2017.03.09_operators-3 (Семинары (2017))
Описание файла
Файл "2017.03.09_operators-3" внутри архива находится в папке "Семиныры 2017". PDF-файл из архива "Семинары (2017)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Èíâàðèàíòíûå è êîðíåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà9 ìàðòà • 16135 ãðóïïàÎïðåäåëåíèå 1. Ïîäïðîñòðàíñòâî U ⊆ V íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ϕ ∈ L(V ), åñëè ϕ(U )⊆U .1. Íàéäèòå âñå ïîäïðîñòðàíñòâà òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, èíâàðèàíòíûåëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, çàäàííîãî îòíîñèòåëüíî4 −2 2ìàòðèöåé 2 0 2.−1 1 12. Íàéäèòå âñå ïîäïðîñòðàíñòâà òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, èí-âàðèàíòíûå îäíîâðåìåííî îòíîñèòåëüíîäâóõïðåîáðàçî ëèíåéíûõ5 −1 −1−6 2 3âàíèé, çàäàííûõ ìàòðèöàìè: −1 5 −1 è 2 −3 6.−1 −1 53 6 2Îïðåäåëåíèå 2.
Êîðíåâûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ : V → V äëÿ äàííîãî λ ∈ Spec(ϕ) íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâî V (λ) = {x ∈ V |(ϕ − λid)k x = 0 äëÿ íåêîòîðîãî k > 0}.Æîðäàíîâîé öåïî÷êîé íàçûâàåòñÿ íàáîð âåêòîðîâ v1 , . . . , vk ∈V (λ) òàêîé, ÷òî(ϕ − λid)vk = vk−1, . . . , (ϕ − λid)v2 = v1, (ϕ − λid)v1 = 0.Âåêòîðû v2 , . . .
, vk íàçûâàþòñÿ ïðèñîåäèí¼ííûìè ê v1 (6= 0).Òåîðåìà Æîðäàíà ãëàñèò, ÷òî ñóùåñòâóåò áàçèñ V , ñîñòîÿùèé èçíàáîðîâ æîðäàíîâûõ öåïî÷åê.  òàêîì áàçèñå ϕ ïðèíèìàåò áëî÷íîäèàãîíàëüíûé âèä, ãäå áëîêè èìåþò âèäλ 1 0 0 ... 0 00 λ 1 0 . . . 0 00 0 λ 1 . . . 0 0.. . . . . . . . . . . .
. . . . . .0 0 0 0 . . . λ 10 0 0 0 ... 0 λ13. Íàéäèòå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è æîðäàíîâ áàçèñ ëèíåéíûõïðåîáðàçîâàíèé, çàäàííûõ â íåêîòîðîì áàçèñå ñëåäóþùèìè ìàòðèöàìè:1 −3 0 30 −4 01 −3 3−2−6013à) 1 −4 0 ; á) −2 −6 13; â) ; 0 −3 1 3 1 −2 −2−1 −4 8−1 −4 0 81 −1 0 0 . . . 0 00 1 −1 0 . . . 0 0 3 −1 0 01 1 0 0 0 0 1 −1 . . .
0 0 ã) ; ä) ∈ Mn(F ).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 0 5 −30 0 0 0 . . . 1 −14 −1 3 −10 0 0 0 ... 0 14. Íàéäèòå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ, çàäàííûõ â áàçèñå a1 , a2 , a3 , a4 ìàòðèöåé102201−1−1240−1−1−2.12Ïîêàæèòå, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòîå íà âåêòîðû a1 + 2a2 èa2 + a3 + 2a4, èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ϕ.2.