1611689219-34138cb19538412e83350f6586eb365d (Балакина Лекции)

Ïðîãðàììà êóðñà phys.nsu.ru/ok03/programs.htmlÑïèñîê ëèòåðàòóðû.[1] Êîðîáêîâ Ì.Â. Ëåêöèè ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ñåìåñòð I.[2] Ðîìàíêî Â.Ê. Êóðñ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.[3] Ýëüñãîëüö Ë.Ý. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå.[4] Ïåòðîâñêèé È.Ã. Ëåêöèè ïî òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.[5] Ïîíòðÿãèí Ë.Ñ. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.[6] Àðíîëüä Â.È. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.[7] Áàëàêèíà Å.Þ.

Ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: íåìíîãîòåîðèè è ðåøåíèÿ çàäà÷Çàäà÷íèêè[1] Ôèëèïïîâ À.Ô. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì.[2] Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì è âàðèàöèîííîìó èñ÷èñëåíèþ. Ïîä ðåä. Ðîìàíêî Â.Ê.ÃËÀÂÀ I. ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÏÅÐÂÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀŸ1. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿÍà÷í¼ì ñ òîãî, ÷òî òàêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (ä.ó.).Îïðåäåëåíèå.Îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì 1-îãî ïîðÿäêà íà-çûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèå ñëåäóþùåãî âèäà:G(x, y, y 0 ) = 0,ãäå x íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, x ∈ ha, bi, y(x) íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ, y 0 =ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè y.Ðàññìàòðèâàåìñëó÷àé, êîãäà x ∈ R, y(x) âåùåñòâåííîçíà÷íàÿ.dydxÎáîçíà÷àåì ÷åðåç ha, bi ïðîìåæóòîê âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R, êîãäà íå âàæíî,âêëþ÷åíû ãðàíè÷íûå òî÷êèâ íåãî èëè íåò, ò.å.

ýòî ìîæåò îçíà÷àòü âñå âàðèàíòû:[a, b], (a, b), [a, b), (a, b].Îïðåäåëåíèå.Îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì n-îãî ïîðÿäêà íà-çûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèå ñëåäóþùåãî âèäà:G x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0,ãäå x íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, x ∈ ha, bi, y(x) íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ, y (i) =i-àÿïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè y, i = 1, . . .

, n.di ydxi òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âûäåëÿþò âñåãî äâà òèïà óðàâíåíèé.Ïåðâûå ýòî îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ýòî òå, â êîòîðûõ íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ y çàâèñèò îò îäíîé ïåðåìåííîé (ó íàñ x ∈ ha, bi ⊂ R) è, ñîîòâåòñòâåííî, ïðèñóòñòâóþò ïîëíûå ïðîèçâîäíûå y 0 , y 00 , y 000 . . . Âòîðûå ýòî óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Ýòî â ñëó÷àå, êîãäà íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ y çàâèñèò1îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ x1 , x2 , x3 è ò.ä, à â óðàâíåíèè òîãäà èìåþòñÿ ÷àñòíûåïðîèçâîäíûå ïî ýòèì ïåðåìåííûì. Ïî÷òè âåñü íàø êóðñ ïîñâÿù¼í îáûêíîâåííûìäèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì.Ïðèâåä¼ì íåñêîëüêî ïðîñòåéøèõ ïðèìåðîâ âîçíèêíîâåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé ïðè îïèñàíèè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ.Ïðîöåññ ðàñïàäà ðàäèîàêòèâíîãî âåùåñòâà.

Ïóñòü y(t) êîëè÷åñòâî âåùåñòâà, íåðàñïàâøåãîñÿ ê ìîìåíòó âðåìåíè t. Èçâåñòíî, ÷òî ñêîðîñòü ðàñïàäà ïðàïîðöèîíàëüíà êîëè÷åñòâó âåùåñòâà, ïîýòîìó ïîëó÷àåì çàêîí ïðîöåññà ðàñïàäà:dy= −γy,dtãäå γ êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, γ = const. Çíàê ìèíóñ â ïðàâîé ÷àñòèñòîèò, ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâî âåùåñòâà óìåíüøàåòñÿ.Ïîëó÷èëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå 1-îãî ïîðÿäêà. Ðåøåíèå åãî y(t) = Ce−γt ,ãäå C ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.Óðàâíåíèå êîëåáàíèÿ. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå òî÷êè ìàññû m ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé ïîä äåéñòâèåì ñèëû óïðóãîñòè ïðóæèíû æ¼ñòêîñòè k .

Îòêëîíåíèå òåëàâ ìîìåíò âðåìåíè t îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ îáîçíà÷èì ÷åðåç x(t), òîãäà â ñèëóâòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òî÷êè áóäåò ñëåäóþùèì:mẍ = −kx.Îáû÷íî ýòî óðàâíåíèå çàïèñûâàåòñÿ â âèäåmẍ + kx = 0.Åãî ðåøåíèårx(t) = C1 cos!r !kkt + C2 sint ,mmãäå C1 , C2 ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû. Âîñïîëüçîâàâøèñü òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìóëîé ñèíóñà ñóììû, ðåøåíèå ìîæíî çàïèñàòü èíà÷å!rkx(t) = A sint+α .mÀìïëèòóäó A è íà÷àëüíóþ ôàçó α ìîæíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü èç íà÷àëüíûõ óñëîqkâèé, ò.å. îò ïîëîæåíèÿ è ñêîðîñòè â ìîìåíò t = 0. ×àñòîòà êîëåáàíèé ω =mîïðåäåëÿåòñÿ ìàññîé òåëà è æ¼ñòêîñòüþ ïðóæèíû.{íóæåí ðèñóíîê}Óðàâíåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè òî÷êà ìàññû m, ïîäâåøåííàÿ íà íåðàñòÿæèìîé íèòè äëèíû l, äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè. Óãîë îòêëîíåíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t îò âåðòèêàëüíîãî ïîëîæåíèÿ ϕ(t).

Ñèëàòÿæåñòè, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, ðàñïàäàåòñÿ íà äâå ñîñòàâëÿþùèå. Ñîñòàâëÿþùàÿ,2íàïðàâëåííàÿ ïî ðàäèóñó, óðàâíîâåøèâàåòñÿ ñèëîé íàòÿæåíèÿ íèòè, ñîñòàâëÿþùàÿïî êàñàòåëüíîé ðàâíà −mg sin ϕ (åñëè çà ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå íà êàñàòåëüíîé ïðèíÿòü íàïðàâëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå âîçðàñòàíèþ óãëà ϕ). Ïî âòîðîìó çàêîíóÍüþòîíàmẍ = −mg sin ϕ,ãäå x(t) äëèíà äóãè îêðóæíîñòè, ò.å.

x(t) = lϕ(t), òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåìlϕ̈ + g sin ϕ = 0.Ýòî óðàâíåíèå íå èìååò ðåøåíèé â âèäå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, íî èõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû áåñêîíå÷íûõ ðÿäîâ. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî óãîë ϕ â ïðîöåññåäâèæåíèÿ ìàë, òî ìîæíî çàìåíèòü sin ϕ íà ϕ, òîãäà óðàâíåíèå ïðèìåò âèä óðàâíåíèÿêîëåáàíèÿ èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà:lϕ̈ + gϕ = 0.{íóæåí ðèñóíîê}Èòàê, ïåðåéä¼ì ê òåîðèè. íàøåì êóðñå ìû â îñíîâíîì áóäåì èçó÷àòü äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ðàçðåø¼ííûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé.Âîçüì¼ì ôóíêöèþ f : D → R, ÷òî îçíà÷àåò âåùåñòâåííîçíà÷íóþ ôóíêöèþ ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D. Ìíîæåñòâî D äâóìåðíîå, ò.å. D ⊂ R2 . Ðàññìîòðèì óðàâíåíèåâèäày 0 = f (x, y).(1)Ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà, ðàçðåø¼ííîå îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé.Îïðåäåëåíèå.

Ôóíêöèÿ y : ha, bi → R íàçûâàåòñÿäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1), åñëè ïðè ïîäñòàíîâêå ýòîé ôóíêöèè â (1) ïîëó÷èì òîæåñòâî, ò.å.y 0 (x) = f (x, y(x)) äëÿ âñåõ x ∈ ha, bi.ðåøåíèåìÇàìå÷àíèå ê îïðåäåëåíèþ.îäíîìà) Ñðàçó áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ðåøåíèå îïðåäåëåíî íàèíòåðâàëå.

Ýòîóäîáíî áóäåò â äàëüíåéøåì: âî-ïåðâûõ, ðåøåíèÿ íóæíû áóäóò íåïðåðûâíûå, âîâòîðûõ, êîãäà áóäåì èñêàòü ðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå íà÷àëüíûì äàííûì, ýòîóñëîâèå ïîçâîëèò íàõîäèòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.á) Ôóíêöèÿ f äîëæíà áûòü îïðåäåëåíà â òî÷êå (x, y(x)) äëÿ âñåõ x ∈ ha, bi, çíà÷èò,(x, y(x)) äëÿ âñåõ x ∈ ha, bi ïðèíàäëåæèò D îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f . Èíà÷åãîâîðÿ, ãðàôèê ôóíêöèè y(x) äëÿ x ∈ ha, bi ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó D.â) Äîëæíà ñóùåñòâîâàòü ïðîèçâîäíàÿ y 0 (x) äëÿ âñåõ x ∈ ha, bi, à ñëåäîâàòåëüíî,y ∈ (ha, bi), ò.å. ôóíêöèÿ y(x) íåïðåðûâíà íà ha, bi.CŸ2. Íåïðîäîëæàåìûå ðåøåíèÿ.

Çàäà÷à Êîøè. Òåîðåìà Ïåàíî. ÒåîðåìàÏèêàðà.Ðàññìîòðèì ïðîñòîé ïðèìåðy 0 = y.3Ìîæíî óêàçàòü äâà ðåøåíèÿ: y(x) = ex , x ∈ (−12, 12], è y(x) = ex , x ∈ [−5, 3). Ýòî äâåðàçëè÷íûå ôóíêöèè (ïîñêîëüêó îáëàñòè îïðåäåëåíèé ðàçëè÷íû, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òîîíè ñîâïàäàþò íà îáùåì èíòåðâàëå ñóùåñòâîâàíèÿ), çíà÷èò, ýòî äâà ðàçëè÷íûõ ðåøåíèÿ. Èç èõ ïðåäñòàâëåíèÿ âèäíî, ÷òî ïåðâîå êàê áû "ïðîäîëæàåò" âòîðîå. Ìîæíîñôîðìóëèðîâàòü ýòî áîëåå ñòðîãî.Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü ôóíêöèÿ ϕ : ha, bi → R ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ä.ó. (1), ôóíêöèÿ ψ : hc, di → R òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ä.ó. (1).

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ðåøåíèå ϕψ , åñëèà) hc, di ⊂ ha, bi,á) ϕ(x) = ψ(x) äëÿ âñåõ x ∈ hc, di.{íóæåí ðèñóíîê}Òàêèì îáðàçîì ìîæíî îïðåäåëèòü "ñàìîå äëèííîå ðåøåíèå" , òî, êîòîðîå íåëüçÿïðîäîëæèòü íè âëåâî, íè âïðàâî.Îïðåäåëåíèå. Ðåøåíèå ϕ : ha, bi → R ä.ó. (1) , åñëè íå ñóùåñòâóåò íè îäíîãî ïðîäîëæàþùåãî åãî ðåøåíèÿ. äàëüíéøåì ðåøåíèÿ ñðàçó áóäåì ïðåäïîëàãàòü íåïðîäîëæàåìûìè.Ïðèìåð.

Ðàññìîòðèì ä.ó.y.y0 = 2x −yïðîäîëæàåòíåïðîäîëæàåìîåÇäåñü f (x, y) = x2y−y , å¼ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D = R2 \ {y = x2 }. Òîãäày(x) = 0, x ∈ R, íå ðåøåíèå, ïîñêîëüêó ïðè x = 0 èìååì y = 0, à â òî÷êå (0, 0)ôóíêöèÿ f íå îïðåäåëåíà;y(x) = 0, x ∈ R \ {0}, íå ðåøåíèå, ïîñêîëüêó îïðåäåëåíî íå íà îäíîì èíòåðâàëå;y(x) = 0, x ∈ (3, 9], ïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå;y(x) = 0, x ∈ (0, +∞), íåïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå.Âåðí¼ìñÿ ê ä.ó.y 0 = y.Ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé äàæå ñðåäè íåïðîäîëæàåìûõ.

Ýòî, íàïðèìåð, y(x) = ex , x ∈ R, è y(x) = 2ex , x ∈ R, è, âîîáùå, y(x) = Cex , x ∈ R, ãäå C ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.{íóæåí ðèñóíîê}Ñðåäè ýòîãî áåñêîíå÷íîãî êîëè÷åñòâà ðåøåíèé ìîæíî âûáðàòü îñîáåííîå, íàïðèìåð òî, êîòîðîå ïðîõîäèò ÷åðåç êîíêðåòíóþ òî÷êó. Çàäà÷à î íàõîæäåíèè òàêîãî ðåøåíèÿ íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé Êîøè.Îïðåäåëåíèå. Âîçüì¼ì òî÷êó (x0 , y0 ) ∈ D.äëÿ óðàâíåíèÿ (1) ñíà÷àëüíûì óñëîâèåì y(x0 ) = y0 ýòî çàäà÷à îá îòûñêàíèè ðåøåíèÿ ä.ó. (1), ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç òî÷êó (x0 , y0 ): 0y = f (x, y),(ÇÊ(x0 , y0 ))y(x0 ) = y0 .Çàäà÷à ÊîøèÏðèìåð.y 0 = y,y(0) = 3.4Îáùåå ðåøåíèå ä.ó. y(x) = Cex , x ∈ R, ãäå C ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà. Ïîäñòàâèìíà÷àëüíîå óñëîâèå y(0) = 3 â ýòî îáùåå ïðåäñòàâëåíèå: 3 = Ce0 .

Çíà÷èò, C = 3, àðåøåíèå çàäà÷è Êîøè åäèíñòâåííîå: y(x) = 3ex , x ∈ R.Íî êàê ïîêàæóò ïðèìåðû, ó çàäà÷è Êîøè ìîæåò áûòü êàê åäèíñòâåííîå ðåøåíèå,òàê è ñîâñåì íå áûòü ðåøåíèé, ëèáî èõ ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî. Ýòî çàâèñèò îò ñàìîãî ä.ó., à òàêæå îò òîãî, ãäå âûáèðàåì íà÷àëüíóþ òî÷êó.  íåêîòîðûõñëó÷àÿõ èç âèäà ä.ó., íå ðåøàÿ åãî, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î ïðîõîæäåíèè ðåøåíèÿ÷åðåç íà÷àëüíóþ òî÷êó.

 äâóõ òåîðåìàõ, ïðèâåä¼ííûõ íèæå, óêàçûâàþòñÿ óñëîâèÿ,ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ ñðàçó ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ, îäíàêî ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïðè íàðóøåíèè ýòèõ óñëîâèé íèêàêèõ âûâîäîâ î ðåøåíèè íåëüçÿ ñäåëàòü.Òåîðåìà Ïåàíî.Ïóñòü(ò.å. ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå D), íåïóñòîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî,òîãäàäëÿ ëþáîé òî÷êè (x0, y0) ∈ D ñóùåñòâóåò íåïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå ÇÊ(x0, y0),âîçìîæíî, íå îäíî,è ëþáîå íåïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå ÇÊ(x0, y0) îïðåäåëåíî íà îòêðûòîì èíòåðâàëå.f ∈ C(D)D ⊂ R2Òåîðåìà Ïèêàðà.Ïóñòü, ∂f∂y ∈ C(D) (ò.å. ôóíêöèè f è ∂f∂y íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå D), íåïóñòîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî,òîãäàäëÿ ëþáîé òî÷êè (x0, y0) ∈ D ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå íåïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå ÇÊ(x0, y0),è îíî îïðåäåëåíî íà îòêðûòîì èíòåðâàëå (α(x0, y0), ω(x0, y0)).f ∈ C(D)D ⊂ R2Òåîðåìû óòâåðæäàþò, ÷òî åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü ä.ó. (1) íåïðåðûâíà â íåêîòîðîìíåïóñòîì îòêðûòîì ìíîæåñòâå D, òî ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó ýòîãî ìíîæåñòâà îáÿçàòåëüíî ïðîõîäèò ãðàôèê íåïðîäîëæàåìîãî ðåøåíèÿ ä.ó(1), ïðè÷¼ì, ìîæåò ïðîõîäèòüíåñêîëüêî ãðàôèêîâ ðåøåíèé (òåîðåìà Ïåàíî).

Åñëè, êðîìå ýòîãî, åù¼ è ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f ïî ïåðåìåííîé y íåïðåðûâíà â D, òî ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó ýòîãîìíîæåñòâà ïðîõîäèò åäèíñòâåííûé ãðàôèê íåïðîäîëæàåìîãî ðåøåíèÿ ä.ó(1) (òåîðåìà Ïèêàðà).Ïðèìåð.  ä.ó.yy0 =xïðàâàÿ ÷àñòü èìååò âèä f (x, y) = xy , êîòîðàÿ íå îïðåäåëåíà íà ïðÿìîé x = 0. ×àñòíàÿïðîèçâîäíàÿ ∂f= x1 òàêæå íå îïðåäåëåíà íà ïðÿìîé x = 0. Ïîýòîìó äëÿ ïðèìåíå∂yíèÿ òåîðåìû Ïèêàðà â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà D ìîæíî âçÿòü, íàïðèìåð, ëåâóþ èëèïðàâóþ ïîëóïëîñêîñòü.  ïåðâîì ñëó÷àå èìååì f ∈ C({x < 0}), ∂f∈ C({x < 0}),∂yD = {x < 0} íåïóñòîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî. Òîãäà ïî òåîðåìå Ïèêàðà ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïîëóïëîñêîñòè {x < 0} ïðîõîäèò ãðàôèê åäèíñòâåííîãî íåïðîäîëæàåìîãîðåøåíèÿ.

Ïðî ïðÿìóþ x = 0 ìîæíî ñðàçó ñêàçàòü, ÷òî ÷åðåç íå¼ ðåøåíèÿ íå ïðîõîäÿò,ïîñêîëüêó îíà íå âõîäèò â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè f .5Åñëè íàéòè ðåøåíèå â ÿâíîì âèäå, òî ýòî ïîëóïðÿìûå y(x) = Cx, îïðåäåë¼ííûåíà (−∞, 0) èëè (0, +∞). Îòñþäà òîæå âèäíî, ÷òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ëåâîé èëèïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè ïðîõîäèò ïî îäíîé ïîëóïðÿìîé.Ïðèìåð.  ä.ó.py 0 = 2 |y|pïðàâàÿ ÷àñòü èìååò âèä f (x, y) = 2 |y|, êîòîðàÿ íåïðåðûâíà íà âñ¼ì R2 , à ÷àñòíàÿ= sign(y) √1 íå îïðåäåëåíà íà ïðÿìîé y = 0.