L-2-Spring2018 (Грешнов - Лекции (1-15))
Описание файла
PDF-файл из архива "Грешнов - Лекции (1-15)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ü2 â : 13.02.2018¢®©á⢮ 2.1. ãáâì| â®çª¨ ¯ à ¡®«ë, lM , lMe | ª á ⥫ìë¥ ª ¯ f ᮮ⢥âá⢥®, P = lM ∩ l , X, Xe |à ¡®«¥, ¯à®¢¥¤¥ë¥ ç¥à¥§ â®çª¨ M, MeMf ¤¨à¥ªâà¨áã δ ¯ à ¡®«ë ᮮ⢥âá⢥®à⮣® «ìë¥ ¯à®¥ªæ¨¨ â®ç¥ª M, Me .®. ®£¤ P | æ¥âà ®¯¨á ®© ¢®ªà㣠âà¥ã£®«ì¨ª 4X XFfM, M®ª § ⥫ìá⢮. § ¯. 20 á«¥¤á⢨ï 1.1 «¥ªæ¨¨ ü1 ¢ë⥪ ¥â, ç⮽⇒d(X, P ) = d(P, F ),e P)⇒ d(X, P ) = d(F, P ) = d(X,e P ) = d(P, F )d(X,e .â®çª P | æ¥âà ®¯¨á ®© ¢®ªà㣠âà¥ã£®«ì¨ª 4X XF¥««¨¯á¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.1.
ਢ ï ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠§ë¢ ¥âáï í««¨¯á®¬, ¥á«¨áãé¥áâ¢ã¥â ¯àאַ㣮«ì ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â (x, y) (ª ®¨ç¥áª ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â) â ª ï, çâ® çâ® ¢ í⮩ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ª®®à¤¨ âë â®ç¥ª í««¨¯á ¨ ⮫쪮®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨îx2a2+y2b2= 1,a>b>0(ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ í««¨¯á ).⬥⨬, çâ® ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ a = b ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ áãâì ãà ¢¥¨¥®ªà㦮á⨠á æ¥â஬ ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â à ¤¨ãá a.1) ®çª á ª®®à¤¨ â ¬¨ (0, 0) | æ¥âà í««¨¯á .2) àï¬ë¥ x = 0, y = 0 | ®á¨ ᨬ¬¥âਨ í««¨¯á .¯à ¦¥¨¥ 2.1. ®ª § âì, çâ® ¯àï¬ë¥ x = 0, y = 0 | ¥¤¨áâ¢¥ë¥ ®á¨á¨¬¬¥âਨ í««¨¯á , ¥á«¨ a 6= b.3) a | ¡®«ìè ï ¯®«ã®áì í««¨¯á .4) b | ¬ « ï ¯®«ã®áì í««¨¯á .√5) c = a2 − b2 | «¨¥©ë© íªáæ¥âà¨á¨â¥â í««¨¯á .6) ®çª¨ F« , F¯ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (±c, 0) | 䮪ãáë í««¨¯á .
ªà㦮áâì ¨¬¥¥â¥¤¨áâ¢¥ë© ä®ªãá | ¥¥ æ¥âà.7) â१ª¨, ᮥ¤¨ïî騥 ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã M í««¨¯á á ¥£® 䮪ãá ¬¨, §ë¢ îâáï («¥¢ë¬ ¨ ¯à ¢ë¬) 䮪 «ì묨 à ¤¨ãá ¬¨ â®çª¨ M .8) ² = ac | íªáæ¥âà¨á¨â¥â í««¨¯á . ਠa = b (á«ãç ©, ª®£¤ í««¨¯á áâ ®¢¨âáï ®ªà㦮áâìî) ¬ë ¨¬¥¥¬ ² = 0. ® ¢á¥å ®áâ «ìëå á«ãç ïå 0 < ² < 1.129) 2c | 䮪ãᮥ à ááâ®ï¨¥ í««¨¯á .210) p = ba | 䮪 «ìë© ¯ à ¬¥âà í««¨¯á .211) àï¬ë¥ δ« , δ¯ , ᮮ⢥âá⢥® ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ãà ¢¥¨ï¬¨ x = ± ac = ± a² , |¤¨à¥ªâà¨áë í««¨¯á .
ਠ² = 0 (á«ãç ©, ª®£¤ í««¨¯á áâ ®¢¨âáï ®ªà㦮áâìî),¯®ï⨥ ¤¨à¥ªâà¨áë ¥ ®¯à¥¤¥«¥® ¢ R2 .12) ®çª¨ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (±a, 0) ¨ (0, ±b) | ¢¥àè¨ë í««¨¯á . à ¬¥âਧ æ¨ï í««¨¯á . ª¦¥qª ª ¨ ®ªà㦮áâì, í««¨¯á ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì¢ ¢¨¤¥ ®¡ê¥¤¨¥¨ï ¤¢ãå ¤ã£ y = ±b 1 − xa22 (¢¥àåïï ¨ ¨¦ïï ¤ã£¨), ª ¦¤ ï ¨§ª®â®àëå ¯ à ¬¥âਧ®¢ ¯¥à¥¬¥®© x ∈ [−a, a]. ª¦¥, ¨á¯®«ì§ãï ¯®«ïàãîá¨á⥬㠪®®à¤¨ â, í««¨¯á ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥ ª ª½x = a cos ϕ,y = b sin ϕ,ϕ ∈ [0, 2π ).¢®©á⢮ 2.1. ®çª¨, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå â ª®¢ë, çâ® áã¬¬ë ¤«¨ ®â१ª®¢,ᮥ¤¨ïîé¨å ¨å á 䮪ãá ¬¨ í««¨¯á , à ¢ë 2a, ¯à¨ ¤«¥¦ â í««¨¯áã.®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì M | ¥ª®â®à ï â®çª á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x, y), 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î ᢮©á⢠4.4.
¯¨è¥¬ íâ® ãá«®¢¨¥ «¨â¨ç¥áª¨. ë ¨¬¥¥¬qqpp2222d(F« , M ) + d(F¯ , M ) = 2a ⇔ (x + a − b ) + y = 2a − (x − a2 − b2 )2 + y 2qppp22⇔ (x + a2 − b2 ) = 4a − 4a (x − a2 − b2 )2 + y 2 + (x − a2 − b2 )2qpp222⇔ x a − b = a − a (x − a2 − b2 )2 + y 2qpp⇔ a (x − a2 − b2 )2 + y 2 = a2 − x a2 − b2pp⇔ a2 ((x − a2 − b2 )2 + y 2 ) = a4 − 2a2 x a2 − b2 + x2 (a2 − b2 )pp⇔ a2 (x2 − 2x a2 − b2 + a2 − b2 + y 2 ) = a4 − 2a2 x a2 − b2 + x2 (a2 − b2 )x2y2⇔ −a2 b2 + a2 y 2 = −x2 b2 ⇔ a2 y 2 + b2 x2 = a2 b2 ⇔ 2 + 2 = 1.ab¥¢®©á⢮ 2.2. 㬬 ¤«¨ 䮪 «ìëå à ¤¨ãᮢ «î¡®© â®çª¨ í««¨¯á à ¢ 2a.®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì M | ¥ª®â®à ï â®çª á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x, y), ¯à¨ ¤«¥¦ é ï í««¨¯áã.
®£¤ y2³= b2 1 −³x2 ´2 − c2 ) 1 −=(aa2rd(F« , M ) =(x + c)2 + a2 − x2 − c2 +2 2x2 ´2 − x2 − c2 + c x ,=aa2a2r¡c2 x2cx ¢2=a+= a + ²x,a2a(2.1)3â®ç® â ª¦¥ ¢ëç¨á«ï¥âáïd(F¯ , M ) = a − ²x.(2.2)®í⮬ãd(F« , M ) + d(F¯ , M ) = r« + r¯= 2a.¥ ¬¥ç ¨¥ 2.1. ª ª ªx ∈ [−a, a], ²= ac < 1, d(F¯ , M ) > 0, d(F« , M ) > 0.®à¬ã«ë (2.1), (2.2) §ë¢ îâáï ä®à¬ã« ¬¨ ¤«¨ 䮪 «ìëå à ¤¨ãᮢ í««¨¯á .¥®à¥¬ 2.1 (£¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ í««¨¯á ). ««¨¯á | £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® â®ç¥ª, á㬬 à ááâ®ï¨© ®â ª®â®àëå ¤® 䨪á¨à®¢ ëå ¤¢ãå â®ç¥ª¯«®áª®áâ¨ à ¢ ¯®«®¦¨â¥«ì®© ª®áâ â¥.®ª § ⥫ìá⢮. ¥®à¥¬ 2.1 | ¯àאַ¥ á«¥¤á⢨¥ ᢮©á⢠2.1, 2.2.¥¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.2. ¨ ¬¥â஬ í««¨¯á §ë¢ ¥âáï «î¡ ï ¯àï¬ ï, ¯à®å®¤ïé ïç¥à¥§ ¥£® æ¥âà.®ï⨥ å®à¤ë ¤«ï í««¨¯á ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª¦¥, ª ª ¨ ¤«ï ¯ à ¡®«ë.¥®à¥¬ 2.2 (å®à¤ «ì®¥ ᢮©á⢮ í««¨¯á ).
¥à¥¤¨ë ¯ à ««¥«ìëå å®à¤í««¨¯á «¥¦ â ¥£® ¤¨ ¬¥âà¥.®ª § ⥫ìá⢮. ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ í««¨¯á ¢ ¢¨¤¥ αx2 + βy2 = 1, £¤¥ α = a12 ,β = b12 . ãáâì y = kx + b | ãà ¢¥¨¥ å®à¤ë í««¨¯á . ®¤áâ ¢«ï¥¬ ¥£® ¢ ãà ¢¥¨¥í««¨¯á ¨ ¯®«ãç ¥¬αx2 + β (kx + b)2 − 1 = αx2 + βk 2 x2 + 2βbkx + βb2 − 1= (α + βk2 )x2 + 2βbkx + (βb2 − 1) = 0.(2.3)®à¨ ª¢ ¤à ⮣® ãà ¢¥¨ï (2.3) à ¢ëx1,2=√−2βbk ± D,2(α + βk2 )£¤¥ D | ¤¨áªà¨¬¥ â ãà ¢¥¨ï (2.3) . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¡æ¨áá å®à¤ë à ¢ x1 + x2βbkxá ==−,2α + βk 2¯®í⮬㠮न â yá á¥à¥¤¨ë å®à¤ë à ¢ yá= kxá + b = −βbk 2α + βk 2+b=αb,α + βk 2xáá¥à¥¤¨ë4®âªã¤ yá=−αxá .βk(2.4) ª ª ª ¢ (2.4) ¥â § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¯ à ¬¥âà b, â® ¢á¥ á¥à¥¤¨ë å®à¤ á 㣫®¢ë¬αª®íää¨æ¨¥â®¬ k «¥¦ â ¤¨ ¬¥âॠy = − βkx.¥α¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.3. ¨ ¬¥âà í««¨¯á y = − βkx = k 0 x §ë¢ ¥âáï ᮯàï¦¥ë¬ ª¤¨ ¬¥âàã y = kx.¥á«®¦® ¢¨¤¥âì, ç⮠㣫®¢ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë ᮯà殮ëå ¤¨ ¬¥â஢ í««¨¯á á¢ï§ ë á®®â®è¥¨¥¬b2αkk 0 = − = − 2 .βa áᬮâਬ ¤¨ ¬¥âà í««¨¯á , ¯à®å®¤ï騩 ç¥à¥§ â®çªã í««¨¯á á ª®®à¤¨ â ¬¨A = (a cos ϕ, b sin ϕ);⮣¤ íâ®â ¤¨ ¬¥âà ¨¬¥¥â ¢¨¤ y = x ab tgϕ = xk.
¥¯¥àì à áᬮâਬ ¤¨ ¬¥âà,¯à®å®¤ï騩 ç¥à¥§ â®çªã í««¨¯á á ª®®à¤¨ â ¬¨A0=¡¡¡π¢π ¢¢a cos ϕ +, b sin ϕ += (−a sin ϕ, b cos ϕ);222⮣¤ íâ®â ¤¨ ¬¥âà ¨¬¥¥â ¢¨¤ y = −x ab ctgϕ = xk0 . ª ª ª kk0 = − ab 2 , â® â −→ −−→ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ë ¯®áâந«¨ ᮯàï¦¥ë¥ ¤¨ ¬¥âàë í««¨¯á . ¥ªâ®àë OA, OA0 §ë¢ îâáï ᮯà殮묨 à ¤¨ãá ¬¨ í««¨¯á .−−→→¥®à¥¬ ¯¯®«®¨ï. 10 |−OA|2 + |OA0 |2 = a2 + b2 ; 20 ¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ,¯®áâ஥®£® ᮯà殮ëå à ¤¨ãá å í««¨¯á , à ¢ ab.®ª § ⥫ìá⢮.
. 10 ®ç¥¢¨¤¥, ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¯. 20 ¤®áâ â®ç® ¢á¯®¬¨âìä®à¬ã«ã ¯«®é ¤¨ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ¢ áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ R2 .¥¥®à¥¬ 2.3 (®¯â¨ç¥áª®¥ ᢮©á⢮ í««¨¯á ). ¢¥â®¢®© «ãç, ¢ë室ï騩 ¨§®¤®£® 䮪ãá í««¨¯á , ¯®á«¥ §¥àª «ì®£® ®âà ¦¥¨ï ¯®¯ ¤ ¥â ¢ ¤à㣮© 䮪ãá.®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã M í««¨¯á á ª®®à¤¨ â ¬¨(x0 , y0 ) 6= (±a, 0). ஢¥à¨¬, çâ®d(F« , l)d(F« , M )=d(F¯ , l),d(F¯ , M )£¤¥ l | ª á ⥫ì ï ª í««¨¯áã, ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ â®çªã䮪 «ìëå à ¤¨ãᮢ, á¬. «¥ªæ¨î ü2, ¬ë ¨¬¥¥¬½d(M, F« ) = a + ²x0 ,d(M, F¯ ) = a − ²x0 .(2.5)M.® ä®à¬ã« ¬ ¤«¨(2.6)5ãáâì M ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¢¥à奩 ¤ã£¥ í««¨¯á .
®£¤ ª á ⥫쮩, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã M , ¨¬¥¥â ¢¨¤y − y0=−bx0 ³1−a2=yq1 − xa22 , ¨ ãà ¢¥¨¥bx20 ´−1/2bx0b2 x0q(x−x)=−(x − x0 ),(x−x)=−00a2a2 y0x202a 1 − a2®âªã¤ ¢ë⥪ ¥â ⮦¤¥á⢮y0 y y02− 2b2b=−x0xx0(x−x)⇔0a2a2+yy0b2= 1.(2.7)®á«¥¤¥¥ ¢ (2.7) à ¢¥á⢮ §ë¢ îâ ãà ¢¥¨¥¬ ª á ⥫쮩 í««¨¯á . ᫨¢§ïâì â®çªã M , ¯à¨ ¤«¥¦ éãî ¨¦¥© ¤ã£¥ í««¨¯á , â® ãà ¢¥¨¥ ª á ⥫쮩 í««¨¯á ¨¬¥¥â â®â ¦¥ á ¬ë© ¢¨¤ (¯à®¢¥àì⥠íâ®!). ⬥⨬, çâ® ®¡ 䮪ãá í««¨¯á ¢á¥£¤ «¥¦ â ¯® ®¤ã áâ®à®ã ®â l.
¥©á⢨⥫ì®, â ª ª ª |x0 | ≤ a, ⮯ ±√a2 − b2 x ¯ √a2 − b2 |x | r¯0¯0≤ 1−¯≤¯22aab2< 1,a20¯®í⮬㠱cxa2 − 1 < 0, ®âªã¤ á«¥¤ã¥â, ç⮠䮪ãáë «¥¦ â á® ®¤ã áâ®à®ã ®â l.ᯮ«ì§ãï (2.6), (2.7), ¬ë ¯®«ãç ¥¬d(F¯ , l) =¯¯¯ cx0¯¯ a 2 − 1¯q 2x0y02a4d(F« , l) =¯¯ cx0¯ a2q 2x0a4+b4¯+ 1¯¯+=y02b4d(M,F¯ )d(F¯ , l)q 2a 2 ⇒d(M, F¯ )x0y0=d(M,F« )d(F« , l)q 2a 2 ⇒d(M, F« )x0y0=a4=a4++b4b41a·q 2x0a·q 2x0a4+y02b4+y02b41a4,. ª¨¬ ®¡à §®¬, à ¢¥á⢮ (2.5) ãáâ ®¢«¥®. ãáâì B« , B¯ | â ª¨¥ â®çª¨ ¯àאַ©l, çâ® d(F« , l) = d(F« , B« ), d(F¯ , l) = d(F« , B¯ ).
à¥ã£®«ì¨ª¨ 4M F« B« , 4AF¯ B¯¯àאַ㣮«ìë¥ á £¨¯®â¥ã§ ¬¨ M F« , M F¯ ᮮ⢥âá⢥®. ®£¤ ¨§ (2.5), ¨á¯®«ì§ãï ¯à¨§ ª ¯®¤®¡¨ï ¯àאַ㣮«ìëå âà¥ã£®«ì¨ª®¢, ¯®«ãç ¥¬, çâ®∠M F« B«= ∠M F¯ B¯ ⇔ ∠F« M B« = ∠F¯ M B¯ ,çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â ⥮६ã 2.3.¥¥®à¥¬ 2.4 (¨§®£® «ì®¥ ᢮©á⢮ í««¨¯á ). áᬮâਬ ¯àï¬ë¥ lX , lY ,ª á ⥫ìë¥ ª í««¨¯áã ¢ â®çª å í««¨¯á ∠F¯ P Y .X, Y , lX ∩ lY=P.®£¤ ∠XP F«=6®ª § ⥫ìá⢮.
ãáâì Fe« , Fe¯ | â®çª¨, ᨬ¬¥âà¨çë¥ ä®ªãá ¬ í««¨¯á F« ,F¯ ®â®á¨â¥«ì® ¯àï¬ëå lX , lY ᮮ⢥âá⢥®. § £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï í««¨¯á á«¥¤ã¥â, çâ®d(F« , X ) + d(X, F¯ ) = d(F« , Y ) + d(Y, F¯ ) = 2a⇒ d(Fe« , X ) + d(X, F¯ ) = d(F« , Y ) + d(Y, Fe¯ ) = 2a.§ ®¯â¨ç¥áª®£® ᢮©áâ¢ í««¨¯á ¢ë⥪ ¥â, çâ® â®çª¨ Fe« , X, F¯ «¥¦ â ®¤®© ¯àאַ©, â ª¦¥ â®çª¨ F« , Y, Fe¯ «¥¦ â ®¤®© ¯àאַ©, á«¥¤®¢ ⥫ì®, d(Fe« , F¯ ) =d(F« , Fe¯ ) = 2a. ®£¤ , ãç¨âë¢ ï, çâ® d(Fe« , P ) = d(F« , P ), d(Fe¯ , P ) = d(F¯ , P ), ¬ë¯®«ãç ¥¬, çâ® 4Fe« P F¯ = 4F« P Fe¯ (¯à¨§ ª à ¢¥á⢠âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ¯® â६ áâ®à® ¬).
®£¤ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ã£«ë ¢ âà¥ã£®«ì¨ª å 4Fe« P F¯ , 4F« P Fe¯ à ¢ë,®âªã¤ 2∠XP F« + ∠F« P F¯ = 2∠Y P F¯ + ∠F¯ P F« ⇒ ∠XP F« = ∠F¯ P Y.¥.