1611689153-ff8ba254ceab11a988b2048c78c4b3df (Вопросы к экзамену Ткачев)

Вопросы к экзамену по курсу дифференциальных уравнений III -IVсеместры (2019 г.)Составил д.ф.-м.н. Д.Л. Ткачев1.Обыкновенные дифференциальные уравнения и системыуравнений. Основные определения, сведения из теории матриц.2.Разрешимость задачи Коши для однородных линейных систем спостоянными коэффициентами.3.Пространство решений системы с постоянными коэффициентамии одного линейного уравнения произвольного порядка. ФормулаОстроградского - Лиувилля.4.Фундаментальная матрица и матричная экспонента.5.Вычисление матричной экспоненты для некоторых специальныхматриц.6.Каноническое представление матричной экспоненты.7.Фундаментальная система решений задачи Коши для одноголинейного уравнения с постоянными коэффициентами.8.Системы неоднородных линейных уравнений с постояннымикоэффициентами.

Теорема о непрерывной зависимости отпараметра.9.Системы линейных дифференциальных уравнений спеременными коэффициентами. Свойства решений задачи Коши.Априорные оценки.10. Доказательство Эйлера существования решения задачи Коши длялинейного дифференциального уравнения с переменнымикоэффициентами методом ломаных. Теорема Пеано.11. Примеры неединственности. Теорема Осгуда о единственности.12. Теорема Пикара- Линделсфа. Лемма Адамара.13.

Продолжение решений. Теорема о покидании компакта.14. Обсуждение утверждений локальной теоремы существованиярешений задачи Коши. Существование решений задачи Коши вцелом. Функции Ляпунова. Формулировка теоремы осуществовании решения задачи Коши в целом по времени.Примеры.15. Функции Ляпунова. Доказательство теоремы о существованиирешения задачи Коши в целом по времени.16. Непрерывная и дифференцируемая зависимость решения задачиКоши от параметра.

Примеры.17. Краевые задачи для линейных систем уравнений первого порядкана отрезке. Матрица Грина. Собственные значения.18. Ограниченные решения линейных неоднородных систем спостоянными коэффициентами. Лемма Гельфанда-Шилова.19. Краевые задачи на полупрямой. Условие Лопатинского.20. Линейные уравнения второго порядка.

Теоремы о расположениинулей решения. Примеры.21.22.23.24.25.26.27.Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных чисел исобственных функций. Теорема об осцилляции (формулировка).Краевые задачи на отрезке для уравнений второго порядка спеременными коэффициентами. Функция Грина.Самосопряженные задачи на собственные числа. Функция Грина.Теорема о полноте системы собственных функцийсамосопряженного оператора и теорема РиссаФишсрэ(формулировка).Устойчивость по Ляпунову. Линейные системы с постояннымикоэффициентами.Матричное уравнение Ляпунова.Функции Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости. ТеоремаЧетасва о неустойчивости. Примеры.Теорема об устойчивости для почти линейных уравнений.Критерий устойчивости неустойчивости.

Примеры..