1611688706-cf7da02cf74fdf700abd2806869a9518 (Билеты и решения)

Задача №1Показать, что для любой квадратной n × n-матрицы A имеетместо неравенство1cond∞ (A)≤≤ n.ncond2(A)Задача №2Верно ли, что любую матрицу Хаусхолдера (отражения) можнопредставить конечным произведением матриц вращения?Верно ли, что любую матрицу вращения можно представитьконечным произведением матриц Хаусхолдера (отражения)?Задача №3Сходится ли метод наискорейшего спуска для решения системылинейных алгебраических уравнений Ax = b с матрицей3 2 1A =  2 2 2  ???1 2 4Задача №4Сплайн второй степени s(x) интерполирует таблично заданнуюфункцию, значения которой следующиеi0123xi 0.0 1.0 2.0 3.0 ,yi 0.0 1.0 0.0 0.0причём s0 (0) = 0. Найти значение s(1.5).Задача №5Вычислить разделенную разность второго порядка от функцииf (x) = x3 − 3x2 + 1.Задача №6Показать, что для n×n-матриц A = (aij ) величинаM(A) = n max |aij |i,jявляется матричной нормой, которая согласована с векторными нормами kxk2 и kxk∞.Задача №7К системе линейных алгебраических уравнений2 14x=,3 411имеющей решение (1, 2)>, применяется метод Якоби с начальным приближением (0, 0)>.

Оцените количество итераций,необходимое для достижения абсолютной точности приближённого решения 10−6 в 1-норме.Задача №8К системе линейных алгебраических уравнений2 15x=,3 410имеющей решение (2, 1)>, применяется метод Гаусса-Зейделя сначальным приближением (0, 0)>. Оцените количество итераций, необходимое для достижения абсолютной точности приближённого решения 10−6 в 1-норме.Задача №9Для матрицы2 33 4!найти LU-разложение и разложение Холесского.Задача №10Найти, для каких значений p и q при любом начальном приближении сходится итерационный процессx(k+1) ← Ax(k)с матрицей A, такой чтоp −qA=,q pp2 + q 2 = 1.Задача №11Подсчитайте количество арифметических операций при решении системы линейных алгебраических уравнений методомГаусса.Задача №12Докажите, что число обусловленности cond2 (A) не меняетсяпри перестановке строк или столбцов матрицы A.Задача №13Оценить число подынтервалов равномерного разбиения исходного интервала интегрирования, необходимых для вычисленияинтегралаZ 1dx0 x+2по составной квадратурной формуле прямоугольников с погрешностью = 10−3.Задача №14Оценить число подынтервалов равномерного разбиения исходного интервала интегрирования, необходимых для вычисленияинтегралаZ 1dx20 1+xпо составной квадратурной формуле трапеций с погрешностью = 10−4.Задача №15Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами наотрезке [1, 2].Задача №16Вычислить первую и вторую производные от таблично заданной функции yi = f (xi), i = 0, 1, 2, в точке x̃ = 1.0, еслиi0xi0.0121.0 3.0yi −0.5 0.5 1.2Задача №17√С какой точностью можно вычислить 115 с помощью интер√поляционной формулы Лагранжа для функции f (x) = x, выбрав узлы интерполирования x0 = 100, x1 = 121 и x2 = 144?Задача №18Оценить максимальную погрешность кусочно-линейной интерполяции функции sin x на интервале [0, 1] c равномерным шагом h = 0.01.Задача №19По двум узлам построить квадратурную формулу с равнымикоэффициентами видаZ1−1f (x) dx ≈ C2Xf (xk )k=1наивысшей алгебраической степени точности (такие формулыназывают формулами Чебышёва).Задача №20На интервале [−1, 1] задана таблица значений функции ex спостоянным шагом h = xi+1 − xi.

Значение функции в произвольной точке x∗ ∈ [−1, 1] восстанавливается с помощью интерполяционного многочлена Ньютона по трём ближайшим узлам.Каким должен быть шаг h таблицы, чтобы погрешность интерполяции не превышала 10−5?Задача №21Используя метод Ньютона для решения уравнения x2 = a, построить алгоритм для приближённого вычисления неотрица√тельного значения a.Задача №22Найти значения параметра τ , для которых будет сходится метод простой итерацииk = 0, 1, 2, .

. .x(k+1) ← x(k) − τ Ax(k) − b ,в применении к системе линейных уравнений с матрицей!1 2A=.2 3Задача №23Удовлетворяет ли функция f (x) = 13 (cos x − 1) на интервале[0, 1] условиям принципа сжимающих отображений?Задача №24Докажите, что уравнениеx+12sin x + a = 0имеет единственный корень при любом вещественном a.Задача №25Исследовать сходимость метода Гаусса-Зейделя в применениик системе!!1 α2011x =α 12012в зависимости от параметра α.Задача №26Найти оптимальный параметр τ для метода простой итерацииx(k+1) ← x(k) − τ Ax(k) − b ,применённого к системе линейных3 1A= 1 30 1уравнений с матрицей01 .3Задача №27Подсчитайте количество арифметических операций, затрачиваемое для получения QR-разложения n × n-матрицы с помощьюэлементарных матриц вращения.Задача №28Методом Гаусса решить систему линейных уравнений x1 + x2 + x3 = 3,2x1 + x2 + 2x3 = 5,4x1 + x3=5Задача №29Будет ли сходиться степенной метод в применении к матрице!0 −1???10Задача №30Для матрицыA =1 23 4!найти значения чисел обусловленности cond1 (A) и cond2 (A).Задача №31На интервале [0, 4] методом наименьших квадратов найти среднеквадратичное приближение (с единичным весом) для функ√ции f (x) = x с помощью полинома первой степени.

Найтизначение среднеквадратичного отклонения f (x) от этого полинома.Задача №32На интервале [0, 1] методом наименьших квадратов найти среднеквадратичное приближение (с единичным весом) для функцииxf (x) =x+3полиномом первой степени. Найти значение среднеквадратичного отклонения f (x) от этого полинома.Задача №33Показать, что формула для численного нахождения второйпроизводной функции на равномерном шаблоне из трёх точекявляется точной для любого полинома третьей степени.Задача №34Для решения некоторой системы линейных алгебраическихуравнений организован итерационный процесс0 0.5 0.128x(k+1) ←  0.4 0 0.3  x(k) +  1  .0.6 0.2 02012Как называется этот итерационный процесс? Будет ли он сходиться к решению системы?Задача №35Быстро оцените множество4 2 11локализации спектра матрицы2 1 15 3 2 .3 6 0 2 0 7Задача №36Для приближённого вычисления интегралаZ 2f (x) dx−2постройте квадратурную формулу интерполяционного типа поузлам −1, 0 и 1..