L-6-Spring2018 (Грешнов - Лекции (1-15))
Описание файла
PDF-файл из архива "Грешнов - Лекции (1-15)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ü6 â : 13.03.2018 áᬮâਬ ªà¨¢ãî 2-£® ¯®à浪 γ , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ãî ãà ¢¥¨¥¬F (x, y ) = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a1 x + 2a2 y + a0 = 0,¶µa11a11 a12, A = a12A1 =a12 a22a1⢥ত¥¨¥ 6.1. «¥¤S⮬.¬ âà¨æëA1a12a22a2a1a2 .a0ï¥âáï ®à⮣® «ìë¬ ¨¢ ਠ-®ª § ⥫ìá⢮. ¤¥« ¥¬ ®à⮣® «ìãî § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëåµ ¶ µx= cc11y21c12c22¶µ ¶ µ ¶x~ + γ1 ,y~γ2µC=c11c21c12c22¶∈ O(2),¢ ãà ¢¥¨¨ F (x, y) = 0, ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥Fe(~x, y~) = a~11 x2 + 2~a12 x~y~ + a~22 y~2 + 2~a1 x~ + 2~a2 y~ + a~0 = 0,µ¶~11 a~12 , Ae = aa~~11e1 = aA12a~12 a~22a~1a~12a~22a~2a~1a~2 .a~0ë ¨¬¥¥¬ Ae1 = C A1 C , â.
¥.µa~11a~12a~12a~22¶µ¶µ¶µ¶c11 c21a11 a12c11 c12= c ca12 a22c21 c221222½a~11 = c11 (c11 a11 + c21 a12 ) + c21 (c11 a12 + c21 a22 ),⇒a~22 = c12 (c12 a11 + c22 a12 ) + c22 (c12 a12 + c22 a22 )⇒a~11 + a~22 = a11 (c211 + c212 ) + 2a12 (c11 c21 + c12 c22 ) + a22 (c221 + c222 ),®âªã¤ , ¨á¯®«ì§ãï C ∈ O(2), ¯®«ãç ¥¬ Se = a~11 + a~22 = a11 + a22 = S .¥«¥¤á⢨¥ 6.1.
à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¯®«¨®¬ λ2 − Sλ + δ = 0 ¨ ¥£® ª®à¨ ï-îâáï ®à⮣® «ì묨 ¨¢ ਠ⠬¨ ª¢ ¤à â¨ç®© äãªæ¨¨ F (x, y). ®¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ªà¨¢ëå 2-£® ¯®à浪 ý¢ ¨¢ ਠâ åþ ª ¬ë ¢ëïᨫ¨, ¢ ¯®¤å®¤ï饩 ¯àאַ㣮«ì®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¬ âà¨æ Aãà ¢¥¨ï ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 ¨¬¥¥â ®¤¨ ¨§ á«¥¤ãîé¨å âà¥å ¢¨¤®¢10a11000a22000a0,2000a10a2210a100,003000a22000a0.2«ãç © 10 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â δ 6= 0, á«ãç © 20 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â δ = 0, 6= 0, á«ãç © 30ᮮ⢥âáâ¢ã¥â δ = 0, = 0.§ ⥮६ë 5.1 ¨ ¯à¥¤«®¦¥¨ï 5.2 «¥ªæ¨¨ ü5 á«¥¤ã¥â, çâ® á«ãç ¥ 10 (æ¥âà «ìë© á«ãç ©) ãà ¢¥¨¥ ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¨¬¥¥â¢¨¤a11 x2 + a22 y 2 += 0.(6.1)δ20 .−a22 a21 , Sq± −S, áᬮâਬ á«ãç ©ë ¨¬¥¥¬ == a22 , ¯®í⮬ã a1 =¯à¨ í⮬ − S > 0.
® ¬ë ¢ë¡¨à ¥¬ á¨á⥬㠪®®à¤¨ â â ª¨¬ ®¡à §®¬, ç⮡ë¢ë¯®«ï«®áì ãá«®¢¨¥ Sa1 < 0 (á¬. «¥ªæ¨ï ü5, ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨© á«ãç ©). ®í⮬ããà ¢¥¨¥ ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ry2= 2x− 3.S(6.2) á«ãç ¥ 30 ãà ¢¥¨¥ ªà¨¢®© 2-£® ¯®à浪 ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ ⬮¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥Ky2 + 2 = 0.(6.3)S।«®¦¥¨¥ 6.1. ਠãá«®¢¨¨ = δ = 0 ¢¥«¨ç¨ K ï¥âáï ®à⮣® «ì묨¢ ਠ⮬ ª¢ ¤à â¨ç®© äãªæ¨¨ F (x, y).®ª § ⥫ìá⢮. ᫨ δ = 0, â® ¯àאַ㣮«ìãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â ¬®¦® ¢ë¡à âì â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ¢ ¥© ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â ¢¨¤00a10a22a2a1a2 ,a0a22 6= 0,(6.4) â ª ª ª = 0, â® á ¬®¬ ¤¥«¥ ¬ âà¨æ (6.4) ¨¬¥¥â ¢¨¤000µa22a2a2a00a22a20a2 .a0¶ë ¨¬¥¥¬ K = det.
® ᢮©áâ¢ã 5.1 ¨§ «¥ªæ¨¨ ü5 ¢¥«¨ç¨ K ¨¢ ਠ⠮â®á¨â¥«ì® ¯®¢®à®â®¢ ¢®ªàã£ ç « ª®®à¤¨ â, ¯®í⮬㠬 ®áâ ¥âáï¯à®¢¥à¨âì ¨¢ ਠâ®áâì ¢¥«¨ç¨ë K ®â®á¨â¥«ì® ᤢ¨£®¢. «ï í⮣® à áᬮâਬ ®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ (x0 , y0 ), á¢ï§ ë¥ á® áâ à묨 ª ª x = x0 + p, y = y0 + q.®£¤ F (x0 +p, y 0 +q ) = a22 (y 0 +q )2 +2a2 (y 0 +q )+a0= a22 (y0 )2 +2(a22 q+a2 )y0 +(a22 q2 +2a2 q+a0 ),3ᮮ⢥âá⢥®µdeta22a22 q + a2a22 q + a2a22 q 2 + 2a2 q + a0¶µ= deta22a2a2a0¶.¥à ¢¥¨ï (6.1){(6.3) | ª ®¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ªà¨¢ëå 2-£® ¯®à浪 ý¢ ¨¢ ਠâ åþ. ¬¥ç ¨¥ 6.1. á¯à®áâà ¥ë á«¥¤ãî騥 ®¡®§ 票ï I1 = S , I2 = δ, I3 = .ää¨ ï ª« áá¨ä¨ª æ¨ï ªà¨¢ëå 2-£® ¯®à浪 ¬¨ ¡ë«® ãáâ ®¢«¥®, çâ® ãà ¢¥¨¥F (x, y ) = a11 x~2 + 2a12 x~y~ + a22 y~2 + 2a1 x~ + 2a2 y~ + a0= 0,a211 + a212 + a222 6= 0,(6.5)¢ ¯®¤å®¤ï饩 ¯àאַ㣮«ì®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¢ëà ¦ ¥â ªà¨¢ãî ®¤®£® ¨§ á«¥¤ãîé¨å ¤¥¢ï⨠¢¨¤®¢:y2x2+= 1 (í««¨¯á),a2b2x2y2+= −1 (¬¨¬ë© í««¨¯á),a2b2y2x2+= 0 (¤¢¥ ¬¨¬ë¥ ¯¥à¥á¥ª î騥áïa2b2y 2 = 2px (¯ à ¡®« ),x2x2(6.6)(6.7)¯àï¬ë¥),(6.8)(6.9)= a2 (¤¢¥ ¯ à ««¥«ìë¥ ¯àï¬ë¥),(6.10)= −a2 (¤¢¥ ¯ à ««¥«ìë¥ ¬¨¬ë¥ ¯àï¬ë¥),(6.11)x2 = 0x2y2−a2b22xy2−a2b2(¤¢¥ ᮢ¯ ¤ î騥 ¯àï¬ë¥),(6.12)= 1 (£¨¯¥à¡®« ),(6.13)= 0 (¤¢¥ ¯¥à¥á¥ª î騥áï ¯àï¬ë¥).(6.14).
¥. ¢á类¥ ®¡é¥¥ ãà ¢¥¨¥ (6.5) ¯®¢®à®â®¬ ¨ ᤢ¨£®¬ ¯àאַ㣮«ì®© á¨á⥬몮®à¤¨ â ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¢¥¤¥® ª ®¤®¬ã ¨§ 㪠§ ëå ¤¥¢ï⨠¢¨¤®¢ (6.6){(6.14).¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.1. ¢¥ ªà¨¢ë¥ γa , γb ¢â®à®£® ¯®à浪 , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ãà ¢¥¨ï-¬¨a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a1 x + 2a2 y + a0 = 0, a211 + a212 + a222 6= 0,γb : b11 x~2 + 2b12 x~y~ + b22 y~2 + 2b1 x~ + 2b2 y~ + b0 = 0, b211 + b212 + b222 6= 0,γa:4¯à¨ ¤«¥¦ â ®¤®¬ã ¨ ⮬㠦¥ ä䨮¬ã ª« ááã, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ää¨ ï § ¬¥ ª®®à¤¨ âµ ¶ µx= cc11y21c12c22¶µ ¶ µ ¶x~ + c1 ,y~c2µdetc11c21c12c22¶6= 0,(6.15)¯à¨ ª®â®à®¬ ®¤ ¨§ íâ¨å ªà¨¢ëå ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¤àã£ãî.¥®à¥¬ 6.1.¢¥ ªà¨¢ë¥ 2-£® ¯®à浪 ®¤®£® ¨ ⮣® ¦¥ ¢¨¤ ¯à¨ ¤«¥¦ â ®¤®¬ã ª« ááã, ⮣¤ ª ª ¤¢¥ «¨¨¨ à §ëå ¢¨¤®¢ ¯à¨ ¤«¥¦ â à §ë¬ ää¨ë¬ª« áá ¬. ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¦¤ë© ¨§ ¤¥¢ï⨠¢¨¤®¢ (6.6){(6.14) ªà¨¢ëå 2-£® ¯®à浪 ¥áâì ää¨ë© ª« áá.
® ®â®è¥¨î ª ªà¨¢ë¬, ¨¬¥î騬 å®âï ¡ë ®¤ã ¢¥é¥á⢥ãîâ®çªã, ⥮६ 6.1 ¨¬¥¥â £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© å à ªâ¥à, ¯® ®â®è¥¨î ª ý¬¨¬ë¬þªà¨¢ë¬ ⥮६ 6.1 ¨¬¥¥â «£¥¡à ¨ç¥áª¨© å à ªâ¥à, ¨¬¥®: ¥á«¨ ªà¨¢ë¥ γa ,γb ïîâáï, ¯à¨¬¥à, ¬¨¬ë¬¨ í««¨¯á ¬¨ (¯ à ¬¨ ¬¨¬ëå ¯ à ««¥«ìëå ¯àï¬ëå), â® áãé¥áâ¢ã¥â ää¨ ï § ¬¥ ª®®à¤¨ â (6.15), ¯¥à¥¢®¤ï饥 ãà ¢¥¨¥ªà¨¢®© γa ¢ ãà ¢¥¨¥ ªà¨¢®© γb ; ¥á«¨ ªà¨¢ ï γa ï¥âáï, ¯à¨¬¥à, ¬¨¬ë¬í««¨¯á®¬, ªà¨¢ ï γa | ¯ ன ¬¨¬ëå ¯ à ««¥«ìëå ¯àï¬ëå, â® ä䨮£®¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ª®®à¤¨ â, ¯¥à¥¢®¤ï饣® ãà ¢¥¨¥ ªà¨¢®© γa ¢ ãà ¢¥¨¥ ªà¨¢®©γb , ¥ áãé¥áâ¢ã¥â.®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 6.1 ¡ã¤¥¬ ¯à®¢®¤¨âì ¢ ¤¢ íâ ¯ :10 «î¡ë¥ ¤¢¥ ªà¨¢ë¥ ®¤®£® ¢¨¤ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯¥à¥¢¥¤¥ë ®¤ ¢ ¤àã£ãî ¥ª®â®àë¬ ää¨ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬,20 ¨ª ª®¥ ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ª ¦¤ãî ªà¨¢ãî ¤ ®£® ¢¨¤ ¥ ¬®¦¥â¯¥à¥¢¥á⨠¢ ªà¨¢ãî ¨ª ª®£® ¨®£® ¢¨¤ .®ª ¦¥¬ ¯ãªâ 10 ¯à¨¬¥à¥ í««¨¯á®¢.
ãáâì γ1 , γ2 | ¤¢ ¯à®¨§¢®«ìëåí««¨¯á . áᬮâਬ ¯àאַ㣮«ìãî § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå ω, ¯¥à¥¢®¤ï饥 æ¥âàí««¨¯á γ1 ¢ æ¥âà í««¨¯á γ2 , ᮢ¬¥é î饥 ¯à¨ í⮬ ¨å ®á¨ ᨬ¬¥âਨ. ãáâì¯à¨ â ª®© § ¬¥¥ í««¨¯á γ1 ¯¥à¥©¤¥â ¢ í««¨¯á γ3 . ª ª ª í««¨¯áë γ2 , γ3 ¨¬¥î⮡騩 æ¥âà ¨ ®¡é¨¥ ®á¨ ᨬ¬¥âਨ, â® ¨å ãà ¢¥¨ï ¡ã¤ãâ ª ®¨ç¥áª¨¬¨ ¢ ®¤®©¨ ⮩ ¦¥ ¯àאַ㣮«ì®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â:x2a23x2a22++y2b23y2b22= 1, (γ3 )= 1. (γ2 )ää¨ ï § ¬¥ ¯¥à¥¬¥ëå βx=a3x~,a2y=b3y~b25¯¥à¥¢®¤¨â ¯¥à¢®¥ ¨§ íâ¨å ãà ¢¥¨© ¢® ¢â®à®¥.
ää¨ ï § ¬¥ ¯¥à¥¬¥ëåα = β ◦ ω ¯¥à¥¢®¤¨â í««¨¯á γ1 ¢ í««¨¯á γ2 . «®£¨ç® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® «î¡ë¥ ¤¢¥ ªà¨¢ë¥ ®¤®£® ¢¨¤ ¯¥à¥¢®¤ïâáï ¤à㣢 ¤à㣠¥ª®â®àë¬ ää¨ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬.®ª ¦¥¬ ¯ãªâ 20 , ¨¬¥®, ¤®ª ¦¥¬, çâ® ¨ª ª¨¥ ¤¢¥ «¨¨¨ à §«¨çëå ¢¨¤®¢¥ ¡ã¤ãâ ä䨮 íª¢¨¢ «¥âë.®ª § ⥫ìáâ¢ã ¯ãªâ 20 ¯à¥¤¯®è«¥¬ ¥áª®«ìª® «¥¬¬.¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.2. ®¦¥á⢮ D §ë¢ ¥âáï ®£à ¨ç¥ë¬, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ª®áâ â KD > 0 â ª ï, çâ® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ M ∈ D, M = (x1 , . . .
, xn ),¢ë¯®«ï¥âáï |xi | < KD , i = 1, . . . , n. ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¬®¦¥á⢮ D §ë¢ ¥âá葉£à ¨ç¥ë¬.¥¬¬ 6.1. ਠä䨮¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ (¥)®£à ¨ç¥®¥ ¬®¦¥á⢮ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (¥)®£à ¨ç¥®¥ ¬®¦¥á⢮.®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ F ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©⊂ V ää x c11... .. = . + ...
...xnan1 . . . anncnxn 0x1a11 . . . a01n x1 − c1 .. ,...⇒ ... = .00xn − cnxnan1 . . . ann 0a11 . . . a01na11 . . .......=an1 . . .a0n1 . . . a0nnx1a11...a 1na1n−1.(6.16)ann áᬮâਬ ®£à ¨ç¥®¥ ¬®¦¥á⢮ D. ®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã ¨§ (6.16), ¬ë¯®«ãç ¥¬, çâ® ¤«ï ª®®à¤¨ â (x1 , . . . , xn ) â®çª¨ F (M ), £¤¥ M ∈ D | ¯à®¨§¢®«ì ïâ®çª , M = (x1 , . .
. , xn ), ¢ë¯®«ï¥âáï ®æ¥ª ¡¢|xi | ≤ n max |a0ij | KD + max |cj | ,i,jji = 1, . . . , n. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®¦¥á⢮ F (D) ®£à ¨ç¥®.¥¯¥àì à áᬮâਬ ¥®£à ¨ç¥®¥ ¬®¦¥á⢮ D. í⮬ á«ãç ¥ ¤«ï «î¡®£® ç¨áN« N > 0 ©¤¥âáï ¥ª®â®à ï â®çª ¨§ ¬®¦¥á⢠D á ª®®à¤¨ â ¬¨ (xN1 , . . . , xn )â ª ï, çâ® |xNi | > N ¤«ï ¥ª®â®à®£® i. ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¬®¦¥á⢮ F (D ) ®£à ¨ç¥®. ®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã ¨§ (6.16), ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ®xNi= ai1 x1 + · · · + ain xn + cn ⇒ |xNi | ≤ n max |aij |KF (D ) + max |cj |,i,jj6çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, çâ® ¢¥«¨ç¨ N áâ६¨âáï ª ¡¥áª®¥ç®áâ¨.¥¬¬ 6.2.
ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥F¥¯¥à¥¢®¤¨â ¯®«ã¯à®áâà á⢮ ¢ ¯®«ã-¯à®áâà á⢮.®ª § ⥫ìá⢮. «ï ¯à®áâ®âë § ¯¨á¨ à áᬮâਬ á«ãç ©, ª®£¤ n = 2. áᬮâਬ ¥ª®â®à®¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢮ , ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¥ ª ª ᮢ®ªã¯®áâì â®ç¥ª ¯«®áª®áâ¨, ª®®à¤¨ âë (x, y) ª®â®àëå 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¥à ¢¥áâ¢ã Ax + By + C > 0,A2 + B 2 6= 0. â®¡à ¦¥¨¥ F ¯¥à¥¢®¤¨â ¯àï¬ãî l : Ax + By + C = 0 ¢ ¥ª®â®àãî¯àï¬ãî l0 , ª®â®à ï à §¤¥«ï¥â ¯«®áª®áâì ¤¢ ¯®«ã¯à®áâà á⢠1 , 2 .
áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã M ∈ . ¥ 㬥ìè ï ®¡é®áâ¨, ¯®« £ ¥¬, çâ® M ∈ 1 .(M ∈/ l0 ¢ ᨫ㠡¨¥ªâ¨¢®á⨠F .) áᬮâਬ «î¡ãî â®çªã A ∈ , ®â«¨çãî ®â M .ë ¨¬¥¥¬ [AM ] ⊂ (á¬. «¥ªæ¨¨ 1-£® ᥬ¥áâà ). ®£¤ F ([AM ]) ⊂ 1 . ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¡ë F (A) ∈ 2 , â® ®â१®ª F ([AM ]) ¯¥à¥á¥ª ¡ë ¯àï¬ãî l0 , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¡¨¥ªâ¨¢®á⨠F .
