L-8-Spring2018 (Грешнов - Лекции (1-15))
Описание файла
PDF-файл из архива "Грешнов - Лекции (1-15)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ü8 â : 27.03.2018ᨬ¯â®â ½l:x = x0 + αt,,y = y0 + βt(8.1)£¤¥ (x0 , y0 ) | æ¥âà ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 γ:F (x, y ) = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a1 x + 2a − 2y + a0= 0,®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮦¤¥á⢠¬¨F2= α2 a211 + 2αβa12 + β 2 a22 = 0,F1= α(a11 x0 + a12 y0 + a1 ) + β (a12 x0 + a22 y + a2 ) = 0, (8.2)£¤¥ F2 t2 +2F1 t + F (x0 , y0 ) = 0; ¯¥à¢®¥ ¨§ íâ¨å ⮦¤¥á⢠£®¢®à¨â ® ⮬, çâ® ¯à ¢«¥¨¥ (α, β ) | ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥, ¢â®à®¥ (á ãç¥â®¬ ¯¥à¢®£®) | ® ⮬, çâ® ¨«¨ l ∩γ = ∅,¨«¨ l ⊂ γ , ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¬ã ¯à¥¤áâ ¢«¥¨î ®¡ ᨬ¯â®â¥ ªà¨¢®©.ᯮ«ì§ãï (8.2), ¬ë ¯®«ãç ¥¬0 = F2 + tF1 = α¡¢¡¢a11 (x0 + αt)+ a12 (y0 + βt)+ a1 + β a12 (x0 + αt)+ a22 (y0 + βt)+ a2¢= α(a11 x + a12 y + a1 ) + β (a12 x + a22 y + a2 .
(8.3)®ïâ®, çâ® ¯®á«¥¤¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¨§ (8.3) ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ® ¢ ¢¨¤¥α ∂F (x, y )2 ∂x+β ∂F (x, y )2 ∂y= 0.¡à â®, à áᬠâਢ ï ¯àï¬ãîα(a11 x + a12 y + a1 ) + β (a12 x + a22 y + a2 ) = 0,(8.4)¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® ® ¢á¥£¤ ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ æ¥âà ªà¨¢®© γ , ¥á«¨ â ª®¢®© ¨¬¥¥âáï, ¥á«¨ ¯à¨ í⮬ ¯à ¢«¥¨¥ (α, β ) ï¥âáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬ ¤«ï γ , â® ¬ë ¡¥§âà㤠¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï (8.1) 㤮¢«¥â¢®àïîâ (8.4). ª¨¬®¡à §®¬, ãà ¢¥¨¥ (8.4) | ãà ¢¥¨¥ ᨬ¯â®âë (8.1) ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 .®¯àï¦¥ë¥ ¤¨ ¬¥âàë ¨ ᮯàï¦¥ë¥ ¯à ¢«¥¨ï½ áᬮâਬ ¯àï¬ããå à §«¨çëå â®çª åx = x0 + αt,yM1, ¯¥à¥á¥ª îéãî ªà¨¢ãî 2-£® ¯®à浪 γ ¢= y0 + βt= (x0 + αt1 , y0 + βt1 ), M2 = (x0 + αt2 , y0 + βt2 ) (⥬12á ¬ë¬ ¢¥ªâ®à (α, β ) ¨¬¥¥â ¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯à ¢«¥¨¥, â.
¥. F2 =6 0).®£¤ ¤«ï ª®à¥© t1,2 ª¢ ¤à ⮣® ãà ¢¥¨ï ¬ë ¨¬¥¥¬F (x0 + αt, y0 + βt) = F2 t2 + 2F1 t + F0¬ë ¨¬¥¥¬t1,2=−F1 ±=0pF12 − F2 F0.F2(8.5)।¯®«®¦¨¬, çâ® â®çª M = (x0 , y0 ) ï¥âáï á¥à¥¤¨®© å®à¤ë [M1 , M2 ]. ®£¤ t1 + t2 = 0, ®âªã¤ , ãç¨âë¢ ï (8.5), ¬ë ¯®«ãç ¥¬F1= a11 αx0 + a12 (αx0 + βx0 ) + a22 βy0 + a1 α + a2 β= α(a11 x0 + a12 y0 + a1 ) + β (a12 x0 + a22 y0 + a2 ) = 0.ë ¨¬¥¥¬ (a11 α + a12 β )2 + (a12 α + a22 β )2 6= 0. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ íâ® ¥ â ª, ⮵a11a12a12a22¶µ ¶α= (0β0),® ¨§ í⮣® áà §ã ¦¥ á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à ¢«¥¨¥ (α, β ) | ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥.
ª¨¬®¡à §®¬, ¬ë ãáâ ®¢¨«¨ á«¥¤ãî騩 ä ªâ.¥®à¥¬ 8.1 (® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¬¥á⥠á¥à¥¤¨ å®à¤ ¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® ¯à ¢«¥¨ï). ᥠá¥à¥¤¨ë å®à¤ ¤ ®£® ¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® ¯à ¢«¥¨ï(α, β ) ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 γ «¥¦ â ¯àאַ©, § ¤ ®© ãà ¢¥¨¥¬α(a11 x + a12 y + a1 ) + β (a12 x + a22 y + a2 ) = 0.¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.1. àï¬ ï α(a11 x + a12 y + a1 )+ β (a12 x + a22 y + a2 ) = 0 §ë¢ ¥âá廊 ¬¥â஬ «¨¨¨ 2-£® ¯®à浪 γ , ᮯàï¦¥ë¬ ¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã ¯à ¢«¥¨î (α, β ).¢®©á⢮ 8.1.
¨ ¬¥âà, ᮯàï¦¥ë© ¤ ®¬ã ¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã ¯à ¢«¥¨î ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 γ , ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ¢á¥ æ¥âàë «¨¨¨ 2-£® ¯®à浪 .®ª § ⥫ìá⢮. 祢¨¤®. (¡êïá¨â¥!)¢®©á⢮ 8.2. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤¨ ¬¥âà , ᮯà殮®£® ¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã ¯à ¢«¥¨î ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 γ , ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ä䨮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â.®ª § ⥫ìá⢮. ਠää¨ëå § ¬¥ å ª®®à¤¨ â ¯ à ««¥«ìë¥ ¯àï¬ë¥ ®áâ îâáï ¯ à ««¥«ì묨 ¯àï¬ë¬¨, á¥à¥¤¨ë ®â१ª®¢ ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ á¥à¥¤¨ë ®â१ª®¢.3஬¥ ⮣®, ¯®ï⨥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® ¯à ¢«¥¨ï ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ä䨮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â. âªã¤ ¨ á«¥¤ã¥â ᢮©á⢮ 8.2.¥¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.2. ¯à ¢«¥¨¥ (α1 , β1 ) §ë¢ ¥âáï ᮯàï¦¥ë¬ ®â®á¨â¥«ì®ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 γ ª ¯à ¢«¥¨î (α, β ), ¥á«¨( α1β1 )µa11a12a12a22¶µ ¶α= 0.β¢®©á⢮ 8.3.
¯à¥¤¥«¥¨¥ ᮯà殮ëå ®â®á¨â¥«ì® ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 -¯à ¢«¥¨© ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ä䨮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â.®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì (α, β ) | ¥ª®â®à®¥ ¯à ¢«¥¨¥. ®£¤ ¢ ®¢®© á¨á⥬¥ª®®à¤¨ â (x0 , y0 ), á¢ï§ ®© á® áâ ன á¨á⥬®© ª®®à¤¨ â (x, y) ä®à¬ã«®©µ ¶ µx= cc11y21c12c22¶µx0y0¶µ+c1c2¶, ¯à ¢«¥¨¥ (α, β ) § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ªµ(α , β ) =0ç¨âë¢ ï, çâ®0A1 = C AC,c11c21c12c22µC=¶µ ¶α.βc11c21c12c22¶,᢮©á⢮ 8.3 ¤®ª § ®.¥¢®©á⢮ 8.4. î¡®¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯à ¢«¥¨¥ ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 ᮯà殮® á ¬®¬ã ᥡ¥.®ª § ⥫ìá⢮. 祢¨¤®.¥¢®©á⢮ 8.5. ᫨ ¯à ¢«¥¨¥ (α, β ) ᮯà殮® ¯à ¢«¥¨î (α1 , β1 ), â® ¯à ¢«¥¨¥ (α1 , β1 ) ᮯà殮® ¯à ¢«¥¨î (α, β ).®ª § ⥫ìá⢮ ®ç¥¢¨¤®.¢®©á⢮ 8.6.
¯à ¢«¥¨¥ ¤¨ ¬¥âà d, ᮯà殮®£® ¯à ¢«¥¨î (α, β ), ᮯà殮® (α, β ).®ª § ⥫ìá⢮. à ¢¥¨¥ ¤¨ ¬¥âà d ¨¬¥¥â ¢¨¤α(a11 x + a12 y + a1 ) + β (a12 x + a22 y + a2 ) = 0, ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à (α1 , β1 ) ¯àאַ© d ¨¬¥¥â ¢¨¤µ(α1 , β1 ) = (−αa12 − βa22 , αa11 + βa12 ) =−a12a11−a22a12¶µ ¶α.β(8.6)4¥á«®¦® ¢¨¤¥âì, ç⮵(αβ)a11a12a12a22¶µα1β1¶µ= (αβ)a11a12a12a22¶µ−a12a11−a22a12¶µ ¶α= 0.β¥¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.3. ¨ ¬¥âàëd : α(a11 x + a12 y + a1 ) + β (a12 x + a22 y + a2 ) = 0,d1:α1 (a11 x + a12 y + a1 ) + β1 (a12 x + a22 y + a2 ) = 0ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 ᮯàï¦¥ë ¤à㣠¤àã£ã, ¥á«¨ ¯à ¢«¥¨ï (α, β ), (α1 , β1 ) ᮯàï¦¥ë ¤à㣠¤àã£ã.ᯮ«ì§ãï ᢮©á⢮ 8.6, á¬.
(8.6), ®¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.3 ¬®¦® ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ âìá«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ (¯à®¢¥àì⥠íâ®!).¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.4. ¨ ¬¥âàë d1 , d2 ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 ᮯàï¦¥ë ¤à㣠¤àã£ã,¥á«¨ ᮯàï¦¥ë ¨å ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë.àï¬ë¥ ¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ¯à ¢«¥¨©¢®©á⢮ 8.7. ãáâì (α, β ) | ¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯® ®â®è¥¨î ª ªà¨¢®© 2£® ¯®à浪 γ ¯à ¢«¥¨¥, ¨ γ ¥ ï¥âáï ¯ ன ᮢ¯ ¤ îé¨å ¯àï¬ëå. ®£¤ ©¤¥âáï ¯àï¬ ï l í⮣® ¯à ¢«¥¨ï, ¯¥à¥á¥ª îé ï γ ¢ ¤¢ãå à §«¨çëå â®çª å.®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì½l = l(x, y ) :x = x0 + αt,y= y0 + βt,t ∈ R,F (x0 , y0 ) = 0.®ª ¦¥¬, çâ® á।¨ ¢á¥å â ª¨å l ¬®¦® ©â¨ å®âï ¡ë ®¤ã ¯àï¬ãî, ¥ ïîéãîáï ª á ⥫쮩 ª γ .
¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ l | ª á ⥫ì ï ª γ , â®0 = F1 = α(a11 x0 + a12 y0 + a1 ) + β (a12 x0 + a22 y0 + a2 )= (a11 α + a12 β )x0 + (a12 α + a22 β )y0 + a1 α + a2 β. (8.7)ë ¨¬¥¥¬ (a11 α + a12 β )2 + (a12 α + a22 β )2 6= 0, ¨ 祽α(a11 α + a12 β ) = 0,β (a12 α + a22 β ) = 0,⇔ (α, β )¨¬¥¥â ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯à ¢«¥¨¥. ᫨ ãá«®¢¨¥ (8.7) ¢ë¯®«ï¥âáï ¤«ï ¢á¥å (x0 , y0 ) ∈ γ , â® γ | ¯ à ᮢ¯ ¤ îé¨å¯àï¬ëå, ç⮠ï¥âáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥¬. ç¨â, ©¤¥âáï ¥ ª á ⥫ì ï ª γ ¯àï¬ ïl ¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® ¯à ¢«¥¨ï.¥5¢®©á⢮ 8.8. ãáâì ¤¨ ¬¥âà d ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 γ , ᮯàï¦¥ë© ¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã ¯à ¢«¥¨î (α, β ), ¯¥à¥á¥ª ¥â γ ¢ ¥®á®¡®© â®çª¥ M á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x0 , y0 ). ®£¤ ª á ⥫ì ï ª γ ¢ â®çª¥ M ¨¬¥¥â ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à(α, β ).®ª § ⥫ìá⢮. ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ ¤¨ ¬¥âà d, ᮯà殮®£® ¯à ¢«¥¨î (α, β ) :α(a11 x + a12 y + a1 ) + β (a12 x + a22 y + a2 ) = 0.®¤áâ ¢«ïï ¢ íâ® ãà ¢¥¨¥ ª®®à¤¨ âë (x0 , y0 ), ¯®«ãç ¥¬α(a11 x0 + a12 y0 + a1 ) + β (a12 x0 + a22 y0 + a2 ) = 0.®£¤ á â®ç®áâìî ¤® ª®íää¨æ¨¥â ¯à®¯®à樮 «ì®á⨠¬ë ¨¬¥¥¬½α = −(a12 x0 + a22 y0 + a2 ),β= (a11 x0 + a12 y0 + a1 ), íâ® | ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ª á ⥫쮩 ¢ â®çª¥ M ª ªà¨¢®© γ .¥á®¡ë¥ ¯à ¢«¥¨ï ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 ¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.5.
¯à ¢«¥¨¥, ᮯà殮®¥ «î¡®¬ã ¯à ¢«¥¨î, §ë¢ ¥âáï®á®¡ë¬ ¯à ¢«¥¨¥¬ ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 γ .¥®à¥¬ 8.2 (®¡ ®á®¡ëå ¯à ¢«¥¨ïå). 10 ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¯à ¢«¥¨ï¯ à ¡®«¨ç¥áª¨å ªà¨¢ëå 2-£® ¯®à浪 ïîâáï ®á®¡ë¬¨. 20 «ï ªà¨¢ëå 2-£® ¯®à浪 , ⨯ ª®â®àëå ¥ ï¥âáï ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬, «î¡®¬ã ¯à ¢«¥¨î ᮯà殮® ¥¤¨á⢥®¥ ¯à ¢«¥¨¥.®ª § ⥫ìá⢮.10 á®¡ë¥ ¯à ¢«¥¨ï ïîâáï ¨ á ¬®á®¯à殮묨, ¯®â®¬ã ¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬¨. ª ¡ë«® ãáâ ®¢«¥® à ¥¥, ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¯à ¢«¥¨ï ¯àï¬ëå¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ⨯ (δ = 0) ¯à®¯®à樮 «ìë ¢¥ªâ®à ¬ (−a12 , a11 ), (−a22 , a12 ).¥á«®¦® ¢¨¤¥âì, çâ® ãá«®¢¨¥ δ = 0 ¢«¥ç¥â( −a12a11 )µa11a12a12a22¶=( −a22a12 )µa11a12a12a22¶= (0 0).20 ®§ì¬¥¬ ¥ª®â®à®¥ ¯à ¢«¥¨¥ (α1 , β1 ) ¨ ©¤¥¬ ¥¬ã ᮯà殮®¥ ¯à ¢«¥¨¥ (α2 , β2 ), â. ¥. â ª®¥, çâ®a11 α1 α2 + a12 (α1 β2 + α2 β1 ) + a22 β1 β2= 0.6ãáâì ( α1β1 )µa11a12a12a22¶= ( x0 y0 ) 6= ( 0 0 ) (δ 6= 0). ®£¤ ãà ¢¥¨¥ x0 α2 +y 0 β2 = 0 ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ ¤® ª®íää¨æ¨¥â ¯à®¯®à樮 «ì®á⨠à¥è¥¨¥ (α2 , β2 ).¥« ¢ë¥ ¯à ¢«¥¨ï ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 ¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.6.
¯à ¢«¥¨¥, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ï஥ ¥ª®â®à®¬ã ᮯà殮®¬ã®â®á¨â¥«ì® ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 ¯à ¢«¥¨¥¬ ªà¨¢®© γ .γ¥¬ã ¯à ¢«¥¨î, §ë¢ ¥âáï £« ¢ë¬ -¢®©á⢮ 8.9. î¡®¥ ®á®¡®¥ ¯à ¢«¥¨¥ ï¥âáï £« ¢ë¬.®ª § ⥫ìá⢮ ¢ë⥪ ¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®á®¡®£® ¯à ¢«¥¨ï.¥ãáâì (α, β ) | £« ¢®¥ ¯à ¢«¥¨¥, ⮣¤ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î 8.6 ¯à ¢«¥¨¥(−β, α) ¥¬ã ᮯà殮®, ¨ ¬ë ¨¬¥¥¬(αβ)µa11a12a12a22¶µ−βα¶= a12 (α2 − β 2 ) + (a22 − a11 )αβ = 0.(8.8)ਠa12 = 0, a11 = a22 6= 0 ªà¨¢ ï γ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®ªà㦮áâì.
«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãî饥⢥ত¥¨¥ 8.1. «ï ®ªà㦮á⨠«î¡®¥ ¯à ¢«¥¨¥ | £« ¢®¥.¥®à¥¬ 8.3 (® £« ¢ëå ¯à ¢«¥¨ïå). ãáâì ªà¨¢ ï 2-£® ¯®à浪 ï¥âáï ®ªà㦮áâìî. ®£¤ ã γ ¯à ¢«¥¨ï.¥¥áâì ¤¢ ¢§ ¨¬® ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàëå £« ¢ëå㮪 § ⥫ìá⢮. ᫨ a12 = 0, â®, á¬. (8.8), ¨áª®¬ë¥ £« ¢ë¥ ¯à ¢«¥¨ï (1, 0),(0, 1). ãáâì a12 6= 0, ⮣¤ β 6= 0, ¨ ¢¬¥áâ® (8.8) à áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥a12¡ α ¢2α+ (a22 − a11 ) − a12ββ= 0.(8.9)¥è ¥¬ ª¢ ¤à ⮥ ãà ¢¥¨¥ (8.9). ª ª ª ¥£® ¤¨áªà¨¬¨ â, à ¢ë© (a22 −a11 )2 + 4a212 , ¯®«®¦¨â¥«¥ ¢ ᨫã a12 6= 0, â® ã ãà ¢¥¨ï (8.9) ¥áâì ¤¢ ª®àïk1 = αβ11 , k2 = αβ22 . ¥á«®¦® ã¡¥¤¨âìáï (¯à®¢¥àì⥠íâ®!) ¢ ⮬, çâ®h(k1 β1 , β1 ), (k2 β2 , β2 )i = β1 β2 (k1 k2 + 1) = 0.¥.