2019 лекции 8-10 (Лекции (2019))

Часть II. Диффузия, теплопроводность, вязкостьГлава 8. Явления переноса. Принцип локального равновесия (2). Диффузия, закон Фика(2). Теплопроводность, закон Фурье (4). Вязкость, закон вязкости Ньютона (5).Коэффициенты диффузии, теплопроводности и вязкости в идеальном газе (6).Теплопроводность ультраразреженного газа (9).

Эффузия, эффект Кнудсена (11).Диффузия в кристаллах (13).Глава 9. Вязкая жидкость. Движение пластины в вязкой жидкости (15). Течение потрубе, формула Пуазейля (16). Движение шара, формула Стокса (17). Турбулентноетечение (19).Глава 10. Броуновское движение и диффузия. Подвижность частиц, связь междукоэффициентами подвижности и диффузии (21).

Броуновское движение (22). УравнениеЛанжевена (25). Формулы Эйнштейна-Смолуховского и Стокса-Эйнштейна (25).Одномерные блуждания: распределение по величинам перемещений (27). Нестационарнаядиффузия, уравнение диффузии (31).1Глава 8. Явления переноса8.1. Принцип локального равновесияВ среде могут иметь место неоднородности концентрации компонентов смеси,температуры, скорости перемещения макроскопических масс вещества. Из-за этихнеоднородностей возникает перенос соответственно вещества, энергии и импульса.

Этотперенос возникает из-за движения молекул, возникающие при этом явления объединеныобщим названием явлений переноса. При этом перенос компонентов вещества называетсядиффузией, перенос тепла называется теплопроводностью, перенос импульса называетсявязкостью.Явления переноса можно рассматривать на основе так называемого принципа (илигипотезы) локального равновесия, который состоит в следующем.

В достаточно маломобъеме вещества – по сравнению с размером упомянутой неоднородности –устанавливается локальное равновесие с некоторой плотностью, температурой, скоростьюперемещения макроскопических масс вещества. В другом подобном объеме такжеустанавливается равновесное состояние, но с другими значениями параметров. Такимобразом, каждой точке пространства можно приписать свою плотность, температуру идругие параметры.Принцип локального равновесия можно применять как для газов, так и дляконденсированной среды – жидкостей и твердых тел. Для газов возможно количественноеописание на основе теории столкновений.

Так как достаточно, чтобы для установленияравновесия каждая из молекул испытала одно-два соударения, можно считать, что размеробласти газа, для которой применим принцип локального равновесия, порядка длинысвободного пробега  .8.2. Диффузия, закон ФикаЕсли в составе молекул вещества имеется примесь молекул другого типа, и эта примесьв объеме вещества распределена неоднородно (например, примесь вводится искусственнов какой-то точке объема), то из-за хаотического движения молекул примесь начнетстремиться к равномерному пространственному распределению.

Возникнет переносвещества примеси – его диффузия. Когда смешиваемые вещества близки (например,отличаются лишь изотопным составом), или когда можно следить за самими молекуламивещества (такие методики сейчас существуют), говорят о самодиффузии.n(x)n(x-)j+n(x+)jРис. 8.1.xx-x-xx+2Заметим, что для газов молекулярную диффузию следует отличать от процессовконвекции – перемещения макроскопических объемов газа из-за градиентов давления.Процессы конвенции приводят обычно к гораздо более быстрому распространениюпримеси вещества в объеме.Будем считать, что конвекция отсутствует и рассмотрим случай одномерной диффузии– когда примесь другого вещества распределена неравномерно вдоль некоторой оси х, сконцентрацией n(х) (рис. 8.1).

Далее, пусть имеет место стационарная ситуация, когдараспределение n(х) от времени не зависит. Это означает, что справа имеется источникпримесного вещества, а слева – его сток. Давление и температура везде одинаковы, ибудем считать, что выполняется принцип локального равновесия.Выделим перпендикулярную оси х единичную площадку. Найдем поток молекул черезэту площадку. Для газа размер области локального равновесия порядка длины свободногопробега λ. Тогда можно говорить о локальных плотностях примеси на расстояниях x   .Поток через площадку в газе определяется произведением средней скорости v иплотности n(х), потоки j слева в положительном направлении оси х и справа j вотрицательном направлении этой оси соответственно будут (для потоков используемобозначения в виде прописных букв, чтобы подчеркнуть, что речь идет о движениимолекул малых примесей):j  vn( x   ),j  vn( x   ) .Здесь мы пренебрегаем численными коэффициентами порядка единицы из-за того, чтомолекулы могут достигать площадку под разными углами, а здесь пока мы это неучитываем.

(Более точный расчет для идеального газа будет представлен ниже.)Результирующий поток j в направлении оси х есть их сумма:j  j  j  vn( x   )  vn( x   )  v (n( x ) dn( x )dn( x )dn( x )  n( x )  )  v dxdxdx .(8.1)(появляющийся численный коэффициент в виде двойки также здесь опускаем). Мы видим,что диффузионный поток пропорционален градиенту концентрации:j  Ddn,dx(8.2)где D  v  есть коэффициент пропорциональности. Это коэффициент называетсякоэффициентом диффузии.

Его размерность см2/с. Его можно представить также какD  v  2 / ,(8.3)где  - среднее время между столкновениями. Знак минус в (8.2) означает, что потоквозникает в направлении убывания концентрации.3Более подробное теоретическое рассмотрение и многочисленные экспериментальныеисследования показывают, что пропорциональность диффузионного потока градиентуконцентрации оказывается общим законом, справедливым как для газов, так и дляжидкостей и для твердых тел.

Этот общий закон называется законом Фика.8.3. Теплопроводность, закон ФурьеЕсли между двумя стенками, имеющими разные температуры, находится слойвещества, то через него осуществляется перенос тепла от горячей стенки к холодной(рис. 8.2, Т2 > T1). Будем считать, что применима гипотеза локального равновесия. Длягаза это означает, что длина свободного пробега  много меньше расстояния l междустенками. Требуется найти поток тепла q через единичную площадку с координатой x всечении, параллельном стенкам.J+J-x-x x x-xT1xТ2 > T1T2Рис. 8.2Слева и справа через это сечение проходят потоки частиц J+ и  J  соответственно.

Взамкнутом пространстве имеет место равновесие, поэтому эти потоки равны (суммарныйпоток равен нулю, в этом отличие данной ситуации от рассмотренного выше случаядиффузии):J  J  J .(Иначе бы количество молекул где-то увеличивалось, а где-то уменьшалось.) Частицы,пересекающие сечение справа, имеют более высокую температуру, чем частицы,пересекающие сечение слева, в результате чего через сечение осуществляется переносэнергии справа налево. Если речь идет об одноатомном газе, то каждая молекулапереносит среднее количество энергии, равное  = 3/2kT. В общем случае надо писатьc  V T ( cV  молярная теплоемкость, NA  число Авогадро).NAДля одномерного потока, как и в предыдущем случае, будем считать размеробласти локального равновесия порядка длины свободного пробега λ. Тогда можноdT (опятьговорить о локальной температуре на расстояниях x   : T ( x   )  T ( x ) dx4пренебрегая тем, что молекулы могут достигать площадку под разными углами).

Потокэнергии в направлении оси х через единицу площади сечения с координатой x с учетом(2.11) и по аналогии с (8.1) равенq  q  q  JcVcc dTT (x  )  J V T (x  )  J  V.NANAN A dxИлиq  кdT.dx(8.4)где вводится коэффициент теплопроводности:  DncVNA(8.5)(так как J ~ vn , а D ~ v  ).Отметим, что в газе  не зависит от его плотности, так как  ~1, иnсоответственно коэффициент диффузии D обратно пропорционален плотности n.В первомприближениикоэффициенттеплопроводностиможносчитатьпропорциональным корню квадратному из температуры (отметим, что сечение  такжеможет немного зависеть от температуры).Как и в аналогичном случае с диффузией, формула (8.5) подтверждается наэксперименте для самых разных сред (газы, жидкости, твердые тела).

Формула (8.5)называется законом Фурье. Коэффициент теплопроводности κ измеряетсяэкспериментально. При решении некоторых практических задач оказывается полезнымтакже так называемый коэффициент температуропроводности 1 NADn cV(8.6)8.4. Вязкость, закон вязкости НьютонаПри течении газа или жидкости в канале или при обтекании какого-либо телавозникают макроскопические градиенты скорости, обусловленные наличиемвзаимодействия с твердыми поверхностями. Из-за молекулярного теплового движениямежду слоями вещества, движущимися с различными скоростями, происходит переносимпульса.

На рис. 8.3 показан пример появления градиента скорости. Вещество в видегаза иди жидкости находится между двумя пластинами. Нижняя пластина покоится, аверхняя движется с некоторой скоростью. Из-за сил молекулярного взаимодействиямежду веществом и пластинами в непосредственной близости от нижней пластинывещество тоже не движется (имеется в виду макроскопическое перемещение, а нетепловое молекулярное движение), в то время как вблизи верхней пластины оно5перемещается со скоростью пластины. В результате возникает градиентмакроскопической скорости вдоль направления х.Молекулы, попадающие в некоторый слой вещества из соседнего, приносят с собоймакроскопический импульс, отличный от того, каким обладают молекулы данного слоя. Встолкновениях с молекулами разница в импульсах теряется.

Изменение импульса вединицу времени есть сила. Так как поток молекул – это их количество, прошедшее заединицу времени через единичную площадь, то при его умножении на переносимыйкаждой молекулой импульс получается отнесенная к единице площади сила внутреннеготрения между движущимися слоями газа. Сила внутреннего трения, отнесенная кединичной площади, называется напряжением внутреннего трения, обозначается τ.Рис. 8.3.Задачу определения сил трения между слоями можно рассматривать так же, как ипредыдущие задачи по переносу вещества и тепла.

Различие состоит лишь в том, чтоздесь поток молекул необходимо умножать на переносимый импульс mu(x), где m –масса молекулы, u(x)  перпендикулярная оси х скорость течения вещества. Тогда вcпредыдущем рассмотрении вместо энергии V T (x) надо использовать импульс mu(x).NAДля напряжения силы трения τ аналогично (8.4) тогда получим:  du / dx,(8.7)где   коэффициент вязкости. Полученная формула называется формулой (законом)вязкости Ньютона. Причем  mnDКоэффициент вязкости  называется еще динамической вязкостью.