L-3-Spring2018 (Грешнов - Лекции (1-15))
Описание файла
PDF-файл из архива "Грешнов - Лекции (1-15)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ü3 â : 20.02.2018¨¯¥à¡®« ¯à¥¤¥«¥¨¥ 3.1. ਢ ï ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠§ë¢ ¥âáï £¨¯¥à¡®«®©, ¥á«¨áãé¥áâ¢ã¥â ¯àאַ㣮«ì ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â (x, y) (ª ®¨ç¥áª ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â) â ª ï, çâ® çâ® ¢ í⮩ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ª®®à¤¨ âë â®ç¥ª £¨¯¥à¡®«ë ¨22⮫쪮 ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î xa2 − yb2 = 1, ab 6= 0, (ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥£¨¯¥à¡®«ë). ç «® ª®®à¤¨ â | æ¥âà ᨬ¬¥âਨ £¨¯¥à¡®«ë, ®á¨ OX , OY | ®á¨ ᨬ¬¥âਨ£¨¯¥à¡®«ë. ᫨ a = b, â® £¨¯¥à¡®« §ë¢ ¥âáï à ¢®¡®ç¥© ¨«¨ à ¢®áâ®à®¥©.(±a, 0) | ¢¥àè¨ë £¨¯¥à¡®«ë.a | ¤¥©á⢨⥫ì ï ¯®«ã®áì £¨¯¥à¡®«ë.b | ¬¨¬ ï ¯®«ã®áì £¨¯¥à¡®«ë.√c = a2 + b2 | «¨¥©ë© íªáæ¥âà¨á¨â¥â £¨¯¥à¡®«ë.2c | 䮪ãᮥ à ááâ®ï¨¥ £¨¯¥à¡®«ë.®çª¨ F« = (−c, 0), F¯ = (c, 0) | 䮪ãáë £¨¯¥à¡®«ë.â१ª¨, ᮥ¤¨ïî騥 ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã M £¨¯¥à¡®«ë á ¥¥ 䮪ãá ¬¨, §ë¢ îâáï («¥¢ë¬ ¨ ¯à ¢ë¬) 䮪 «ì묨 à ¤¨ãá ¬¨ â®çª¨ M .² = ac | íªáæ¥âà¨á¨â¥â £¨¯¥à¡®«ë.
¬¥îâ ¬¥áâ® ¥à ¢¥á⢠1 < ² < ∞.2p = ba | 䮪 «ìë© ¯ à ¬¥âà ¯ à ¡®«ë.àï¬ë¥ δ« , δ¯ , ᮮ⢥âá⢥® ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ãà ¢¥¨ï¬¨, x = ± a² | ¤¨à¥ªâà¨á루¯¥à¡®«ë.¨¯¥à¡®« ¢qª ®¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¤®¯ã᪠¥â á«¥¤ãîéãî ¯ à ¬¥âà¨2§ æ¨î x = ±a· 1 + yb2 , y ∈ R, (¯à ¢ ï ¨ «¥¢ ï ¢¥â¢¨ £¨¯¥à¡®«ë). ¥â¢¨ £¨¯¥à¡®«ë®ç¥¢¨¤® ¥ ¯à¥á¥ª îâáï.¢®©á⢮ 3.1. àï¬ë¥ y = ± ab x | ᨬ¯â®âë £¨¯¥à¡®«ë.®ª § ⥫ìá⢮.
¯®¬¨¬, ç⮠ᨬ¯â®â®© ¤«ï ªà¨¢®© y = f (x) §ë¢ ¥âáï ¯àï¬ ï y = kx + b, ª®â®à ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á®®â®è¥¨ï¬¨limx→±∞f (x)x= k,lim (f (x) − kx) = b.x→±∞ áᬮâਬ ¯à ¢ãî ¢¥â¢ì £¨¯¥à¡®«ë. ©¤¥¬ ¥¥ ᨬ¯â®â㠯ਠy → ∞. ë ¨¬¥¥¬qlimy→∞a·21 + yb2y=a,brlim a · 1 +y→±∞1y2a− y2bb= 0.2«ãç © y → −∞ à áᬠâਢ ¥âáï «®£¨ç®.¥ãáâì M | ¥ª®â®à ï â®çª £¨¯¥à¡®«ë á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x0 , y0 ). ëç¨á«¨¬¤«¨ë ¥¥ 䮪 «ìëå à ¤¨ãᮢ. ë ¨¬¥¥¬qc2 + 2cx0 + x20 + y02rr³ x2´³b2 ´02= c2 + 2cx0 + x0 + b2 2 − 1 = a2 + 2cx0 + x20 1 + 2aar22x c= a2 + 2cx0 + 02 = |a + x0 ²|.ad(M, F« ) =q(−c − x0 )2 + y02 =®ç® â ª¦¥ ¢ë¢®¤¨¬d(M, F¯ ) = |a − x0 ²|.(3.1)(3.2)¢®©á⢮ 3.2.
᫨ M | ¥ª®â®à ï â®çª £¨¯¥à¡®«ë á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x0 , y0 ),â® |d(M, F« ) − d(M, F¯ )| = 2a.®ª § ⥫ìá⢮. ⬥⨬, çâ® |x0 ²| > |x0 | ≥ a, ¯®í⮬ã, ¨á¯®«ì§ãï (3.1), (3.2), ¬ë¯®«ãç ¥¬½−x0 ² + a, x0 < 0,(3.3)d(M, F¯ ) =x0 ² − a, x0 > 0,½x0 ² + a, x0 > 0,(3.4)d(M, F« ) =−x0 ² − a, x0 < 0,®âªã¤ ¨ á«¥¤ã¥â ᢮©á⢮ 3.2.¥®à¬ã«ë (3.3), (3.4) | ä®à¬ã«ë ¤«¨ 䮪 «ìëå à ¤¨ãᮢ £¨¯¥à¡®«ë.¢®©á⢮ 3.3. ãáâì â®çª M á ª®®à¤¨ â ¬¨ ª®®à¤¨ â ¬¨ (x0 , y0 ) â ª®¢ ,22çâ® |d(M, F« ) − d(M, F¯ )| = 2a. ®£¤ xa20 − yb20 = 1.®ª § ⥫ìá⢮.
ë ¨¬¥¥¬q(x0 + c)2 + y02 =q(x0 − c)2 + y02 ± 2aq2222⇔ (x0 + c) + y0 = (x0 − c) + y0 ± 4a (x0 − c)2 + y02 + 4a2q2⇔ x0 c − a = ±a (x0 − c)2 + y02 ⇔ x20 c2 − 2a2 x0 c + a4 = a2 (x20 − 2cx0 + c2 + y02 )⇔ x20 (c2 − a2 ) − a2 y02 = a2 (c2 − a2 ) = a2 b2 ⇔ x20 b2 − a2 y02 = a2 b2x2y2⇐⇒ 20 − 20 = 1.ab¥¥®à¥¬ 3.1 (£¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ £¨¯¥à¡®«ë). ¨¯¥à¡®« | £¥®-¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® â®ç¥ª, ¬®¤ã«ì à §®á⨠à ááâ®ï¨© ª®â®àëå ¤® ¤¢ãå 䨪á¨à®¢ ëå â®ç¥ª à ¢¥ ¯®«®¦¨â¥«ì®© ª®áâ â¥.3®ïâ¨ï ¤¨ ¬¥âà ¨ å®à¤ë ¤«ï £¨¯¥à¡®«ë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª¦¥, ª ª ¨ ¤«ï í««¨¯á .¥®à¥¬ 3.2 (å®à¤ «ì®¥ ᢮©á⢮ £¨¯¥à¡®«ë). ¥à¥¤¨ë ¯ à ««¥«ìëå å®à¤£¨¯¥à¡®«ë «¥¦ â ¥£® ¤¨ ¬¥âà¥.®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 3.2 ¢ â®ç®á⨠⠪®¥ ¦¥, ª ª ¨ ¤®ª § ⥫ìá⢮ å®à¤ «ì®£® ᢮©áâ¢ í««¨¯á .
®« £ ¥¬ α = a12 , β = − b12 , ⮣¤ ãà ¢¥¨¥ £¨¯¥à¡®«ë§ ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª αx2 − βy2 = 1. ãáâì y = kx + b, b ∈ R, | ãà ¢¥¨ï ᥬ¥©á⢠¯ à ««¥«ìëå ¯àï¬ëå, å à ªâ¥à¨§ãîé¨å ¯ à ««¥«ìë¥ å®à¤ë £¨¯¥à¡®«ë. ®« £ ¥¬, çâ® k 6= 0, â ª ª ª ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ã⢥ত¥¨¥ ⥮६ë 3.2 âਢ¨ «ì®. ©¤¥¬ ª®®à¤¨ âë ¡æ¨áá â®ç¥ª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯àאַ© y = kx + b ¨ £¨¯¥à¡®«ëαx2 − βy 2 = 1.
ë ¨¬¥¥¬αx2 − β (kx + b) = 1 ⇔ x2 (α − βk 2 ) − 2βkbx + βb2 − 1 = 0.(3.5)®à¨ ª¢ ¤à ⮣® ãà ¢¥¨ï (3.5) ¨¬¥îâ ¢¨¤√2βkb ± Dx1,2 =,2(α − βk2 )£¤¥ D | ¤¨áªà¥¬¨ â ãà ¢¥¨ï (3.5). ®£¤ ¡æ¨áá xá á¥à¥¤¨ë å®à¤ë á ª®æ ¬¨ (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ¨¬¥¥â ¢¨¤xá=x1 + x22= βkbα − βk2 ,®âªã¤ ®à¤¨ â yá á¥à¥¤¨ë å®à¤ë á ª®æ ¬¨ (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ¨¬¥¥â ¢¨¤yᮣ¤ = kxá + b =yáxá=αβkαb.α − βk 2= k0 ,â. ¥. â®çª (xá , yá ) ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¯àאַ© y = k0 x.¥¨ ¬¥âà y = k0 x §ë¢ ¥âáï ¤¨ ¬¥â஬, ᮯàï¦¥ë¬ ¤¨ ¬¥âàã y = kx £¨¯¥à¡®«ë.
®®â¢¥âá⢥®, ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ £¨¯¥à¡®«ë ¬ë ¨¬¥¥¬ ⮦¤¥á⢮2kk 0 = ab 2 , áà. á® á«ãç ¥¬ í««¨¯á .¥®à¥¬ 3.3 (®¯â¨ç¥áª®¥ ᢮©á⢮ £¨¯¥à¡®«ë). ¢¥â®¢ë¥ «ãç¨, ¨á室ï騥¨§ ®¤®£® 䮪ãá , ¯®á«¥ §¥àª «ì®£® ®âà ¦¥¨ï ª ¦ãâáï ¨á室ï騬¨ ¨§ ¤à㣮£®ä®ªãá .4®ª § ⥫ìá⢮. ®ç® â ª¦¥, ª ª ¨ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ®¯â¨ç¥áª®£® ᢮©áâ¢ í««¨¯á ¬®¦® ¢ë¢¥á⨠ãà ¢¥¨¥ ª á ⥫쮩 l ª â®çª¥ M £¨¯¥à¡®«ë á ª®®à¤¨ â ¬¨(x0 , y0 ):xx0yy0−22 = 1.ab⬥⨬, ç⮠䮪ãáë £¨¯¥à¡®«ë ¢á¥£¤ 室ïâáï ¯® à §ë¥ áâ®à®ë «î¡®© ª á ⥫쮩 ª £¨¯¥à¡®«¥. ¥©á⢨⥫ì®, â ª ª ª |x0 | ≥ a, ⮳r√√³x³ b2− b2 + a2 ´³b2 + a2 ´0x0−1x−1=−0a2a2aa2+1´´³ x0+1ar³ b2a2+1´´−1 < 0.¥©áâ¢ãï â ª¦¥, ª ª ¨ ¯à¨ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ®¯â¨ç¥áª®£® ᢮©áâ¢ í««¨¯á , ¨á¯®«ì§ãï ¯à¨ í⮬ ä®à¬ã«ë ¤«¨ 䮪 «ìëå à ¤¨ãᮢ (3.3), (3.4), ¬ë ¯®«ã稬, çâ®d(F¯ , l)d(M, F¯ )=d(F« , l),d(M, F« )(¯à®¢¥àìâ¥!)®âªã¤ ¯®«ãç ¥¬, çâ® ã£«ë ¬¥¦¤ã ®â१ª®¬ [M, F« ] ¨ ¯àאַ© l ¨ ¬¥¦¤ã ®â१ª®¬[M, F¯ ] ¨ ¯àאַ© l à ¢ë.
ãáâì â®çª M ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¯à ¢®© ¢¥â¢¨ £¨¯¥à¡®«ë,⮣¤ ᢥ⮢®© «ãç, ¨á室ï騩 ¨§ 䮪ãá F¯ , ¯®á«¥ §¥àª «ì®£® ®âà ¦¥¨ï ®âª á ⥫쮩 ¯®©¤¥â ¯® ¯àאַ©, ᮤ¥à¦ 饩 ®â१®ª [M, F« ]; â® ¦¥ á ¬®¥ ¨ ¢ á«ãç ¥,ª®£¤ â®çª M , ¯à¨ ¤«¥¦¨â «¥¢®© ¢¥â¢¨ £¨¯¥à¡®«ë.¥¨à¥ªâà¨áë ¨ 䮪ãáë í««¨¯á ¨ £¨¯¥à¡®«ë¥¬¬ 3.1. «ï í««¨¯á ¨ £¨¯¥à¡®«ë ¨¬¥îâ ¬¥áâ® á«¥¤ãî騥 ⮦¤¥á⢠d(δ« , F« ) = d(δ¯ , F¯ ) =p,²£¤¥ p | 䮪 «ìë© ¯ à ¬¥âà.®ª § ⥫ìá⢮. 10 ëç¨á«¨¬ d(δ« , F« ) ¤«ï í««¨¯á .
ç¨âë¢ ï ãà ¢¥¨ï ¤¨à¥ªâà¨á í««¨¯á , ¬ë ¨¬¥¥¬d(δ« , F« ) =aa1 − ²2− c = − a² = a²²²a²= (1 − ²2 ) =a b2² a2=p.² ááâ®ï¨¥ d(δ¯ , F¯ ) à ¢® à ááâ®ï¨î d(δ« , F« ) ¨§ á®®¡à ¦¥¨© ᨬ¬¥âਨ.20 ëç¨á«¨¬ d(δ« , F« ) ¤«ï £¨¯¥à¡®«ë. ç¨âë¢ ï ãà ¢¥¨ï ¤¨à¥ªâà¨á £¨¯¥à¡®«ë, ¬ë ¨¬¥¥¬d(δ« , F« ) = c −a²= a² −a²a²= (²2 − 1) =a b2² a2=p.² ááâ®ï¨¥ d(δ¯ , F¯ ) à ¢® à ááâ®ï¨î d(δ« , F« ) ¨§ á®®¡à ¦¥¨© ᨬ¬¥âਨ.¥5¥¬¬ 3.2.
ãáâì â®çª M ¯à¨ ¤«¥¦¨â í««¨¯áã ¨«¨ £¨¯¥à¡®«¥. ®£¤ d(M, F« )d(M, δ« )=d(M, F¯ )d(M, δ¯ )= ².(3.6)®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì â®çª M ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë (x0 , y0 ). áᬮâਬ á«ãç © £¨¯¥à¡®«ë. ãáâì, ¯à¨¬¥à, x0 < 0. ®£¤ ¯® ä®à¬ã« ¬ ¤«¨ 䮪 «ìëå à ¤¨ãᮢ(3.3),(3.4) ¬ë ¨¬¥¥¬ d(M, F¯ ) = −x0 ² + a, d(M, F« ) = −x0 ² − a, á ¤à㣮© áâ®à®ë,d(M, δ¯ ) = a² − x0 , d(M, δ« ) = − a² − x0 , ®âªã¤ á«¥¤ã¥â (3.6).
«ãç ©, ª®£¤ x0 > 0, «®£¨ç¥ à §®¡à ®¬ã. «ãç © í««¨¯á ¤®ª §ë¢ ¥âáï â®ç® â ª¦¥.¥¥¬¬ 3.3. ãáâì â®çª ¯«®áª®á⨠⠪®¢ , çâ®d(M, F« )d(M, F¯ )= ² ¨«¨= ²,d(M, δ« )d(M, δ¯ )£¤¥ F« , F¯ | ¨«¨ 䮪ãáë £¨¯¥à¡®«ë ¨«¨ í««¨¯á , δ« , δ¯ | ᮮ⢥âáâ¢ãî騥í⨬ 䮪ãá ¬ ¤¨à¥ªâà¨áë. ®£¤ M ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¨«¨ £¨¯¥à¡®«¥, ¨«¨ í««¨¯áã.®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ, ¯à¨¬¥à, ¯à ¢ë¥ 䮪ãá ¨ ¤¨à¥ªâà¨áã. ãáâì (x0 , y0 ) |ª®®à¤¨ âë â®çª¨ M . ë ¨¬¥¥¬d2 (F¯ , M ) = (x0 − c)2 + y02 ,®£¤ d2 (M, δ¯) =³a²− x0´2=³ a2c− x0´2.c2a2³ a2´2d2 (F¯ , M )22222= = 2⇔ a (x0 − c) + a y0 = c− x0d (M, δ¯ )c⇔ a2 x20 − 2cx0 a2 + a2 c2 + y02 a2 = a4 − 2cx0 a2 + x20 c2⇔ x20 (a2 − c2 ) + y02 a2 = a2 (a2 − c2 ).
(3.7) á«ãç ¥ í««¨¯á ¬ë ¨¬¥¥¬ c2 = a2 −b2 , ¨ ¯®á«¥¤¥¥ ⮦¤¥á⢮ ¨§ (3.7) ¯à¨®¡à¥â ¥â²2¢¨¤ á«ãç ¥ £¨¯¥à¡®«ëà¥â ¥â ¢¨¤x2y2x20 b2 + y02 a2 = a2 b2 ⇔ 20 + 20 = 1.ab¬ë ¨¬¥¥¬ c2 = a2 + b2 , ¨ ¯®á«¥¤¥¥ ⮦¤¥á⢮−x20 b2 + y02 a2= −a2 b2 ⇔x20y02−a2b2¨§ (3.7) ¯à¨®¡-= 1.¥¥®à¥¬ 3.4. ««¨¯á, £¨¯¥à¡®« ¨ ¯ à ¡®« | £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® â®ç¥ª ¯«®á-ª®á⨠⠪®¥, çâ® ®â®è¥¨¥ à ááâ®ï¨ï «î¡®© â®çª¨ ¤® ¯à®¨§¢®«ì® ¢ë¡à ®£® 䮪ãá ªà¨¢®© ª à ááâ®ï¨î ¤® ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 í⮬ã 䮪ãáã ¤¨à¥ªâà¨áëà ¢® íªáæ¥âà¨á¨â¥â㠪ਢ®©.®ª § ⥫ìá⢮. ¥®à¥¬ 3.4 ¢ë⥪ ¥â ¨§ «¥¬¬ 3.2, 3.3 ¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯ à ¡®«ë (á¬. «¥ªæ¨î ü1).¥.