1611688968-9f72443e33c80bdba8dbc14ec23d3935 (Задача по практикуму интерполяция)

Тема лабораторной работы: интерполяция классическимимногочленами.Задание — общая часть.На оси x на интервале [0, 1] в узлах интерполяции xi = (x0 −3h, x0 −h, x0 +h, x0 +3h), которые принадлежатнекоторой разностной сетке на оси x, заданы значения fi гладкой функции f (x) (в качестве данных задачи fiможно взять значения одной из тестовых функций exp x, sin x, x7 ). По данным fi построить интерполяционныймногочлен Ph (x). Выписать таблицу, в первом столбце которой записаны номера строк таблицы j = 1, 2, 3, ...,во втором столбце — последовательно значения hj = h, h/2, h/4, ...

— шагов сетки на оси x, которые задаютпоследовательность сеток, в третьем столбце — значения погрешности интерполяции rhj (x0 ) = f (x0 ) − Phj (x0 ),в четвертом столбце, начиная со второй строки (j = 2), — значения величины m=log2 (|rhj−1 (x0 )/rhj (x0 )|), впятом столбце, начиная с третьей строки (j = 3), — значения величины n=log2 (|rhj−2 (x0 )−rhj−1 (x0 )|/|rhj−1 (x0 )−rhj (x0 )|)= log2 (|Phj−2 (x0 ) − Phj−1 (x0 )|/|Phj−1 (x0 ) − Phj (x0 )|).Пронаблюдать на последовательности сеток с шагами hj в фиксированной точке x0 и h = 0.1 сходимостьпогрешности интерполяции и величин m и n.Показать, что для достаточно гладкой функции на последовательности hj , стремящемся к нулю, пределывеличин m и n совпадают и характеризуют порядок малости r(x0 ) — погрешности интерполяции.Тоже самое проделать, взяв в качестве фиксированных точки x0 − 4h и x0 − 6h. Объяснить полученныерезультаты.Укажите наименьшее целое значение k в неравенстве 10k < h < 10k+1 , которое гарантирует точность нехуже 10−14 в решении задачи.С целью освоения компьютерной графики написать вариант программы, которая выводит результаты в файлданных, используемый графической системой для построения графиков результатов.

Например, для построенияодного графика в системе GNUPLOT надо вывести в файл данных n строк чисел, в каждой строке по два числаxi , yi (i = 1, 2, ..., n) – значения координат точки на графике функции y(x).В конце выполнения первой лабораторной работы в каждом задании построить графики приближаемойфункции (сплошной линией) одним цветом и заметными точками другого цвета значения интерполянта с некоторым шагом на отрезке оси x, длина которого превышает в 5 раз расстояние между крайними узлами интерполяции. Можно использовать любую доступную для вас (с демонстрацией результата в компьютерном классе)графическую систему.Для использования системы GNUPLOT познакмьтесь для начала с предоставленной вам краткой инструкцией.

Освойте по описанию системы одновременное построение графиков нескольких функций на одном рисунке.Желательно также познакомиться с использованием графической системы для построения двумерных графиков функций от двух переменных и т. д.Вариант 1 — конкретная часть задания.Выполнить задание, взяв в качестве Ph (x) многочлен Лагранжа второй степени, построенный по трем первымуказанным узлам интерполяции, и многочлен Лагранжа третьей степени, построенный по четырем узлам интерполяции.Вариант 2 — конкретная часть задания.Выполнить задание, взяв в качестве Ph (x) многочлен Ньютона второй степени, построенный по трем первымуказанным узлам интерполяции, и многочлен Ньютона третьей степени, построенный по четырем узлам интерполяции.Вариант 3 — конкретная часть задания.Выполнить задание, взяв в качестве Ph (x) многочлен Лагранжа второй степени, построенный по трем первымуказанным узлам интерполяции, и многочлен Эрмита, построенный по тем же узлам с кратностью 2 в каждомузле.

Для построения указанного многочлена Эрмита использовать в качестве данных также значения произво′дных fi в рассматриваемых узлах интерполяции.Список литературы[1] Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы, 1987.[2] Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.[3] Барахнин В.Б. Шапеев В.П. Введение в численный анализ. Учебное пособие.

НГУ, 1997..