2017.03.07_operators-2 (Семинары (2017))

Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Собственные числа и векторы7 марта • 16135 группаОпределение. Скаляр λ ∈ k называется собственным числомматрицы A, если найдётся такой ненулевой вектор v, что Av = λv.Аналогичное определение есть и для линейного преобразования(φ(v) = λv).1. Найдите собственные значения и собственные векторы линейных преобразований, заданных в некотором базисе матрицами:1 0 0 02 −1 20 1 00000а)  5 −3 3 ;б) −4 4 0;в) .1 0 0 0−1 0 −2−2 1 20 0 0 12. Докажите, что собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.3.

Докажите, что любая квадратная матрица A, имеющая различные собственные числа, подобна диагональной матрице.4. Докажите, что если линейное преобразование φ пространства Rn имеет n различных собственных значений, то любое линейное преобразование ψ, перестановочное с φ, обладает базисомсобственных векторов, причём любой собственный вектор φ будетсобственным и для ψ.5. Выясните, можно ли данную матрицу привести к диагональному виду путём перехода к новому базису. Найдите этот базис исоответствующую ему матрицу:1 1 1 1−1 3 −111−1−1б) а) −3 5 −1;.1 −1 1 −1−3 3 11 −1 −1 16. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, являющегося дифференцированием многочленов степени ≤ n с вещественными коэффициентами.1.