2 , . . .

, ϕn , . . . сходится к функции5ϕ ∈ D(G), если 1) существует ограниченное в Rn замкнутоеподмножество M множества G, содержащее носитель каждой функции ϕn , и 2) для каждого мультииндекса α последовательность производных D α ϕ1 , D α ϕ2 , . . . , D α ϕn , . . . равномерно в G сходится к D α ϕ. Другими словами, последовательность основных функций ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , . . . сходится кфункции ϕ ∈ D(G), если 1) существует ограниченное в Rn замкнутое подмножество M множества G такое, что носителиsupp ϕn ⊂ M для каждого n, и 2) для каждого мультииндексаαsup |D α ϕn (x) − D α ϕ(x)| → 0 при n → +∞.x∈GЭто определение нуждается в пояснении. В курсе математического анализа мы считали, что последовательность функций f1 , f2 , .

. . , fn , . . . сходится равномерно к функции f , еслимодуль разности |f (x) − fn (x)| мал для всех значений x, длякоторых задаются функции. В этом смысле последовательность синусообразных функций fn , графики которых изображены на рис. 1 (a), сходится к функции f . Кривые, изображенные на рис.

1 (a), близки в смысле близости нулевогопорядка, но не близки в смысле близости первого порядка,так как ординаты у них близки, а направления касательныхне близки. Кривые, изображенные на рис. 1 (b), близки всмысле близости первого порядка, так как для них малы1) модули разностей функций |f (x) − fn (x)| и2) модули разностей производных |f 0(x) − fn0 (x)|.Рис. 1. Пояснения к определению сходимости функций6Основные же функции близки в смысле близости бесконечного порядка, так как для них малы |ϕ(x) − ϕn (x)|,(n)|ϕ0 (x) − ϕ0n (x)|, · · · , |ϕ(n) (x) − ϕn (x)|, · · · для всех значенийx, для которых задаются функции.Пример 1. Покажем, что функция"#m−1X ϕ(k) (0)1xk ,ψ(x) = m ϕ(x) − η(x)xk!k=0m = 1, 2, . .

. ,— основная, где ϕ(x) ∈ D(R) и η(x) ∈ D(R), η ≡ 1 в окрестности x = 0.Доказательство. Очевидно, что функция ψ(x) финитнаи бесконечно дифференцируема при x 6= 0. Покажем,что ψ(x) бесконечно дифференцируема в точке x = 0. Пустьx ∈ [−ε, ε]. Тогда η(x) = 1. Обозначивµ(x) = ϕ(x) −получим:m−1Xk=0ϕ(k) (0) kx ,k!µ(m) (0)µ(x)=,x→0 xmm!ψ(0) = lim ψ(x) = limx→0ψ(x) − ψ(0)= limx→0x→0xψ 0 (0) = limxm µ(m) (0)µ(m+1) (0)m!=xm+1(m + 1)!µ(x) −и т.

д. Таким образом, ψ(x) ∈ C ∞ и, значит, ψ(x) ∈ D(R).Определение. Всякое отображение F : D(G) → C пространства основных функций во множество комплексных чисел называется функционалом.7Определение. Функционал F называется линейным, если для любых a, b ∈ C и любых основных функций ϕ1 и ϕ2выполняется равенство F (aϕ1 + bϕ2 ) = aF (ϕ1 ) + bF (ϕ2 ).Определение. Функционал F называется непрерывным, если для любой последовательности основныхфункций ϕ1 , ϕ2 , . .

. , ϕn , . . . , сходящейся к какойнибудь функции ϕ ∈ D(G), числовая последовательностьF (ϕ1 ), F (ϕ2 ), . . . , F (ϕn ), . . . сходится к числу F (ϕ).Определение. Обобщенной функцией называется линейный непрерывный функционал на пространстве основныхфункций. Совокупность всех обобщенных функций на G образует линейное пространство относительно естественныхопераций сложения и умножения на число и обозначаетсячерез D 0 (G). Значение обобщенной функции F на основнойфункции ϕ мы будем обозначать либо через F (ϕ), либо через(F, ϕ).1.1.

Примеры обобщенных функцийНапомним, что функция f называется локально интегрируемой (пишем f ∈ L1,loc (G)), если у каждой точкиZ x0 из Gсуществует окрестность U(x0 ) такая, что интеграл|f (x)|dxU (x0 )конечен.Каждая «обычная» функция f ∈ L1,loc(G) порождает обобщенную функцию по правилуZ(f, ϕ) = f (x)ϕ(x) dx.(1)GПример 2. Докажем, что если f является локально интегрируемой функцией, то функционал (1) является обобщенной функцией на D(G).Доказательство.