1611688706-6619025f6aa6f03464a8956b2b23b27e (Билеты)

ВОПРОСЫпо курсу лекций «Вычислительные методы анализа и линейной алгебры»(3 семестр обучения ММФ НГУ, II поток, лектор С.П. Шарый)1. Задачи интерполирования и приближения функций. Алгебраическая интерполяция. Существование и единственность решения задачи алгебраической интерполяции. Интерполяционный полином Лагранжа.2. Разделённые разности и их свойства. Формула для прямого представления разделённых разностей.

Интерполяционный полином Ньютона.3. Оценка погрешности алгебраической интерполяции с простыми узлами.Связь разделённых разностей функции с её производными.4. Полиномы Чебышёва, их различные представления. Свойства полиномов Чебышёва. Применение полиномов Чебышёва в интерполировании.5. Задача алгебраической интерполяции с кратными узлами, существование и единственность её решения. Оценка погрешности алгебраическойинтерполяции с кратными узлами.6. Понятие интерполяционного процесса и его сходимости. Примеры Бернштейна и Рунге.

Теорема Фабера и теорема Марцинкевича, их значениедля теории интерполяции. Условия сходимости интерполяционных процессов по чебышёвским узлам.7. Понятие о сплайне, мотивации конструкции сплайна. Степень сплайна, его дефект. Интерполяционный кубический сплайн (без построения),точность приближения им функции и её производных. Естественные кубические сплайны и их экстремальное свойство. Теорема Холладея.8. Интерполяционные кубические сплайны и их построение.9. Задача приближения функций.

Единственность её решения для нормированных пространств. Наилучшее приближение в евклидовом пространстве. Метод наименьших квадратов. Выбор базисных функций вметоде наименьших квадратов.10. Псевдорешения систем линейных алгебраических уравнений. Метод наименьших квадратов для нахождения псевдорешений систем линейныхуравнений. Трансформация Гаусса и нормальная система уравнений.Разрешимость нормальной системы уравнений.11.

Полиномы Лежандра, их свойства. Формула Родрига. Применение полиномов Лежандра в задачах приближения.12. Задача численного интегрирования. Квадратурные формулы и их остаточные члены. Интерполяционные квадратурные формулы, формулыНьютона-Котеса.

Необходимое и достаточное условие принадлежностиквадратурной формулы к интерполяционным. Квадратурные формулыпрямоугольников и трапеций, оценка их погрешности.13. Квадратурная формула Симпсона, оценка её погрешности. Составныеквадратурные формулы, их погрешность. Простейшие составные квадратурные формулы и оценки их погрешности.14. Алгебраическая степень точности квадратурных формул. Задача оптимизации квадратур и формулы Гаусса.

Простейшие квадратуры Гаусса.15. Выбор узлов для квадратурных формул Гаусса в общем случае. Построение квадратурных формул Гаусса. Погрешность квадратур Гаусса.16. Сингулярные числа и сингулярные векторы матрицы. Сингулярное разложение матрицы. Спектральный радиус и его свойства. Связь спектрального радиуса матрицы и асимптотического поведения её степеней.17.

Нормы в пространствах векторов и матриц, их применение. Эквивалентность норм. Согласованные и подчинённые матричные нормы, их существование. Примеры согласования и подчинения. Подчинённые матричные нормы для популярных векторных норм.18. Понятие об обусловленности математической задачи. Число обусловленности матрицы и оценка погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений через погрешности входных данных. Примерыхорошо обусловленных и плохо обусловленных матриц.19.

Матрицы с диагональным преобладанием. Признак Адамара неособенности матриц. Круги Гершгорина. Теорема Гершгорина. Теорема АлбергаНильсона.20. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений,его матричная интерпретация. Различные способы выбора ведущего элемента. Выполнимость метода Гаусса с выбором ведущего элемента.21. LU-разложение матрицы, его связь с методом Гаусса для решения системлинейных уравнений. Условия существования LU-разложения матриц.Сильно регулярные матрицы. Выполнимость метода Гаусса для системлинейных уравнений с сильно регулярными матрицами.22.

Разложение Холесского для матриц, его существование и единственность.23. Метод Холесского (квадратного корня) для решения систем линейныхуравнений.24. Поведение числа обусловленности при матричных преобразованиях. Мотивация применения ортогональных преобразований в вычислительнойлинейной алгебре. QR-разложение матриц. Матрицы вращений и отражений, их свойства и применение.25. Ортогональные матрицы отражения (матрицы Хаусхолдера), их свойства и применение.26. Метод Хаусхолдера (отражений) для решения систем линейных уравнений.

Ортогональные матрицы вращений (матрицы Гивенса), их применение. Метод вращений для решения систем линейных уравнений.27. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Необходимое и достаточное условие сходимости стационарных одношаговых итерационных методов.

Доказательство необходимости.28. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Необходимое и достаточное условие сходимости стационарных одношаговых итерационных методов. Доказательство достаточности.29. Способы подготовки системы линейных алгебраических уравнений к итерационному решению. Предобуславливание. Расщепление матрицы системы.

Метод Ричардсона и оптимизация простейшего скалярного предобуславливателя.30. Итерационный метод Якоби, условия его сходимости. Сходимость метода Якоби для линейных систем, матрицы которых имеют диагональноепреобладание.31. Итерационный метод Гаусса-Зейделя, его матричное представление. Сходимость метода Гаусса-Зейделя для линейных систем, матрицы которыхимеют диагональное преобладание.

Другие достаточные условия сходимости.32. Итерационный метод релаксации для решения линейных систем уравнений. Необходимое условие его сходимости, лемма Кахана. Достаточныеусловия сходимости. Теорема Островского-Райха.33. Нестационарные итерационные методы для решения систем линейныхалгебраических уравнений, различные подходы к их построению. Функционал энергии, взаимоотношение задачи его минимизации и решениялинейной системы.34.

Метод наискорейшего спуска для решения систем линейных алгебраических уравнений, оценка его скорости сходимости.35. Метод сопряжённых градиентов для линейных систем с симметричнымиположительно определёнными матрицами. Свойства его последовательных шагов, конечная сходимость. Общая оценка скорости сходимости.36. Оценка погрешности приближённого решения системы линейных алгебраических уравнений.

Оценка погрешности стационарного одношаговогоитерационного метода через последовательные итерации.Литература[1] Барахнин В.Б., Шапеев В.П. Введение в численный анализ. – Санкт-Петербург–Москва– Краснодар: Лань, 2005.[2] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – Москва:Бином, 2003, а также другие издания этой книги.[3] Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений.

Т. 1–2. – Москва: Наука, 1966.[4] Вержбицкий В.М. Численные методы. Части 1–2. – Москва: «Оникс 21 век», 2005.[5] Волков Е.А. Численные методы. – Москва: Наука, 1987.[6] Демидович Б.П., Марон А.А. Основы вычислительной математики. – Москва: Наука,1970.[7] Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. – Москва: Мир, 2001.[8] Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры.

– Новосибирск:Наука, 1993.[9] Крылов А.Н. Лекции о приближённых вычислениях. – Москва: ГИТТЛ, 1954, а такжеболее ранние издания.[10] Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т. 1–2. –Москва: Наука, 1976.[11] Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – Москва: Наука, 1989.[12] Тыртышников Е.Е. Методы численного анализа. – Москва: Академия, 2007.[13] Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н.

Вычислительные методы линейной алгебры. –Москва–Ленинград: Физматлит, 1963.[14] Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. – Москва: Мир, 1989.[15] Шарый С.П. Курс вычислительных методов. – Новосибирск: НГУ, 2017. – Электронныйучебник, доступный на http://www.ict.nsc.ru/matmod/index.php?file=u_posobiya.