2017.02.16_polynoms6 (Семинары (2017))
Описание файла
Файл "2017.02.16_polynoms6" внутри архива находится в папке "Семиныры 2017". PDF-файл из архива "Семинары (2017)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Штурм16 февраля • 16135 группаНабор многочленов с вещественными коэффициентамиf (x) = f0(x), f1(x), f2(x), . . . , fs(x)(1)называется системой Штурма для многочлена f (x), если1) соседние многочлены (1) не имеют общих корней,2) многочлен fs(x) не имеет вещественных корней,3) если α — корень fk (x), 1 ≤ k ≤ s − 1, то fk−1(α)fk+1(α) < 0,4) если α — корень f (x), то f f1(x) меняет знак с минуса на плюс,когда x, возрастая, проходит через α.Через W (c) обозначим число перемен знака в последовательности чисел f (c), f1(c), .
. . , fs(c) (нули вычёркиваем).Теорема (Штурм). Если действительные числа a и b, a < b, неявляются корнями многочлена f (x) без кратных корней, то W (a) ≥W (b) и разность W (a) − W (b) равна числу действительных корнеймногочлена f (x) на интервале (a, b).Пусть f (x) ∈ R — многочлен без кратных корней (т.е. (f, f ′)=1).В качестве системы Штурма можно взять последовательностьf, f ′, f2, . .
. , fs, где (−fk ) — остаток от деления fk−2 на fk−1.1. Составьте ряд Штурма и отделите корни многочленов:а) x4 − 2x3 − 4x2 + 5x + 5;б) x4 − 2x3 + x2 − 2x + 1;в) x4 − 2x3 − 3x2 + 2x + 1;г) x4 − x3 + x2 − x − 1;д) x4 − 4x3 − 4x2 + 4x + 1.2. Пользуясь теоремой Штурма, определите число вещественных корней уравненийа) x2 + bx + c = 0 при b, c ∈ R,б) x3 + 3px + 2q = 0 при p, q ∈ R.3. Определите число вещественных корней многочлена2nEn(x) = 1 + 1!x + x2! + . . . + xn! .1.