1611671589-8b32ec633a68274ab2f981b506c8e32e (К. В. Сторожук - Кривые и поверхности второго порядка)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТМеханико-математический факультетК. В. СторожукЛЕКЦИИПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИКРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКАУчебное пособиеНовосибирск2016.2Предисловие. Предлагаемое пособие охватывает второй семестр курса аналитической геометрии, читаемый автором на первом курсе ММФНГУ. Читателю пригодятся знания геометрии, алгебры и математического анализа в объеме первого семестра.Решаемость упражнений — критерий понимания. Упражнение внутридоказательства означает: читатель, если он понял все остальное, легкоего решит.

Трудные или важные упражнения отмечены звездочкой.Автор благодарен Я.В. Базайкину, Е.Г. Мальковичу, Э.И. Шамаеву иА.Э. Даржаину за ценные советы.1. Многочлены и алгебраические поверхностиМножество Ω ⊂ Rn называется алгебраической поверхностью, еслисуществует многочлен n переменных F (x), x = (x1 , . . . , xn ), такой, чтоΩ = {x ∈ Rn | F (x) = 0}.Наименьшую возможную степень многочлена, задающего Ω, называютпорядком алгебраической поверхности и обозначают ord(Ω) или ord Ω.Например, гиперплоскости (и только они) — поверхности порядка 1.Пустое множество и само Rn — поверхности порядка 0. В самом деле,Rn = {x | 0 = 0}, ∅ = {x | 1 = 0}.При n > 1 точка в Rn — поверхность порядка 2, так как она можетбыть задана уравнением (x1 − p1 )2 + .

. . + (xn − pn )2 = 0.Упражнения 1 – 3. Окружность на плоскости, сфера в пространстве— поверхности порядка 2. Прямая в R3 — поверхность второго порядка.Конечный набор точек в R — поверхность какого порядка?1.1. Лемма. Объединение и пересечение алгебраических поверхностей — алгебраическая поверхность, причемord(Ω1 ∪Ω2 ) ≤ ord(Ω1 )+ord(Ω2 ), ord(Ω1 ∩Ω2 ) ≤ max{ord2 (Ω1 ), ord2 (Ω2 )}.Доказательство. Пусть поверхности Ω1 и Ω2 задаются многочленамиF1 (x) и F2 (x), x ∈ Rn .

Легко проверить, что многочлен F1 · F2 задаетобъединение, а многочлен F12 + F22 — пересечение. Лемма доказана.Пусть V — векторное пространство или аффинное подпространствовекторного пространства. Множество Ω ⊂ V называется алгебраическойповерхностью в V , если существует такая аффинная система координатв V , в которой Ω задается многочленом. Наименьшая возможная степеньмногочлена называется порядком поверхности в V и обозначается ordV Ω.Букву V опускают, если ясно, в каком V рассматривается Ω.3Упражнение 4. Пусть P — точка на прямой l ⊂ Rn , n > 1.

Тогдаord{P } {P } = 0, ordl {P } = 1, ordRn {P } = 2.Докажем, что порядок поверхности не зависит от выбора системы координат в V . Пусть F (x1 , . . . , xn ) — многочлен и (x01 , . . . , x0n ) — новая система координат,связанная с координатами (x1 , . . . xn ) формулами переPхода xi = aij x0j + bi , i = 1, . . .

, n. Рассмотрим многочлен G(x01 , . . . , x0n ),получаемый подстановкой в многочлен F соответствующих выражений.Многочлены G и F задают одно и то же множество Ω (каждый — в своей системе координат). При этом deg G ≤ deg F . Осталось показать, чтоdeg G = deg F . Это — упражнение 5.Упражнение 6. Пусть A : Rn → Rn — аффинное преобразование.Если Ω — алгебраическая поверхность, то A(Ω) — алгебраическая поверхность того же порядка.1.2. Лемма.

Пересечение алгебраической поверхности Ω в V и аффинного подпространства X ⊂ V — алгебраическая поверхность в X.При этом degX (X ∩ Ω) ≤ degV (Ω).Доказательство. Выберем в X координаты (x1 , . . . , xk ) и продолжимих до координат (x1 , . . . , xn ) на всем V . Поверхность Ω можно задать вV многочленом F (x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . xn ) = 0. Положим G(x1 , . . . , xk ) =F (x1 , . . . , xk , 0, .

. . 0). Уравнение G(x1 , . . . , xk ) = 0 задает множество Ω∩Xв подпространстве X. Остальное очевидно. Лемма доказана.1.3. Лемма. Пусть Ω — алгебраическая поверхность, ord Ω = k.Любая прямая l либо имеет с Ω не более чем k общих точек, либо l ⊂ Ω.Доказательство. Эту лемму можно вывести из предыдущей леммыи упражнения 3, но мы докажем ее непосредственно. Подставим параметрическую запись прямой X(t) = X0 + at в многочлен, задающий Ω,получаем многочлен g(t) одной переменной t, причем его степень не превосходит числа k. Из теоремы Безу следует, что либо g(t) ≡ 0 (и тогдаl ⊂ Ω), либо g имеет не больше k корней.

Лемма доказана.Упражнения 7 – 9. Кривая y = sin x не алгебраическая. Луч — неалгебраическая кривая. Кривая y = x1 алгебраическая, какого порядка?Упражнение 10. Доказать, что криваяΩ1 имеет порядок 8.Упражнение 11*. Доказать, что криваяΩ2 имеет порядок 8.U1U2Упражнение 12*. Кривая y = ex не алгебраическая.Упражнение 13*.

Многочлены F и G в Rn совпадают (то есть коэффициенты при одинаковых мономах у них одинаковы) в том и только томслучае, когда F и G совпадают как функции (т.е. ∀x ∈ Rn F (x) = G(x)).42. Многочлены второго порядка в Rn2.1. Матричная запись многочлена второго порядкаВекторы из Rn всюду мы считаем вектор-столбцами, хоть пишем ихв строчку. Например, X = (x1 , . . . , xn ), X 0 = (x01 , .

. . , x0n ).Многочлен F второго порядка n переменных можно записать в видеF (X) =nXaij xi xj + 2i,j=1nXbi xi + c,i=1и можно сделать aij = aji (почему?) Запишем этот многочлен такF (X) = hAX, Xi + 2hb, Xi + c,считая X = (x1 , x2 , .

. . , xn ), A = (aij ) — симметричная n × n-матрица,b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn . Угловые скобки означают скалярное произведение.2.2. Замена координат в многочлене второго порядка1. Линейная замена координат. Пусть X 0 = (x01 , . . . , x0n ) и Q — матрица перехода (не обязательно ортогональная), X = QX 0 .Многочлен второго порядка F (X) = hAX, Xi + 2hb, Xi + c при такойзамене превращается в многочлен hÃX 0 , X 0 i + 2hb̃, X 0 i + c, гдеà = Q> AQ, b̃ = Q> b.В самом деле, вспомним, что для любой матрицы T и векторов u, v выполнено hu, T vi = hT > u, vi. В частности,hAX, Xi = hAQX 0 , QX 0 i = hQ> AQX 0 , X 0 i.Аналогично, hb, Xi = hb, QX 0 i = hQ> b, X 0 i.2.2.1. Лемма.

Существует ортогональная замена координат («поворот»), в которой квадратичная часть многочлена F принимает диагональный вид, т.е.XhÃX 0 , X 0 i =λi x02i .Доказательство. Известно, что из собственных векторов симметричнойматрицыможновыбратьортогональныйбазис{e01 , . . . , e0n },00Aei = λi ei . Перейдем в новую систему координат, X = QX 0 . Столбцыматрицы Q — координаты векторов e0i . Тогда Ã = Q> AQ — диагональная матрица. Проверим это: на ij-том месте стоит скалярное произведение i-той строки матрицы Q> на j-тый столбец матрицы AQ, то естьhe0i , λi e0j i.

Последнее равно λi при i = j и нулю при i 6= j, так как векторыортогональны. Лемма доказана.52. Замена координат при сдвиге. Пусть X = X 0 +X0 . Многочлен F (X)преобразуется в многочлен F̃ (X 0 ) = hAX 0 , X 0 i + 2hb̃, X 0 i + c̃, гдеb̃ = AX0 + b, c̃ = hAX0 , X0 i + 2hb, X0 i + c = F (X0 ).(1)В самом деле, раскрывая скобки, получаем:F (X 0 + X0 ) = hA(X 0 + X0 ), X 0 + X0 i + 2hb, X 0 + X0 i + c == hAX 0 , X 0 i + hAX0 , X 0 i + hAX 0 , X0 i + hAX0 , X0 i + 2hb, X 0 i + 2hb, X0 i + c.Матрица A симметрична, поэтому второе и третье слагаемое равны.Заменим сумму этих слагаемых на 2hAX0 , X 0 i:hAX 0 , X 0 i + 2hAX0 , X 0 i + hAX0 , X0 i + 2hb, X 0 i + 2hb, X0 i + c.Объединяя второе и четвертое слагаемые, получаем требуемое:F̃ (X 0 ) = hAX 0 , X 0 i + 2hAX0 + b, X 0 i + hAX0 , X0 i + 2hb, X0 i + c.2.2.2.

Теорема. Многочлен F (X) можно поворотом и сдвигом привести к одному из следующих простейших многочленов:kXλi x2i + c, λ1 , . . . , λk 6= 0, k ≤ n,1kλi x2i + 2pxk+1 , λ1 , . . . , λk 6= 0, p 6= 0, k < n.2ki=1kXi=1Доказательство. Для упрощения записи иногда будем опускать штрихи при переходе к новым координатам, если нет риска путаницы.Делаем поворот, превращая квадратичнуючастьP многочлена в сумPnму квадратов. Получаем уравнение i=1 λi x2i + 2 bi xi + c = 0. Пустьλ1 , . .

. , λk 6= 0, а остальные — нулевые. Сделаем сдвиги вдоль координатx1 , . . . , xk , выделив полные квадраты:x0i = xi +bi.λiЕсли k = n, получили многочлен вида 1n . Если k < n, то получитсямногочлен, в котором первые k координат вектора b равны нулю:kXi=1λi x2i + 2nXi=k+16bi xi + c.Если все остальные bi равны нулю, то получился многочлен 1k . Предположим, что вектор b ненулевой. Сделаем поворот в подпространствеV = Lin{ek+1 , .