2017.04.04_euclid2 (Семинары (2017))
Описание файла
Файл "2017.04.04_euclid2" внутри архива находится в папке "Семиныры 2017". PDF-файл из архива "Семинары (2017)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Ñîïðÿæ¼ííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ4 àïðåëÿ • 16135 ãðóïïàÏóñòü ϕ : E → E ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå n-ìåðíîãî åâêëèäîâà (óíèòàðíîãî) ïðîñòðàíñòâà E . Ïðåîáðàçîâàíèå ϕ∗ : E → E íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ïðåîáðàçîâàíèþ ϕ, åñëè äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Eâûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (ϕ(x), y) = (x, ϕ∗ (y)).Ñîïðÿæ¼ííîå ïðåîáðàçîâàíèå ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
 îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå ε = {e1 , . . . , en } ìàòðèöà ñîïðÿæ¼ííîãîTïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ∗ íàõîäèòñÿ òàê: [ϕ∗ ]ε = [ϕ]ε . ßñíî, ÷òî (ϕ∗ )∗ = ϕ.1. Ïóñòü e1, e2 îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ïëîñêîñòè è ëèíåéíîåϕ â áàçèñå f1 = e1, f2 = e1 + e2 èìååò ìàòðèöóµ ïðåîáðàçîâàíèå¶1 2. Íàéäèòå ìàòðèöó ñîïðÿæåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ∗ â òîì1 −1æå áàçèñå f1 , f2 .2. Ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå ϕ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà â áàçèñåèç âåêòîðîâ f1 = (1, 2, 1), f2 = (1, 1, 2), f3 = (1, 1, 0) çàäàíî ìàòðèöåé1 1 30 5 −1 .2 7 −3Íàéäèòå ìàòðèöó ñîïðÿæåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ∗ â òîì æå áàçèñå, ñ÷èòàÿ, ÷òî êîîðäèíàòû âåêòîðîâ áàçèñà äàíû â íåêîòîðîìîðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå.3. Ïóñòü x0y ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòèè ϕ ïðîåêòèðîâàíèå ïëîñêîñòè íà îñü 0x ïàðàëëåëüíî áèññåêòðèñå ïåðâîé è òðåòüåé ÷åòâåðòè.
Íàéäèòå ñîïðÿæåííîå ïðåîáðàçîâàíèå ϕ∗ .4. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ïîäïðîñòðàíñòâî L óíèòàðíîãî (èëè åâêëèäîâà) ïðîñòðàíñòâà èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ, òî îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå L⊥ èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ñîïðÿæåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ∗ .15. Íàïèøèòå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíîëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ, çàäàííîãî â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàíèåì áàçèñå åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà ìàòðèöåé4 −23 1711 −43 30 .15 −54 376.
Äîêàæèòå, ÷òî ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå ϕ óíèòàðíîãî ïðîñòðàíñòâà Cn èìååò èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ëþáîãî ÷èñëàèçìåðåíèé îò íóëÿ äî n.7. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå ϕ óíèòàðíîãî ïðîñòðàíñòâà Cn èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ1 , .
. . , λn , òî ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ñîïðÿæåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ∗ áóäóò ñîïðÿæåííûå ÷èñëà λ̄1 , . . . , λ̄n .2.