1611703129-794ecdc8c73d9c35e4e8cbdbc4ce6f0b (Н. А. Кудрявцева - Программа курса)

ËÈÍÅÉÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ È ÃÅÎÌÅÒÐÈßËåêòîð Íàòàëüÿ Àíàòîëüåâíà ÊóäðÿâöåâàÏðîãðàììà êóðñà ëåêöèé(2-é ñåìåñòð, ëåêöèè 32 ÷., ñåìèíàðû 32 ÷., ýêç.)1. Âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâàÀáñòðàêòíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâîîïðåäåëåíèå, ïðèìåðû. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ñèñòåìû âåêòîðîâ. Òåîðåìû î ëèíåéíî çàâèñèìûõñèñòåìàõ âåêòîðîâ. Ðàçìåðíîñòü è áàçèñ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ýêâèâàëåíòíûå ñèñòåìû âåêòîðîâ. Êîîðäèíàòû âåêòîðà. Ïåðåõîä ê äðóãîìó áàçèñó. Ìàòðèöà ïåðåõîäà. Èçìåíåíèå êîîðäèíàò âåêòîðà ïðèïåðåõîäå ê äðóãîìó áàçèñó. Èçîìîðôèçì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè.Ïîäïðîñòðàíñòâî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ñóììà è ïåðåñå÷åíèåïîäïðîñòðàíñòâ.

Ôîðìóëà ðàçìåðíîñòåé Ãðàññìàíà. Ïðÿìàÿ ñóììàïîäïðîñòðàíñòâ. Êðèòåðèè ïðÿìîé ñóììû. Äîïîëíèòåëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî.2. Ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿËèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ. Îïðåäåëåíèå, ïðèìåðû, ñâîéñòâà. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ, ïåðåâîäÿùåãî îäèí áàçèñ â äðóãîé. Ìàòðèöà ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ. Îïðåäåëåíèå, ïðèìåðû. Òåîðåìà î âçàèìíîîäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ìåæäó ëèíåéíûìèîòîáðàæåíèÿìè è ìàòðèöàìè.

Êîîðäèíàòû îáðàçà âåêòîðà ïðè ëèíåéíîì îòîáðàæåíèè. Ìàòðèöà ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ â ðàçíûõ áàçèñàõ.ßäðî è îáðàç ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ, èõ ñâîéñòâà. Òåîðåìà î ðàçìåðíîñòè ÿäðà è îáðàçà. Ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé.Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî îïåðàòîðîâ.

Ëèíåéíûå ôîðìû. Äâîéñòâåííîå ïðîñòðàíñòâî.Èçìåíåíèå êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ôîðìû ïðèñìåíå áàçèñà.333. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû.Äèàãîíàëèçàöèÿ ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.Èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà. Êëåòî÷íîäèàãîíàëüíûé âèäìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûåâåêòîðû, ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, îòâå÷àþùèõ ðàçíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.

Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-Êýëè (áåç äîêàçàòåëüñòâà). Äèàãîíàëèçèðóåìîñòü ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. Ïðèìåðû íåäèàãîíàëèçèðóåìûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ. Àëãåáðàè÷åñêàÿ è ãåîìåòðè÷åñêàÿ êðàòíîñòü ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Êðèòåðèé äèàãîíàëèçèðóåìîñòè ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.4. Æîðäàíîâà ôîðìà ëèíåéíîãî îïåðàòîðàÊîðíåâûå âåêòîðû, êîðíåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà. Òåîðåìà î ðàñùåïëåíèè ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ( áåç äîêàçàòåëüñòâà).

Æîðäàíîâà êëåòêà.Ñîáñòâåííûå è ïðèñîåäèíåííûå âåêòîðà. Òåîðåìà î æîðäàíîâîé ôîðìå ( áåç äîêàçàòåëüñòâà) Ôóíêöèè îò ìàòðèö. Ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà.5. Ãåîìåòðèÿ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâÅâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî , îïðåäåëåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.Ïðèìåðû åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ. Íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãîè íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà. Îðòîãîíàëüíûå âåêòîðû, îïðåäåëåíèå.Òåîðåìà Ïèôàãîðà.Äëèíû âåêòîðîâ è óãëû â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè ÃðàìàØìèäòà. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå.

ÌàòðèöàÃðàìàîïðåäåëåíèå, ñâîéñòâà. Âûðàæåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ÷åðåç ìàòðèöó Ãðàìà. Ñâÿçü ìàòðèö Ãðàìà ðàçíûõ áàçèñîâ. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû Ãðàìà. Èçîìåòðè÷åñêèé èçîìîðôèçì åâêëèäîâûõïðîñòðàíñòâ îäíîé ðàçìåðíîñòè.Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê ïîäïðîñòðàíñòâó.Òåîðåìà î ðàçëîæåíèè ïðîñòðàíñòâà â ïðÿìóþ ñóììó ïîäïðîñòðàíñòâà è åãî îðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ. Ðàññòîÿíèå îò âåêòîðà äî ïîäïðîñòðàíñòâà. Íàõîæäåíèå îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè âåêòîðà íà ïîäïðîñòðàíñòâî.346. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû íà åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõÑîïðÿæåííûé îïåðàòîð-îïðåäåëåíèå, ïðèìåðû, ñâîéñòâà. Òåîðåìàî ñóùåñòâîâàíèè ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà.

Ñâîéñòâà îïåðàöèè ñîïðÿæåíèÿ. ßäðà è îáðàçû îïåðàòîðîâ A è A∗ . Àëüòåðíàòèâà Ôðåäãîëüìà.Óíèòàðíûå îïåðàòîðû, èçîìåòðè÷íûå îïåðàòîðû. Êðèòåðèè óíèòàðíîñòè. Ëåììà î ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ óíèòàðíîãî îïåðàòîðà.Ëåììà îá èíâàðèàíòíîñòè îðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ. Òåîðåìà î êàíîíè÷åñêîì âèäå ìàòðèöû óíèòàðíîãî îïåðàòîðà. Ìàòðèöû îðòîãîíàëüíîãî îïåðàòîðà ðàçìåðíîñòåé 2 è 3. Òåîðåìà î êàíîíè÷åñêîì âèäå ìàòðèöû îðòîãîíàëüíîãî îïåðàòîðà. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû î êàíîíè÷åñêîì âèäå ìàòðèöû îðòîãîíàëüíîãî îïåðàòîðà.Òåîðåìà Ýéëåðà.Ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîðîïðåäåëåíèå, ïðèìåðû. Êðèòåðèé ñàìîñîïðÿæåííîñòè. Òåîðåìà î êàíîíè÷åñêîì âèäå ìàòðèöû ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà.

Ïðèâåäåíèå êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ê ãëàâíûì îñÿì.Ïðèâåäåíèå ïàðû ôîðì ê äèàãîíàëüíîìó âèäó.Ïîëîæèòåëüíûå îïåðàòîðû. Êðèòåðèè ïîëîæèòåëüíîñòè. Êîðåíüèç îïåðàòîðà. Ñèíãóëÿðíàÿ ïàðà áàçèñîâ è ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå.Ïîëÿðíîå ðàçëîæåíèå.7. Òåíçîðíàÿ àëãåáðàÈíäåêñíûå îáîçíà÷åíèÿ.

Îáúåêòû.Îïåðàöèè íàä îáúåêòàìè. Ñèììåòðè÷íûå è àíòèñèììåòðè÷íûå îáúåêòû. Ñèìâîëû Êðîíåêåðà èËåâè×èâèòû.Òåíçîðû â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïðèìåðûâåêòîð è ëèíåéíûéôóíêöèîíàë, ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå è áèëèíåéíàÿ ôîðìà. Îïðåäåëåíèå òåíçîðà. Îáðàòíûé òåíçîðíûé ïðèçíàê. Ëèíåéíûå îïåðàöèè ñ òåíçîðàìè. Ïðîèçâåäåíèå òåíçîðîâ, ñâåðòêà òåíçîðà. Ñèììåòðèçàöèÿ èàëüòåðíèðîâàíèå. Òåíçîðû â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ìåòðè÷åñêèéòåíçîð. Ïîäúåì è îïóñêàíèå èíäåêñîâ. Îðòîãîíàëüíûå òåíçîðû. Ïñåâäîòåíçîð.Ëèòåðàòóðà1.

Óëüÿíîâ À. Ï. Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèè.2. Äîëãóíöåâà È. À., Óëüÿíîâ À. Ï. Ïðàêòèêóì ïî àíàëèòè÷åñêîéãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå.353. Àëåêñàíäðîâà Í. À. Ñåìèíàðû ïî âûñøåé àëãåáðå è àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè.4. Êîñòðèêèí À. È. Ââåäåíèå â àëãåáðó. ×àñòü 2. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà.5. Êóðîø Â. Ã. Êóðñ âûñøåé àëãåáðû.6. Ôàääååâ Ä. Ê.

Ëåêöèè ïî àëãåáðå.7. Êîñòðèêèí À. È., Ìàíèí Þ. È. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ.8. Ãåëüôàíä È. Ì. Ëåêöèè ïî ëèíåéíîé àëãåáðå.9. Àëåêñàíäðîâ Â. À. Òåíçîðû äëÿ ôèçèêàïåðâîêóðñíèêà.10. Êîðåíåâ Ã. Â. Òåíçîðíîå èñ÷èñëåíèå.11. Ìàê-Êîííåë À. Äæ. Ââåäåíèå â òåíçîðíûé àíàëèç ñ ïðèëîæåíèÿìè ê ãåîìåòðèè, ìåõàíèêå è ôèçèêå.12. Äóáðîâèí Á. À., Íîâèêîâ Ñ. Ï., Ôîìåíêî À. Ò. Ñîâðåìåííàÿãåîìåòðèÿ. Ìåòîäû è ïðèëîæåíèÿ.13. Êîñòðèêèí À.

È. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àëãåáðå.14. Ïðîñêóðÿêîâ È. Â. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ëèíåéíîé àëãåáðå.15. Ôàääååâ Ä. Ê., Ñîìèíñêèé È. Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåéàëãåáðå.16. Áåêëåìèøåâà Ë. À., Ïåòðîâè÷ À. Þ., ×óáàðîâ È. À. Ñáîðíèêçàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå.Ïëàí ñåìèíàðîâ1. Àáñòðàêòíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî. (2 ÷àñà)2. Ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Áàçèñ ñóììû è ïåðåñå÷åíèÿ ïîäïðîñòðàíñòâ.

(2 ÷àñà)3. Ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, ëèíåéíûé îïåðàòîð. (2 ÷àñà)4. ßäðî è îáðàç ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ. (2 ÷àñà)5. Èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà. Ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðû. Äèàãîíàëèçàöèÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. (2 ÷àñà)6. Æîðäàíîâà íîðìàëüíàÿ ôîðìà ìàòðèöû. Ôóíêöèè îò ìàòðèö.(4 ÷àñà)7. Ãåîìåòðèÿ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ (2 ÷àñà)8.

Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå, ïðîåêöèÿ íà ïîäïðîñòðàíñòâî. (2 ÷àñà)9. Ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. Ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. Êàíîíè÷åñêèé âèä ìàòðèöû ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà. (3 ÷àñà)10. Îðòîãîíàëüíûé è óíèòàðíûé îïåðàòîðû. Êàíîíè÷åñêèé âèäìàòðèö îïåðàòîðîâ. (3 ÷àñà)3611. Ïðèâåäåíèå ôîðìû ê ãëàâíûì îñÿì.

Ïðèâåäåíèåïàðû ôîðì ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó. (2 ÷àñà)12. Ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå. Ïîëÿðíîå ðàçëîæåíèå. (2 ÷àñà)11. Òåíçîðíàÿ àëãåáðà. (4 ÷àñà)13. Ïîâòîðåíèå íàèáîëåå òðóäíûõ òåì. (2 ÷àñà)Çàäàíèÿ ïî ëèíåéíîé àëãåáðåè ãåîìåòðèèÇàäàíèÿ, ïîìå÷åííûå çâåçäî÷êîé, íå ÿâëÿþòñÿ îáÿçàòåëüíûìèäëÿ ïîëó÷åíèÿ äîïóñêà ê ýêçàìåíó, îäíàêî ïðèíîñÿò äîïîëíèòåëüíûå áàëëû. Âû÷èñëèòåëüíûå çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ ëèøü îáðàçöàìè, â ñîîòâåòñòâèè ñ íèìè ïðåïîäàâàòåëè âûäàäóò ñòóäåíòàì èíäèâèäóàëüíûå çàäàíèÿ.Çàäàíèå 5 (ñäàòü ê 18 ìàðòà )1. Íàéòè áàçèñû ñóììû è ïåðåñå÷åíèÿ ëèíåéíûõ îáîëî÷åêL1 = [1, 0, 0, 1]> , [0, 1, 2, −1]> , [2, −1, −1, 0]> ;L2 = [1, 0, 1, 0]> , [0, 1, −1, 3]> , [4, −1, −1, 1]> .2.

Íàéòè ìàòðèöó ïåðåõîäà îò áàçèñà {a1 , a2 , a3 } ê áàçèñó{b1 , b2 , b3 }:a1 = [1, 2, 0]> , a2 = [0, 1, −1]> ,a3 = [−1, 1, 3]> ;b1 = [2, 3, 1]> , b2 = [2, 1, −3]> , b3 = [−2, 6, 8]> .3. Äîêàçàòü, ÷òî êàæäàÿ èç äâóõ ñèñòåì ôóíêöèé t−t2 ,t3 , 1+5t+t3,(1 + t)3 è (1 + t)3 , (1 − t)3 , t − t2 + t3 , 1 + t + t2 + t3 ÿâëÿåòñÿáàçèñîì â ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå 3. Íàéòèìàòðèöó ïåðåõîäà îò ïåðâîãî áàçèñà êî âòîðîìó è êîîðäèíàòûìíîãî÷ëåíà â ïåðâîì áàçèñå, åñëè èçâåñòíû åãî êîîðäèíàòû âîâòîðîì.374. Âåêòîðûak , bk{e1 , e2 , e3 }:çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè â áàçèñåa1 = [2, 3, 5]> , a2 = [0, 1, 2]> ,a3 = [1, 0, 0]> ;b1 = [1, 1, 1]> , b2 = [1, 1, −1]> , b3 = [2, 1, 2]> .Íàéòè ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, ïåðåâîäÿùåãî ak â ñîîòâåòñòâóþùèå bk , â áàçèñå {e1 , e2 , e3 } è â áàçèñå {e3 , e2 + e3 , e1 +e2 + e3 }.5.

Ïóñòü a è níåíóëåâûå âåêòîðû òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, ïðè-÷åì (a, n) 6= 0, à Lïëîñêîñòü ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì n. Ïóñòüïðåîáðàçîâàíèå ϕ åñòü ïðîåêòèðîâàíèå íà L ïàðàëëåëüíî âåêòîðó a. Çàïèñàòü ôîðìóëîé ïðåîáðàçîâàíèå ϕ, ïðîâåðèòü åãî ëèíåéíîñòü, íàéòè ÿäðî è îáðàç.6. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî âñåõ êâàäðàòíûõ ìàòðèö ïî-ðÿäêà n åñòü ïðÿìàÿ ñóììà ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ L1 ñèììåòðè÷åñêèõ è L2 êîñîñèììåòðè÷åñêèõ ìàòðèö. Íàéòè ïðîåêöèè ìàòðèöû A íà L1 ïàðàëëåëüíî L2 è íà L2 ïàðàëëåëüíîL1 .1 1 ... 1 0 1 ...