2017.03.02_operators-Theory (Семинары (2017))
Описание файла
Файл "2017.03.02_operators-Theory" внутри архива находится в папке "Семиныры 2017". PDF-файл из архива "Семинары (2017)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Матрица лин. преобразования. Вывод формул2 марта • 16135 группаПусть дано конечномерное векторное пространство V .Пусть e1, . . . , en — старый базис V , а e′1, .
. . , e′n — новый. Запишемкоординаты нового базиса в старом столбцовым образом:|||T = (e′1)e (e′2)e . . . (e′n)e .|||Тогда (e′1, . . . , e′n) = (e1, . . . , en)T .Для произольного вектора v через xi обоначим его координатыв базисе ei, а через x′i обоначим его координаты в базисе e′i.Утверждение 1. ⃗x = T x⃗′.Доказательство. Из определения матрицы T следует, что ′ e1e1. . . = T T . . . .(1)ene′nИспользуя равенство (1), выводим ′ e1e1e1(x1 . .
. xn) . . . = v = (x′1 . . . x′n) . . . = (x′1 . . . x′n)T T . . . .ene′nenИз единственности разложения по базису ei получаем (x1 . . . xn) =(x′1 . . . x′n)T T или ⃗x = T x⃗′. Утверждение доказано.Пусть φ — линейное преобразование V (т.е.
φ : V → V ). ЧерезAφ обозначим матрицу линейного отображения φ в базисе ei:|||Aφ = φ(e1)e φ(e2)e . . . φ(en)e .|||Аналогично определим Bφ — матрицу линейного отображения φв базисе e′i.1Утверждение 2. Bφ = T −1AφT .Доказательство. Подействуем φ на обе части (1), в силу линейности φ, получим ′ φ(e1)φ(e1) ... = TT ... .(2)φ(e′n)φ(en)Определение матрицы линейного отображения влечёт: ′ ′φ(e1)e1φ(e1)e1TT . . . = Aφ .
. . , . . . = Bφ . . . .φ(en)enφ(e′n)e′n(3)Подставляя (1) во второе равенство (3) и сравнивая с (2), находим ′ e1φ(e1)φ(e1)e1T T ATφ . . . = T T . . . = . . . = BφT T T . . . .enenφ(en)φ(e′n)Из единственности разложения по базису ei получаем T T ATφ =BφT T T или AφT = T Bφ, откуда следует утверждение. Невырожденность матрицы T следует из того, что её ранг равен n.2.