2017.02.21_polynoms7 (Семинары (2017))
Описание файла
Файл "2017.02.21_polynoms7" внутри архива находится в папке "Семиныры 2017". PDF-файл из архива "Семинары (2017)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Симметрические многочлены21 февраля • 16135 группаРассмотрим элементарные симметрические многочлены x1, . . . , xn:σ1(x1, . . . , xn) = x1 + x2 + . . . + xn,σ2(x1, . . . , xn) = x1x2 + x1x3 + . .
. xn−1xn,. .∑.σk (x1, . . . , xn) =xi1 xi2 . . . xik ,1≤i1 <i2 <...<ik ≤n...σn(x1, . . . , xn) = x1x2 . . . xn.Теорема. Произвольный симметрический многочлен f от xi представим в виде g(σ1(x1, . . . , xn), . . . , σn(x1, . . . , xn)). Если при этомf ∈ Z[x1, . . . , xn], то и g ∈ Z[x1, . . .
, xn].1. Выразите через основные симметрические многочлены:а) x31 + x32 + x33 − 3x1x2x3,б) x21x2 + x1x22 + x21x3 + x1x23 + x22x3 + x2x23,в) x41 + x42 + x43 − 2x21x23 − 2x22x23 − 2x21x23,г) x51x22 + x21x52 + x51x23 + x21x53 + x52x23 + x22x53,д) (x1 + x2)(x1 + x3)(x2 + x3),е) (x21 + x22)(x21 + x23)(x22 + x23),ё) (2x1 − x2 − x3)(2x2 − x1 − x3)(2x3 − x1 − x2),ж) (x1 − x2)2(x1 − x3)2(x2 − x3)2.2.
Выразите через основные симметрические многочлены:а) (x1 + x2)(x1 + x3)(x1 + x4)(x2 + x3)(x2 + x4)(x3 + x4),б) (x1x2 + x3x4)(x1x3 + x2x4)(x1x4 + x2x3),в) (x1 + x2 − x3 − x4)(x1 − x2 + x3 − x4)(x1 − x2 − x3 + x4).3. Выразите через основные симметрические многочлены:∑ 1∑ 1∑ xiа),б),в).xix2ixi̸=j j1Пусть x1, x2, . . . , xn — корни многочлена anxn +an−1xn−1 +. .
.+a0,тогда выполнены следующие соотношения (формулы Виета):an−2an−1 = −an(x1 + x2 + . . . + xn),= an(x1x2 + x1x3 + . . . + x1xn + x2x3 + . . . + xn−1xn),...a0 = (−1)nanx1x2 . . . xn.4. Вычислите сумму квадратов корней уравнения x3 + 2x − 3.5. Вычислите x31x2 + x1x32 + x31x3 + x1x33 + x32x3 + x2x33 от корнейуравнения x3 − x2 − 4x + 1 = 0.6. Выразите следующие симметрические функции через коэффициенты уравнения a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0:а) (x1 − x2)2(x1 − x3)2(x2 − x3)2,б) (x21 − x2x3)(x22 − x1x3)(x23 − x1x2),(x1 − x2)2 (x1 − x3)2 (x2 − x3)2в)++.x1x2x1x3x2x32.