1611689564-c292adb9a0ffac330f3ca30cdb684bd6 (Александров Преобразования Фурье)

ÏðåäèñëîâèåÂû äåðæèòå â ðóêàõ ïåðåðàáîòàííûé êîíñïåêò ëåêöèé îäíîé èç äåâÿòè òåì, ÷èòàåìûõ íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà â ðàìêàõ êóðñà ¾Îñíîâû ôóíêöèîíàëüíîãîàíàëèçà¿ â ïåðâîé ïîëîâèíå òðåòüåãî ñåìåñòðà. Òåìå ¾ÏðåîáðàçîâàíèåÔóðüå¿ îòâîäèòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî ÷åòûðå ëåêöèè è òðè ñåìèíàðà. Ïîñîáèå ñîäåðæèò òó ÷àñòü îáøèðíîé òåîðèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, êîòîðóþ ìîæíî ðåàëüíî èçëîæèòü è óñâîèòü çà îòâåäåííûé ó÷åáíûì ïëàíîì ïðîìåæóòîê âðåìåíè è êîòîðàÿ ðåàëüíî íåîáõîäèìà ñòóäåíòàì äëÿóñâîåíèÿ ôèçè÷åñêèõ êóðñîâ, ÷èòàåìûõ â ïîñëåäóþùåì.Êîðîòêî ïðîêîììåíòèðóåì êíèãè, èñïîëüçîâàííûå ïðè íàïèñàíèè íàñòîÿùåãî ïîñîáèÿ è ðåêîìåíäóåìûå äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî îçíàêîìëåíèÿñ ïðåäìåòîì.Íàøå èçëîæåíèå íàèáîëåå áëèçêî ê ïðèíÿòîìó â ñëåäóþùåì øèðîêîðàñïðîñòðàíåííîì ó÷åáíèêå:• Çîðè÷ Â.

À. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×. 2. Ì.: Íàóêà, 1984.Íåñêîëüêî äàëüøå îò íàøåãî èçëîæåíèÿ íàõîäÿòñÿ êëàññè÷åñêèå ó÷åáíèêè:• Êîëìîãîðîâ À. Í., Ôîìèí Ñ. Â. Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ì.: Íàóêà, 1972.• Ôèõòåíãîëüö Ã. Ì. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ò. 3. Ì.: Íàóêà, 1969.Äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî çíàêîìñòâà ñ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå è åãî ðîëüþ â òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ïðåêðàñíóþ êíèãó:• Ðèä Ì., Ñàéìîí Á. Ìåòîäû ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Ò. 2 / Ïåð. ñ àíãë.

Ì.: Ìèð, 1978.Òåì, êòî õî÷åò ãëóáæå ðàçîáðàòüñÿ â äèñêðåòíîì è áûñòðîì ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ôóðüå, ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ñëåäóþùèå êíèãè:• Áàõâàëîâ Í. Ñ., Æèäêîâ Í. Ï., Êîáåëüêîâ Ã. Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû.Ì.: Íàóêà, 1987.• Êíóò Ä. Èñêóññòâî ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ ÝÂÌ. Ò. 2 / Ïåð. ñàíãë. Ì.: Ìèð, 1972.Çàìåòíàÿ ÷àñòü ïðèâîäèìûõ â íàøåì ïîñîáèè çàäà÷ ïîçàèìñòâîâàíàèç ñëåäóþùèõ ñáîðíèêîâ:• Êóäðÿâöåâ Ë. Ä. è äð. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó.Ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. ÑÏá., 1994.• Âëàäèìèðîâ Â. Ñ. è äð. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî óðàâíåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1974.Òàì æå ìîæíî íàéòè äîïîëíèòåëüíûå çàäà÷è ê òåìå ¾Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå¿.3Ÿ 1.

Èíòåãðàë Ôóðüå êàê ïðåäåëüíàÿ ôîðìà ðÿäà ÔóðüåÏóñòü f : R → R íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Íàîñíîâàíèè òåîðåìû î ïðåäñòàâèìîñòè ôóíêöèè â òî÷êå ñâîèì ðÿäîìÔóðüå ìîæåì äëÿ ëþáîãî l > 0 ðàçëîæèòü f â ðÿä Ôóðüå â ïðîìåæóòêå[−l, l]:¶∞ µπnxπnxa0 X+an cos+ bn sin,(1)f (x) =2lln=1ãäåZl1πntan =f (t) cosdt,n = 0, 1, 2, . . . ,ll−l(2)Zl1πntbn =f (t) sindt,n = 1, 2, . . .

.ll−lÐàçëîæåíèå (1) îáëàäàåò äîñàäíîé àñèììåòðèåé: åãî ëåâàÿ è ïðàâàÿ÷àñòè îïðåäåëåíû íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé, íî ðàâåíñòâî èìååò ìåñòîòîëüêî â ïðîìåæóòêå [−l, l]. Óñòðàíèì ýòîò íåäîñòàòîê, ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè l → +∞. Ïðè ýòîì îãðàíè÷èìñÿ íàâîäÿùèìè ñîîáðàæåíèÿìè,îñòàâèâ ñòðîãèå ðàññóæäåíèÿ íà ïîòîì.Ïðåîáðàçóåì (1), ïîäñòàâèâ âìåñòî an è bn èõ âûðàæåíèÿ (2):f (x) =1lZl−l·¶¸∞ µ1 Xπntπnxπntπnxf (t) +coscos+ sinsindt =2 n=1llll=1lZl−l1=2lZl−l·¸∞1 Xπnf (t) +(t − x) dt =cos2 n=1l1 lf (t) dt + ·l πZlf (t)∞X(3)cos[yn (t − x)]∆yn dt,n=1−lãäå èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ yn = πn/l è ∆yn = yn+1 − yn = π/l.Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f íå òîëüêî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà, íî è ¾äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàåò íà áåñêîíå÷íîñòè¿.

Òî÷íåå, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî èíòåãðàë+∞Z|f (t)| dt−∞ñõîäèòñÿ.4Òîãäà èíòåãðàë, âõîäÿùèé â ïåðâîå ñëàãàåìîå â âûðàæåíèè (3), ñòðåìèòñÿ ê êîíå÷íîìó ïðåäåëó ïðè l → +∞, à ñàìî ïåðâîå ñëàãàåìîå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.Ïîñêîëüêó ∆yn → 0 ïðè l → +∞, òî âûðàæåíèå∞Xcos[yn (t − x)]∆ynn=1ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ñóììó Ðèìàíà èíòåãðàëà+∞Zcos y(t − x) dy.0(Íàäî òîëüêî èìåòü â âèäó, ÷òî ýòî î÷åíü íåñòðîãîå ñîîáðàæåíèå; íåñòðîãîå õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òî íàïèñàííûé èíòåãðàë çàâåäîìî ðàñõîäèòñÿ.) ðåçóëüòàòå ìû ìîæåì íàäåÿòüñÿ, ÷òî, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè l →+∞ â âûðàæåíèè (3), ìû ïîëó÷èì1f (x) =π+∞+∞·Z¸Zf (t)cos y(t − x) dy dt.−∞0Ìåíÿÿ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ è ðàçëàãàÿ êîñèíóñ ðàçíîñòè ïî èçâåñòíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìóëå, ïîëó÷èì1f (x) =πèëèãäå+∞· Z+∞+∞¸ZZf (t) cos yt dt · cos yx +f (t) sin yt dt · sin yx dy,0−∞−∞+∞Z[a(y) cos yx + b(y) sin yx] dy,f (x) =(4)01a(y) =π1b(y) =π+∞Zf (t) cos ty dt,(5)−∞+∞Zf (t) sin ty dt.(6)−∞Îòìåòèì, ÷òî ïðè íàøèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îá f èíòåãðàëû â (5) è (6)ñõîäÿòñÿ, à èíòåãðàë â (4), âî âñÿêîì ñëó÷àå, íå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì,5ðàñõîäèìîñòü êîòîðîãî áðîñàëàñü áû â ãëàçà.

Ïðè ýòîì ìû ìîæåì íàäåÿòüñÿ, ÷òî ôîðìóëà (4) áóäåò ñïðàâåäëèâà íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîéè áóäåò èãðàòü ðîëü ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè â ðÿä Ôóðüå.Ïðàâàÿ ÷àñòü ôîðìóëû (4) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ôóðüå, à ñàìàôîðìóëà (4) èíòåãðàëüíîé ôîðìóëîé Ôóðüå. Ôóíêöèÿ a : R → R,îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (5), íàçûâàåòñÿ êîñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ôóíêöèè f . Ôóíêöèÿ b : R → R, îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (6), íàçûâàåòñÿ ñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ôóíêöèè f .Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî ôîðìóëû (4)(6) óäèâèòåëüíî íàïîìèíàþòóæå ïðèâû÷íûå âàì ôîðìóëû ðàçëîæåíèÿ 2π -ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèèâ ðÿä Ôóðüå:∞a0 X+(an cos nx + bn sin nx),2n=1f (x) =1an =π(7)Zπf (t) cos nt dt,n = 0, 1, 2, . .

. ,(8)n = 1, 2, . . . .(9)−π1bn =πZπf (t) sin nt dt,−π ñàìîì äåëå, â ôîðìóëàõ (5)(6) è (8)(9) ó÷àñòâóåò îäèíàêîâûé êîýôôèöèåíò 1/π , à èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåìó ïðîìåæóòêó, íàêîòîðîì îïðåäåëåíà f . Âîò òîëüêî äèñêðåòíûé ïàðàìåòð n çàìåíåí íàíåïðåðûâíûé y . Àíàëîãè÷íî, ôîðìóëà (4) î÷åíü íàïîìèíàåò (7): íàäîëèøü çàìåíèòü äèñêðåòíûé ïàðàìåòð n íà íåïðåðûâíûé y è â ñâÿçèñ ýòèì çàìåíèòü ñóììó íà èíòåãðàë (â íåêîòîðîì ñìûñëå ñ òåìè æåïðåäåëàìè).Ÿ 2. Òåîðåìà î ïðåäñòàâèìîñòè ôóíêöèè â òî÷êå ñâîèìèíòåãðàëîì ÔóðüåÍàøå îáîñíîâàíèå íåñòðîãèõ ðàññóæäåíèé, ïðèâåäåííûõ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, áóäåò îïèðàòüñÿ íà ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Ëåììà (Ðèìàíà Ëåáåãà äëÿ áåñêîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà).

Åñëè a ∈R è f : (a, +∞) → R àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà (a, +∞), ò. å. åñëèR +∞|f (x)| dx < +∞, òîa+∞+∞ZZlimf (x) cos px dx = limf (x) sin px dx = 0.p→+∞p→+∞aa6Ìû ïðèìåì ýòî óòâåðæäåíèå áåç äîêàçàòåëüñòâà, ïîñêîëüêó îíî ëèøüòåõíè÷åñêèìè äåòàëÿìè îòëè÷àåòñÿ îò ëåììû Ðèìàíà Ëåáåãà, ðàññìîòðåííîé â ðàçäåëå ¾Ðÿäû Ôóðüå¿.Ôóíêöèþ f : R → R áóäåì íàçûâàòü êóñî÷íî-ãëàäêîé, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé â ñìûñëå òåîðèè ðÿäîâ Ôóðüå íà ëþáîì êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå [a, b], ò.

å. åñëè â [a, b] íàéäåòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åêa = x0 < x1 < · · · < xn = b òàêèõ, ÷òî â êàæäîì îòêðûòîì èíòåðâàëå(xj , xj+1 ) ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà, à â êàæäîé òî÷êåxj ó f ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå ïðåäåëû ñëåâà è ñïðàâàf (xj − 0) = lim f (xj − h),f (xj + 0) = lim f (xj + h),h→0+h→0+à òàêæå ñóùåñòâóþò è êîíå÷íû ñëåäóþùèå ïðåäåëû, ïîõîæèå íà ëåâóþè ïðàâóþ ïðîèçâîäíûålimh→0+f (xj − h) − f (xj − 0),−hlimh→0+f (xj + h) − f (xj + 0).hÒåîðåìà (î ïðåäñòàâèìîñòè ôóíêöèè â òî÷êå ñâîèì èíòåãðàëîì Ôóðüå). Ïóñòü f : R → R êóñî÷íî-ãëàäêàÿ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìàÿôóíêöèÿ.

Òîãäà äëÿ ëþáîãî x ∈ R ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî+∞Z1[a(y) cos yx + b(y) sin yx] dy = [f (x + 0) + f (x − 0)],20ãäå1a(y) =πb(y) =1π+∞Zf (t) cos ty dt,−∞+∞Zf (t) sin ty dt.−∞Äðóãèìè ñëîâàìè, ýòà òåîðåìà îçíà÷àåò, ÷òî èíòåãðàë Ôóðüå êóñî÷íîãëàäêîé àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè ðàâåí ïîëóñóììå åå ïðåäåëîâ ñëåâà è ñïðàâà.  ÷àñòíîñòè, â òî÷êå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè îí âòî÷íîñòè ðàâåí çíà÷åíèþ ôóíêöèè.Äîêàçàòåëüñòâî. ÏîëîæèìZAfA (x) = [a(y) cos yx + b(y) sin yx] dy0è óáåäèìñÿ, ÷òî fA (x) → [f (x + 0) + f (x − 0)]/2 ïðè A → +∞.7Äëÿ íà÷àëà ïðåîáðàçóåì A, ïîäñòàâèâ âìåñòî a(y) è b(y) èõ âûðàæåíèÿ ÷åðåç èíòåãðàëû è âîñïîëüçîâàâøèñü òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìóëîé äëÿ êîñèíóñà ðàçíîñòè:1fA (x) =πZA+∞½Z¾dyf (t)[cos ty · cos yx + sin ty · sin yx] dt =−∞01=πZA+∞½Z¾dyf (t) cos y(t − x) dt .−∞0Èçìåíèâ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè, ïîëó÷èì1fA (x) =π+∞·ZZAf (t)−∞¸cos y(t − x) dy dt.(10)0Äëÿ îáîñíîâàíèÿ çàêîííîñòè èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ âäàííîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Ôóáèíè: åñëè ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ, òî âñå åå ïîâòîðíûåèíòåãðàëû ñóùåñòâóþò è íå òîëüêî ðàâíû ìåæäó ñîáîé, íî ðàâíûè åå êðàòíîìó èíòåãðàëó.

 íàøåì ñëó÷àå îáîñíîâàòü çàêîííîñòü èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ êàê ðàç è çíà÷èò äîêàçàòü ðàâåíñòâîïîâòîðíûõ èíòåãðàëîâ. Òàêèì îáðàçîì, âñå äåëî óïèðàåòñÿ â èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ (t, y) 7→ f (t) cos y(t − x) ïî ìíîæåñòâóR × [0, A]. Ïîñêîëüêó âñÿêàÿ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà, òî íàì äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ìîäóëü ýòîé ôóíêöèè èíòåãðèðóåì. Îäíàêî ìîäóëü âåëè÷èíà íåîòðèöàòåëüíàÿ, à èç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî åñëè äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèèíåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ñõîäèòñÿ õîòü îäèí ïîâòîðíûé èíòåãðàë, òîýòà ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà ïî ñîâîêóïíîñòè âñåõ ïåðåìåííûõ. Çíà÷èò,äëÿ íàøèõ öåëåé äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ñõîäèìîñòü ïîâòîðíîãî èíòåãðàëà+∞·ZA¸Z|f (t) cos y(t − x)| dy dt,−∞0ñõîäèìîñòü êîòîðîãî âûòåêàåò èç ñëåäóþùèõ î÷åâèäíûõ âûêëàäîê:+∞·ZAZ−∞¸|f (t) cos y(t − x)| dy dt ≤08+∞+∞·ZA ¸ZZ≤|f (t)|dy dt ≤ A|f (t)| dt < +∞,−∞−∞0ãäå ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî íàïèñàíî â ñèëó óñëîâèÿ òåîðåìû, ñîãëàñíî êîòîðîìó f àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà.

Òåì ñàìûì ìû çàâåðøèëè îáîñíîâàíèå çàêîííîñòè èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ è äîêàçàëèðàâåíñòâî (10).Ïðåîáðàçóåì ôîðìóëó (10):fA (x) =1=π1=π1π+∞·ZZAf (t)−∞¸cos y(t − x) dy dt =0¯y=A ¾sin y(t − x) ¯¯dt =f (t)t − x ¯y=0+∞½Z−∞+∞+∞ZZsin A(t − x)1sin Auf (t)dt =f (x + u)du.t−xπu−∞−∞Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷åíî ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé çàìåíû ïåðåìåííîét − x = u. Ïîëüçóÿñü àääèòèâíîñòüþ, ðàçîáüåì ïîñëåäíèé èíòåãðàë íàäâà (ïî ïðîìåæóòêàì (−∞, 0) è (0, +∞) ñîîòâåòñòâåííî) è ñäåëàåì âïåðâîì èç íèõ çàìåíó u → −u:1FA (x) =π1=πZ0−∞Z10−∞sin Au1f (x + u)du +uπ1=π1=π+∞Zsin Auf (x + u)du =u+∞Z0+∞Zsin Auf (x + u)du =u0f (x + u) + f (x − u)sin Au du =uf (x + u) + f (x − u)1sin Au du+uπ+∞Z1f (x + u) + f (x − u)sin Au du.uÎáîçíà÷èì ïåðâûé èç ýòèõ èíòåãðàëîâ ÷åðåç I1 , à âòîðîé ÷åðåç I2 .9Ïîñêîëüêó+∞¯¯Z¯ f (x + u) + f (x − u) ¯¯¯ du ≤¯¯u1+∞+∞+∞ZZZ≤|f (x + u)| du +|f (x − u)| du ≤ 2|f (v)| dv < +∞,1−∞1òî ôóíêöèÿ u 7→ [f (x + u) + f (x − u)]/u àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà ïîïðîìåæóòêó [1, +∞) è ê I2 ìîæíî ïðèìåíèòü ëåììó Ðèìàíà Ëåáåãàäëÿ áåñêîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà.