1611689539-01d5654eb35be51e243b1c26d7dc69cd (Задачки для семинаров)

Семинары по «Основы функционального анализа». Осенний семестр.Семинар № 1: Разложение 2π-периодических функций в ряд Фурье.Разложение только по синусам или только по косинусамНарисуйте графики и найдите ряды Фурье следующих функций, предполагая, что они имеют период 2π:−1, если −π < x < −π/2,1. f (x) = 0,если −π/2 < x < π/2,1,если π/2 < x < π.2. f (x) = x2 ,если − π < x < π.(1,если −π/2 < x < π/2,3.

f (x) =−1, если π/2 < x < 3π/2.4. Найдите период, нарисуйте график и разложите в ряд Фурье функцию f (x) = ln | sin(x/2)|, где −∞ < x < +∞.5. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию, заданную в интервале 0 < x < π формулой f (x) = cos x. Говорят, что полученный ряд Фурьезадаёт «разложение косинуса по синусам кратных дуг». Нарисуйте график суммы полученного ряда Фурье.6. Пусть функция f задана на промежутке 0 < x < π формулойf (x) = eax . Разложите функцию f(а) в ряд Фурье по косинусам кратных дуг;(б) в ряд Фурье по синусам кратных дуг.Нарисуйте графики сумм найденных рядов Фурье.7. Докажите, что если функция f : R → R для всех x ∈ R удовлетворяет условию f (x + π) = f (x) и интегралZπf (x) dx−πсходится, то a2n−1 = b2n−1 = 0 для всех n > 1.8.

Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [0, π/2]функцию на промежуток [−π, π], чтобы её ряд Фурье имел вид∞Xb2n−1 sin(2n − 1)x ?n=11Семинар № 2: Разложение в ряд Фурье функций с произвольнымпериодом. Комплексная форма ряда Фурье. Разложение в ряд Фурьеsin xфункций вида 1−2aa cosx+a21.

Разложите в ряд Фурье функцию f (x) = ex на интервале (0, ln 2).Ответ:∞X2(−1)n − 11πnx+ 2 ln 2.cos222ln 2ln 2ln 2 + n πn=12. Разложите в ряд Фурье в комплексной форме 2π-периодическуюфункцию, заданную условиями f (x) = ex , если x ∈ (−π, π), и f (π) = ch π.Ответ:∞sh π X (−1)n inxe .π −∞ 1 − in3. Докажите, что если 2π-периодическая функция f представлена∞Pсвоим рядом Фурье f (x) =cn einx , то для сдвинутой и комплексноn=−∞сопряжённой функций справедливы равенства∞Xf (x + a) =(cn eina )einx ,a ∈ R,и f¯(x) =−∞∞Xc−n einx .−∞Разложение в ряд Фурье функций, зависящих от sin x и cos x, удаётся иногда получить с помощью формул Эйлераeix + e−ix= cos x,2eix − e−ix= sin x.2i(∗)Для этого следует подставить в формулу, задающую рассматриваемую функцию, выражения (∗) и получившуюся функцию от z = eix разложить в рядпо степеням z, а затем вернуться к переменной с помощью формулы eix =cos x + i sin x.

В результате получится искомое разложение.Пример. Разложим в ряд Фурье функциюf (x) =a sin x,1 − 2a cos x + a2|a| < 1,−π 6 x 6 π.Решение. Согласно формулам Эйлера (∗), имеемcos x =z2 + 1,2zsin x =2z2 − 1,2izгде z = eix . Подставим эти выражения в f (x) и преобразуем получившуюсярациональную функцию переменной z следующим образом:a sin xa(z 2 − 1)111f (x) ==.=−1 − 2a cos x + a22i(1 − az)(z − a)2i 1 − az 1 − a/zПоскольку |az| = |aeix | = |a| < 1 и |a/z| = |ae−ix | = |a| < 1, то дроби11 − az11 − a/zиявляются суммами бесконечных геометрических прогрессий и, в частности,разлагаются в хорошо известные степенные ряды (тут вся суть!). В результатеполучаем ряд Фурье функции f в комплексной форме:∞∞ X∞∞1 X n n X an1 X n inx−inxf (x) =a z −=ae−e=an sin nx.2izn2in=0n=0n=1n=14. Используя комплексную форму ряда Фурье разложите следующиефункции в ряд Фурье, считая, что |a| < 1:(а) f (x) =1 − a2,1 − 2a cos x + a2Ответ: (а) 1 + 2∞P(б) f (x) =∞Pan cos nx; (б) 2n=11 − a cos x.1 − 2a cos x + a2an cos nx.n=05.

Используя комплексную форму ряда Фурье разложите в ряд Фурьефункции (а) f (x) = ln | sin(x/2)|; (б) f (x) = ln | tg(x/2)|.Ответ:(а)− ln 2 −∞Xcos nxn=1(б)−2n,∞Xcos(2n + 1)xn=02n + 1,x 6= 2πk,k ∈ Z;x 6= πk,k ∈ Z.6. Докажите принцип локализации, утверждающий, что если f1 и f2— две 2π-периодические кусочно-гладкие функции, совпадающие в некоторой окрестности точки x0 ∈ R, то ряды Фурье функций f1 и f2 вточке x0 сходятся или расходятся одновременно и притом к одной итой же сумме.3Семинар № 3: Равенство Ляпунова.Суммирование числовых рядов с помощью рядов Фурье1. Докажите принцип локализации, утверждающий, что если f1 и f2— две 2π-периодические кусочно-гладкие функции, совпадающие в некоторой окрестности точки x0 ∈ R, то ряды Фурье функций f1 и f2 вточке x0 сходятся или расходятся одновременно и притом к одной итой же сумме.2. Разложите в ряд Фурье 2π-периодическую функцию f , заданнуюна интервале 0 6 x < 2π формулой f (x) = (π − x)/2.

Используя эторазложение и равенство Ляпунова найдите сумму ряда∞X1.2nn=1Ответ:f (x) =∞Xsin nxnn=1∞X1π2=.2n6n=1, если 0 < x < 2π;3. Используя равенство Ляпунова для функции(1, если |x| < α;f (x) =0, если α < |x| < π,найдите суммы рядовS1 =∞Xsin2 nαn=1n2и S2 =∞Xcos2 nαn=1n22.α(π − α)π − 3πα + 3α2Ответ:S1 =; S2 =.264. Пусть кусочно-гладкая функция f непрерывна на промежутке [0, π].Докажите, что при выполнении условияZπf (x) dx = 00имеет место неравенствоZπ2f (x) dx 6Zπ0042f 0 (x) dx,называемое неравенством Стеклова, и убедитесь что равенство в нёмимеет место лишь для функций вида f (x) = A cos x.5. Пусть кусочно-гладкая функция f непрерывна на промежутке [0, π].Докажите, что при выполнении условий f (0) = f (π) = 0 имеет местонеравенствоZπZπ22f 0 (x) dx,f (x) dx 600также называемое неравенством Стеклова, и убедитесь, что равенствов нём имеет место лишь для функций вида f (x) = B sin x.6.

Докажите, что коэффициенты Фурье an , bn абсолютно интегрируемой на промежутке [−π, π] функции стремятся к нулю при n → ∞.5Семинар № 4: Решение дифференциальных уравненийс помощью рядов Фурье1. Докажите, что коэффициенты Фурье an , bn абсолютно интегрируемой на промежутке [−π, π] функции стремятся к нулю при n → ∞.2. Докажите, что комплексная форма равенства Ляпунова+∞X1|cn |2 =2πn=−∞Zπ|f (x)|2 dx−πсправедлива не только для вещественнозначных функций (как это былодоказано на лекциях), но и для комплекснозначных функций f : R → C.3. Волновое уравнение2∂ 2u2∂ u=a,∂t2∂x2где a — некоторая постоянная, описывает малые колебания однороднойструны (при этом считается, что положение струны в момент времени tсовпадает с графиком функции u(t, x), а величины u и ∂u/∂x считаютсямалыми).(1) Выведите волновое уравнение из второго закона Ньютона (т.

е. изсоотношения F = ma).Предположим, что струна(а) закреплена в концах x = 0, x = π (т. е. u(t, 0) = u(t, π) = 0 длявсех t > 0),(б) оттянута в начальный момент t = 0 в положение u(0, x) = f (x) и(в) отпущена без начальной скорости (т. е.∂u(0, x) = 0∂tдля всех x ∈ [0, π]).(2) Разлагая функцию u(t, x) в ряд Фурье по синусам, получите длярешения поставленной задачи формулу Даламбераu(t, x) =f (x + at) + f (x − at).2(3) Непосредственной проверкой убедитесь, что формула Даламберадаёт решение волнового уравнения, удовлетворяющее условиям (а)–(в).6Семинар № 5: Представление функции её интегралом ФурьеРазложение на полупрямой1. Волновое уравнение2∂ 2u2∂ u=a,∂t2∂x2где a — некоторая постоянная, описывает малые колебания однороднойструны (при этом считается, что положение струны в момент времени tсовпадает с графиком функции u(t, x), а величины u и ∂u/∂x считаютсямалыми).(1) Выведите волновое уравнение из второго закона Ньютона (т.

е. изсоотношения F = ma).Предположим, что струна(а) закреплена в концах x = 0, x = π (т. е. u(t, 0) = u(t, π) = 0 длявсех t > 0),(б) оттянута в начальный момент t = 0 в положение u(0, x) = f (x) и(в) отпущена без начальной скорости (т. е.∂u(0, x) = 0∂tдля всех x ∈ [0, π]).(2) Разлагая функцию u(t, x) в ряд Фурье по синусам, получите длярешения поставленной задачи формулу Даламбераu(t, x) =f (x + at) + f (x − at).2(3) Непосредственной проверкой убедитесь, что формула Даламберадаёт решение волнового уравнения, удовлетворяющее условиям (а)–(в).Теорема (о представимости функции в точке своим интегралом Фурье).Пусть f : R → R — кусочно-гладкая абсолютно интегрируемая функция.Тогда для любого x ∈ R справедливо равенство+∞Z1[a(y) cos yx + b(y) sin yx] dy = [f (x + 0) + f (x − 0)],207где1a(y) =π+∞Zf (t) cos ty dtи1b(y) =π−∞+∞Zf (t) sin ty dt.−∞Установите формулы, считая параметр2.Z+∞ π/2,sin ayπ/4,cos yx dy =y0,0a положительнымесли |x| < a,если |x| = a,если |x| > a.3.Z+∞1 − cos aycos yx dy =y2π(a − |x|)/2, если |x| 6 a,0,если |x| > a.04.Z+∞0( πsin πysin x, если |x| 6 π,sin yx dy =221−y0,если |x| > π.Представьте интегралом Фурье следующие функции, продолжив их(а) чётным и (б) нечётным образом на интервал (−∞, 0).5.sin x, если 0 6 x 6 π,f (x) =0,если x > π.R +∞R +∞ πyπyОтвет: (а) f (x) = π2 0 1+coscos xy dy; (б) f (x) = π2 0 sinsin xy dy.1−y 21−y 26.1, если 0 6 x 6 1,f (x) =0, если x > 1.RR +∞+∞yОтвет: (а) f (x) = π2 0 siny y cos xy dy; (б) f (x) = π2 0 1−cossin xy dy.y8Семинар № 6: Общие свойтва преобразования Фурье:сдвиг по фазе, сдвиг по аргументу, производная отпреобразования Фурье и преобразование Фурье от производной.Нахождение преобразования Фурье конкретных функцийВ задачах 1–4 решите интегральные уравнения, считая что x изменяется в указанных пределах.1.Z+∞1,x > 0.f (y) cos xy dy =1 + x20Ответ: f (y) = e−y , y > 0.2.Z+∞f (y) cos xy dy =1,1 + x2x ∈ R.1,1 + x2x > 0.0Ответ: f (y) = e−y , y > 0.3.Z+∞f (y) sin xy dy =0R +∞Ответ: f (y) = (2/π) 0 (1 + x2 )−1 sin xy dx; этот интеграл не берётсяв элементарных функциях, но его можнопреобразовать к виду f (y) =R +∞−yy[e Ei (y) − e Ei (−y)]/π, где Ei (y) = − −y e−x /x dx — так называемаяинтегральная экспонента.4.Z+∞1,x ∈ R.f (y) sin xy dy =1 + x20Ответ: Нет решений.∨∨5.

Докажите, что fb(x) =f (−x) и f (x) = fb(−x).6. Докажите линейность прямого и обратного преобразований Фурье,т. е. установите, что для любых a, b ∈ C справедливы равенстваF+ [af + bg] = aF+ [f ] + bF+ [g]и9F− [af + bg] = aF− [f ] + bF− [g].7. Докажите, что формулы обращения справедливы для комплекснозначных функций, а не только для вещественно-значных, как было доказано на лекции.В задачах 8–11 докажите равенства и найдите их аналоги для обратного преобразования Фурье, считая a вещественным числом, а f : R → C— непрерывной абсолютно интегрируемой функцией,8.