1611689146-901c87a414705c4bbb4e5092d6132de3 (Программа курса Блохин)

Д.ф.-м.н., проф. Блохин А.М.Обыкновенные дифференциальные уравнения3-й и 4-й семестры, 2013/14 уч.год1.Организационно-методический раздел.1. Название курса: Обыкновенные дифференциальные уравнения.Курсобыкновенных дифференциальных уравнений с одной стороны являетсяобщематематической дисциплиной, а с другой стороны выступает как продолжение идополнение к курсу математического анализа.2. Цели и задачи курса. Дисциплина ”Обыкновенные дифференциальные уравнения”является основой для дальнейшего изучения таких разделов математики, как уравненияматематической физики, функциональный анализ, вычислительная математика.

Сдругой стороны, хорошие знания по этому курсу необходимы студентам, изучающимкурсы теоретической механики, механики сплошной среды и т.д.3. Требования к уровню освоения содержания курса. По окончанию изученияуказанной дисциплины студент должен без труда уметь находить решения простейшихобыкновенных дифференциальных уравнений.4. Формы контроля. Для контроля усвоения дисциплины предусмотрен зачет (после 3-госеместра) и экзамен (после 4-го семестра).

В течении каждого семестра выполняютсяконтрольные работы (не реже 1-го раза в месяц), принимаются коллоквиумы (1-2коллоквиума в семестр).2.Содержание дисциплины.1. Новизна курса: в целенаправленном использовании понятия матричной экспоненты приизложении материала курса.2. Распределение часов.Лекции: 68 часов.Консультации: 27 часов.Прием экзаменов: 48 часов.Семинары: 68 часов.Зачеты: 4 часа (на группу).Проверка контрольных: 48 часов.3. Содержание отдельных разделов и тем.2.3.1 Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами.Единственность и существование решений у однородных уравнений. Пространстворешений системы с постоянными коэффициентами и одного уравнения произвольногопорядка.

Фундаментальная система решений и определитель ее матрицы.Фундаментальная матрица и матричная экспонента. Вычисление матричной экспонентыдля некоторых специальных матриц. Каноническое представление матричнойэкспоненты. Фундаментальные системы решений одного линейного уравнения спостоянными коэффициентами.2.3.2Системанеоднородныхлинейныхуравненийспостояннымикоэффициентами. Теорема о непрерывной зависимости решений от параметра.2.3.3Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами.Априорная оценка решений.

Существование и единственность решения задачиКоши. Основные свойства решений. Уравнение произвольного порядка спеременными коэффициентами.2.3.4Существование и единственность решений не обязательно линейных системдифференциальных уравнений с достаточно гладкими правыми частями.Лемма Адамара. Обсуждение утверждений локальной теоремы существования.Достаточные условия для существования решений в целом.2.3.5Непрерывная дифференцируемая зависимость решений от параметра.Примеры на теорему о дифференцируемости решений по параметру.2.3.6Определение устойчивости и асимптотической устойчивости. Устойчивостьи неустойчивость нулевого решения линейной системы в зависимости отрасположения собственных значений.

Матричное уравнение Ляпунова. ФункцииЛяпунова. Критерии устойчивости и неустойчивости.2.3.7Первые интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений иуравнения в частных производных первого порядка. Представление общегорешения линейного однородного уравнения с частными производными.Квазилинейные уравнения с частными производными. Уравнение ГамильтонаЯкоби.

Условие интегрируемости уравнений u xi = Ai ( x u ) , i = 1 n2.3.8Краевые задачи для линейных систем уравнений первого порядка. МатрицаГрина. Собственные значения. Ограниченные решения линейных неоднородныхсистем с постоянными коэффициентами. Краевые условия, удовлетворяющиеусловию Лопатинского.

Линейное уравнение 2-го порядка.2.4 Перечень примерных задач, позволяющих контролировать степень усвоенияматериала курса.1. Докажите неравенства Курантаmin ( A)  y 1  ( Ay y )  max ( A)  y 2 Здесь A( = A ) - эрмитова матрица, min ( A) , max ( A) - наименьшее и наибольшеесобственные значения матрицы A.2. Найдите такие вектора y , на которых достигаются равенства в левом и правом неравенствахКурантаmin ( A)  y 2  ( Ay y )  max ( A)  y 2 3. Докажите неравенство A   A Eгде  A = max( A Ay y ) - операторная норма матрицы A, y=1 A E =nai  j =1ij2 - евклидова норма матрицы A = ( aij ) .4. Докажите неравенство Am   A mгде m  0 - целое число.5.

Докажите неравенство Ay  A    y  Здесь A - квадратная матрица порядка N .6. Докажите, что  A = 0  A = 0N . Здесь A - квадратная матрица порядка N , 0 N - нулеваяматрица порядка N .7. Построить векторный ряд для решения системыy = Ayгде 0 −1A=1 0 y00  y  20 y (0) = y9 = 8. Построить векторный ряд для решения системыy = Ayгде2 2 0 y10 A =  0 2 2   y (0) = y0 =  y40  0 0 2y  30 9. Доказать равномерную сходимость рядовttky0 + Ay0 +  + M k y0 + 1kиmk −1 k0 + Ay0 +  +A y0 + (k − 1)где y0 - постоянный вектор, A - матрица порядка N с постоянными коэффициентами, t  T   .10. Пусть1 05 1A= B = 0 20 0Покажите, чтоetA  etAetB 11.

Докажите неравенство треугольника A + B  A  +  B где A , B - квадратные матрицы порядка N .12. Покажите, чтоet ( A+ B ) = etAntB  AB = BA13. Пустьnlk =0k =0P( A) =  pk Ak  Q( A) =  qk Ak где pi , i = 0 k , q j , j = 0 l - некоторые постоянные.Покажите, что et ( P+Q ) = etP etQ 14.

Докажите, что для любой матрицы A = (aij )  aij  A  15. Доказать, что произведение двух верхних треугольных матриц будет снова верхнейтреугольной матрицей. Вывести отсюда утверждение, что etA , где A - верхняя треугольнаяматрица, будет тоже верхней треугольной матрицей.16. Показать, что решение Задача Коши для матричного уравненияX (t ) = X (t ) B X (0) = Cдается формулой X (t ) = CeBt 17.

Пусть (см. Теорему Шура) A = U U  Доказать, что A =   Здесь  - верхняя треугольная матрица.18. Показать, что решение матричного уравненияX (t ) = AX (t ) + X (t ) B X (0) = Cдается формулойX (t ) = e At Ce Bt 19. Покажите, что если уравнение с вещественными коэффициентамиx ( N ) + p1 x ( N −8) +  + pN −1 x + pN x = 0имеет некратные корни 1 2  N , среди которых есть пара комплексно сопряженных t( j  j +1 =  j ) , то в фундаментальной системе решений можно комплексные экспоненты e j ,e j заменить на вещественные решения et cos( t ) et sin( t ) ( j =  + i )t20.

Постройте для уравнения с вещественными коэффициентами и комплексными корнямивещественную фундаментальную систему, в случае, если среди корней есть кратные.21. Покажите, что для уравнения с вещественными коэффициентами совокупность частныхрешенийt 1tt k1 −1 1t1tx1 (t ) = e  x2 (t ) = e … xk1 (t ) =e 1(k1 − 1)t 2tt k2 −1 2txk1 +1 (t ) = e  xk1 + 2 (t ) = e … xk1 + k2 (t ) =e …1(k2 − 1)2tt kP −1 PtxN (t ) =e (k P − 1)pгде  = 1 является корнем кратности k1 и т.д. ( ki = N ) образует фундаментальнуюi =1систему решений.22.

Докажите, что матричная экспонента etA непрерывно зависит от матрицы A .23. Пусть дана системаy = A(t ) yс непрерывными коэффициентами на отрезке [0 T ] . Известно, что на отрезке [0 T ]  max( A + A )  0 . Предполагая, что на отрезке [0 T ] существуют решение задачиy = A(t ) y y(0) = b 0  t  T доказать, что y(t )  b  при0  t  T 24. Даны матричные уравненияX  = A(t ) X  X (0) = IиY  = −YA(t ) Y (0) = I Показать, чтоY (t ) = X −1 (t )25. Известно, что любое решение Задачи Кошиt  R1 y  = Byy (0)= y0таково, что  y (t ) 2 = y0 2 . Показать, что это справедливо тогда и только тогда, когдаB = − B ( B -постоянная матрица).26. СистемаY ( s ) = −Y ( s ) A( s ) 0  s  t Y (t ) = Iназывается сопряженной по отношению к системе X (t ) = A(t ) X (t ) t  0X (0) = I Показать, чтоY (s) = X (t ) X −1 (s)27. Показать, что решение матричного уравненияdX = AX + XB X (0) = Cdtдается равенствомX = etACetB 28. Пусть дано уравнение y = f (t y) где 2tприy  t 2 2yf (t  y ) = приt 2  y  −t 2 t−2tприy  −t 2 Убедитесь, что эта функция непрерывная (в том числе при y = t = 0 ).

Докажите, что задачаКошиy = f (t y) y(0) = 0имеет бесконечно много решений. Почему?29. Пусть дано уравнение y = f (t y) , гдедляt = 0 y   0 2tдля0  t  1 −  y  0f (t  y ) = 4yдля0  t  1 0  y  t 22t − tдля0  t  1 t 2  y   −2tНа множестве 0  t  1 ,  y   функция f (t y) непрерывна и ограничена постоянной: f (t y)  2 (докажите).